Formulele de interpolare ale lui Newton

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 25 septembrie 2019; verificările necesită 7 modificări .

Formulele de interpolare ale lui Newton sunt formule matematice computaționale utilizate pentru interpolarea polinomială .

Formule

Să fie date câteva puncte distincte în perechi , numite și noduri de interpolare, iar valorile unei funcții în aceste puncte sunt cunoscute. $x_{0},\,x_{1},\,\ldots ,\,x_{n)$ $f(x_{0}),\,f(x_{1}),\,\ldots,\,f(x_{n})$ $f$

Cazul nodurilor inegale

Dacă toate distanțele dintre nodurile învecinate sunt diferite, atunci polinomul lui Newton este construit după formula [1]

P_{n}(x)=f(x_{0})+(x-x_{0})f(x_{0};x_{1})+(x-x_{0})(x -x_{1})f(x_{0};x_{1};x_{2})+\ldots +(x-x_{0})\ldots (x-x_{n-1})f(x_ {0};\ldots ;x_{n}),

unde este diferența de ordine împărțită . $f(x_{0};\ldots;x_{n})$ $n$

Folosind proprietățile diferenței împărțite, se poate demonstra că polinomul de mai sus rezolvă de fapt problema de interpolare : [2]

Fie polinomul de interpolare Lagrange pentru puncte . Apoi . $L_{k}(x)$ ${\displaystyle x_{0},\,x_{1},\,\ldots ,\,x_{k))$ $L_{n}(x)=L_{0}(x)+(L_{1}(x)-L_{0}(x))+\ldots +(L_{n}(x)-L_ {n-1}(x))$

Luați în considerare : $L_{k}(x)-L_{k-1}(x)$

$L_{k}(x)-L_{k-1}(x)=\sum _{i=0}^{k}f(x_{i})*\prod _{j=0,j \neq i}^{k}{\frac {(x-x_{j})}{(x_{i}-x_{j))}}-\sum _{i=0}^{k-1} f(x_{i})*\prod _{j=0,j\neq i}^{k-1}{\frac {(x-x_{j})}{(x_{i}-x_{j })}}=$

$=\sum _{i=0}^{k-1}f(x_{i})*{\frac {(x-x_{0})*\ldots (x-x_{i-1} )*(x-x_{i+1})\ldots *(x-x_{k-1})}{(x_{i}-x_{0})*\ldots *(x_{i}-x_{ i-1})*(x_{i}-x_{i+1})*\ldots *(x_{i}-x_{k-1})}}*({\frac {x-x_{k} }{x_{i}-x_{k}}}-1)+$

$+f(x_{k})*{\frac {(x-x_{0})*\ldots *(x-x_{k-1})}{(x_{k}-x_{0} )*\ldots *(x_{k}-x_{k-1})}}$ .

Pe de altă parte, diferența dintre două polinoame de interpolare Lagrange este un polinom de grad , iar rădăcinile sale sunt cunoscute - . $k-1$ ${\displaystyle x_{0},x_{1},x_{2},...,x_{k-1))$

Conform teoremei lui Bezout, obținem: . $L_{k}(x)-L_{k-1}(x)=a*(x-x_{0})*...*(x-x_{k-1})$

Găsim : las $A$ $x=x_{k)$

$a=\sum _{i=0}^{k}{\frac {f(x_{i})}{(x_{i}-x_{0})*...*(x_{i) }-x_{i-1})*(x_{i}-x_{i+1})*...*(x_{i}-x_{k})}}=f(x_{0};x_ {1};...;x_{k})$

După înlocuirea rezultatului în , obținem . $L_n(x)$ $P_n(x)$

Astfel, se arată că polinomul Newton în cazul nodurilor distanțate inegal coincide cu polinomul de interpolare Lagrange și, prin urmare, rezolvă problema interpolării.

Cazul nodurilor echidistante

Dacă nodurile învecinate sunt la o distanță fixă unul de celălalt , adică , atunci polinomul lui Newton poate fi construit fie pornind de la (în acest caz, se vorbește de „interpolare înainte”) sau de la („interpolare înapoi”). $h$ $x_{i}=x_{0}+ih$ $i=0,\ldots ,n$ $x_{0}$ $x_{n}$

În primul caz, formula pentru polinomul Newton ia forma [3]

P_{n}(x)=y_{0}+q\Delta y_{0}+{\frac {q(q-1)}{2!}}\Delta ^{2}y_{0} +\ldots +{\frac {q(q-1)\ldots (q-n+1)}{n!}}\Delta ^{n}y_{0},

unde , şi expresiile formei sunt diferenţe finite . $q=(x-x_{0})/h,\;y_{i}=f(x_{i})$ $\Delta ^{k}y_{0}$

În al doilea caz, formula ia forma [4]

P_{n}(x)=y_{n}+q\Delta y_{n-1}+{\frac {q(q+1)}{2!}}\Delta ^{2}y_{ n-2}+\ldots +{\frac {q(q+1)\ldots (q+n-1)}{n!}}\Delta ^{n}y_{0},

unde . $q=(x-x_{n})/h$

Pentru , formula $h=1$

P_{n}(x)=\sum _{{m=0}}^{{n}}C_{x}^{m}\sum _{{k=0}}^{m}(-1) ^{{mk}}\,C_{m}^{k}\,f(k)

unde sunt coeficienții binomi generalizați la domeniul numerelor reale . $C_{x}^{m}$

Restul

Polinomul Newton este una dintre formele polinomului Lagrange , deci restul termenilor acestor formule sunt aceiași [5] . Cu toate acestea, termenul rămas al formulei lui Newton poate fi scris într-o formă diferită: $R_{n}(x)=f(x)-P_{n}(x)$