Metrica spațiu-timp

Metrica spațiu-timp este 4-tensorul , care definește proprietățile spațiu-timpului în relativitatea generală .

De obicei notat cu simbolul . $g_{{ij}}$

În cadrul de referință inerțial , matricea tensorului metric spațiu-timp are forma

{\hat {g}}=\left({\begin{matrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{matrix}}\right)

În sistemele de referință non-inerțiale , forma metricii spațiu-timp se modifică și depinde în general de un punct din spațiu și de un moment în timp.

Metrica spațiu-timp stabilește curbura spațiului , care este resimțită de observator, care se mișcă cu accelerație . Întrucât, pe baza principiului echivalenței , observatorul nu poate distinge în niciun fel neinerția cadrului de referință asociat cu el de câmpul gravitațional, metrica spațiu-timp determină și curbura spațiului în câmpul corpurilor masive.

Intervalul spațiu-timp este exprimat prin metrica spațiu-timp prin formula

ds^{2}=g_{ij}dx^{i}dx^{j)

Deoarece metrica stabilește transformările coordonatelor, se mai numește și tensorul metric .

Metrica spațiu-timp este utilizată pentru a stabili o conexiune între intrările covariante și contravariante ale oricărui 4 vector

A_{i}=g_{ij}A^{j)

Proprietăți

Tensorul metric este simetric în raport cu indicii săi, adică . Acest lucru poate fi văzut din formula generală pentru diferența pătrată a intervalului spațiu-timp. Determinantul metricii spațiu-timp, care este notat cu g, este negativ. $g_{{ij}}=g_{{ji}}$

Forma contravariantă a tensorului metric este legată de forma covariantă prin intermediul unui tensor complet antisimetric de ordinul patru

E^{ijkl}={\frac {1}{\sqrt {-g}}}e^{ijkl}

unde este tensorul obișnuit complet antisimetric definit în cadrul de referință inerțial, adică un tensor ale cărui componente sunt egale cu 1 sau -1 și își schimbă semnul atunci când oricare doi indici sunt interschimbați. $e^{{ijkl}}$

În acest fel

g^{ij}={\frac {1}{\sqrt {-g}}}e^{ijkl}g_{kl}

Tensorul metric, ca orice tensor simetric, poate fi redus la o formă diagonală prin alegerea unui sistem de referință. Totuși, această operație este valabilă doar până la un anumit punct în spațiu-timp și, în general, nu poate fi efectuată pentru întregul spațiu-timp.

Timp propriu

Pătratul diferenţialului intervalului spaţiu-timp pentru un punct spaţial este egal cu

ds^{2}=g_{{0}}(dx^{0})^{2}=c^{2}d\tau ^{2}

unde c este viteza luminii în vid .

valoarea

\tau ={\frac {1}{c}}\int {\sqrt {g_{{{00}}}}dx^{0}

se numește timp propriu pentru un punct dat din spațiu.

Interval spațial

Pătratul distanței dintre două puncte infinit apropiate este dat de

dl^{2}=\gamma _{{\alpha \beta }}dx^{\alpha }dx^{\beta }=\left(-g_{{\alpha \beta }}+{\frac {g_{ {\alpha 0}}g_{{0\beta }}}{g_{{00}}}}\right)dx^{\alpha }dx^{\beta }

Indicii greci sunt utilizați atunci când însumarea este efectuată numai pe coordonate spațiale. Tensorul este tensorul metric pentru spațiul tridimensional. $\gamma _{{\alpha \beta ))$

Este imposibil să se integreze distanța astfel definită, deoarece rezultatul ar depinde de linia mondială de -a lungul căreia s-ar realiza integrarea. Astfel, în teoria generală a relativității, conceptul de distanță dintre obiectele îndepărtate din spațiul tridimensional își pierde sensul. Singura excepție este situația în care tensorul metric nu depinde de timp. $g_{{ij}}$

Vezi și

Metrica izotropă statică

Link -uri

Landau L.D. , Lifshits E.M. Fizică teoretică. v. II. Teoria câmpului . - M . : Nauka, 1974. - T. 2.
G. A. Zisman. [bse.sci-lib.com/article076056.html Metrica spațiu-timp Sensul cuvântului „Metrica spațiu-timp” în Marea Enciclopedie Sovietică ] . bse.scilib.com. Consultat la 10 iunie 2009. Arhivat din original pe 2 aprilie 2012. (nedefinit)