Formule de interpolare

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 5 octombrie 2016; verificările necesită 6 modificări .

Formule de interpolare - în matematică, formule care dau o expresie aproximativă a unei funcții folosind interpolarea , adică printr-un polinom de interpolare de grad , ale cărui valori în puncte date coincid cu valorile funcției de la aceste puncte. Polinomul este definit într-un mod unic, dar în funcție de sarcină, este convenabil să îl scrieți în formule diferite. $f(x)$ $P_n(x)$ $n$ $x_{0},\;x_{1},\ldots,x_{n)$ $y_{0},\;y_{1},\ldots,y_{n)$ $f$ $P_n(x)$

Formula de interpolare a lui Lagrange

Funcția poate fi interpolată pe un segment printr -un polinom de interpolare scris în forma Lagrange [1] : $f$ $[x_{0},x_{n}]$ $P_n(x)$

P_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}y_{k}{\frac {(x-x_{0})(x-x_{1})\ldots ( x-x_{k-1})(x-x_{k+1})\ldots (x-x_{n})}{(x_{k}-x_{0})(x_{k}-x_{ 1})\ldots (x_{k}-x_{k-1})(x_{k}-x_{k+1})\ldots (x_{k}-x_{n})}},

în timp ce eroarea de interpolare a funcției printr -un polinom [2] : $\f(x)$ $\P_n(x)$

|f(x)-P_n(x)|\le \frac {\|f^{(n+1)}(x)\|} {(n+1)!}\cdot \|\Pi_n(x) \|, \qquad \Pi_n(x)=(x-x_0)(x-x_1) \ldots(x-x_n).

În spațiul funcțiilor continue reale, normele corespunzătoare iau forma:

\|f^{(n+1)}(x)\|= \max_{x \in [x_0,x_n]}|f^{(n+1)}(x)|, \qquad \|\Pi_n (x)\|=\max_{x \in [x_0,x_n]}|\Pi_n(x)|.

Formula de interpolare a lui Newton

Dacă punctele sunt situate la distanțe egale , polinomul poate fi scris ca [3] : $x_{0},\;x_{1},\ldots,x_{n)$ $(x_{k}=x_{0}+kh)$ $P_n(x)$

P_{n}(x_{0}+th)=y_{0}+t\Delta y_{0}+{\frac {t(t-1)}{2))\Delta ^{2} y_{0}+\ldots +{\frac {t(t-1)\cdots (t-n+1)}{n!}}\Delta ^{n}y_{0}.

Aici , și este diferența de ordine finită . Aceasta este așa-numita formulă Newton pentru interpolarea directă. Numele său indică faptul că conține valorile date corespunzătoare nodurilor de interpolare situate chiar în dreapta lui . Această formulă este convenabilă atunci când se interpolează funcții pentru valori apropiate de . Când interpolați funcții pentru valori apropiate de , este recomandabil să transformați formula lui Newton prin schimbarea originii (vezi mai jos formulele Stirling și Bessel). $x_{0}+th=x$ $\Delta ^{k}$ $k$ $f$ $x_{0}$ $X$ $x_{0}$ $X$ $x_k$

O formă scurtă a formulei de interpolare a lui Newton pentru cazul nodurilor echidistante [4] :

P_{n}(x)=\sum _{m=0}^{n}\left(C_{x}^{m}\sum _{k=0}^{m}(-1) ^{k}\,C_{m}^{k}\,f(k)\dreapta)

unde sunt coeficienții binomi generalizați la domeniul numerelor reale . $C_{x}^{m}$

Formula lui Newton poate fi scrisă și pentru noduri distanțate inegal, folosind diferențele împărțite pentru aceasta . Spre deosebire de formula Lagrange, în care fiecare termen depinde de toate nodurile de interpolare, orice --lea termen al formulei lui Newton depinde de primele noduri (de la origine), iar adăugarea de noi noduri adaugă doar noi termeni formulei, ceea ce îi conferă un avantaj în termenii de rentabilitate a calculelor [ 5] . $k$

Formula de interpolare a lui Stirling

Dacă folosim un set de noduri , unde , atunci folosind formula lui Newton, putem obține formula Stirling [6] : $x_{k}=x_{0}+kh$ $k=-n,\;-n+1,\ldots ,-1,\;0,\;1,\ldots ,n$

P_{n}(x_{0}+th)=y_{0}+t\delta y_{0}+{\frac {t^{2}}{2}}\delta ^{2}y_ {0}+\ldots +{\frac {t(t^{2}-1)\ldots (t^{2}-(n-1)^{2})}{(2n-1)!}} \delta ^{2n-1}y_{0}+{\frac {t^{2}(t^{2}-1)\ldots (t^{2}-(n-1)^{2}) }{(2n)!}}\delta ^{2n}y_{0}.

Aici , și este diferența centrală finită de ordine . $t={\frac {x-x_{0}}{h}}$ $\delta ^{k)$ $k$

Formula de interpolare a lui Bessel

În mod similar, se poate obține formula Bessel, care are forma [7]

P_{n}(x_{0}+th)=y_{1/2}+\left(t-{\frac {1}{2}}\right)\Delta y_{1/2}+ {\frac {t(t-1)}{2}}\Delta ^{2}y_{1/2}+\cdots +{\frac {t(t^{2}-1)\cdots (t^ {2}-(n-1)^{2})(tn)}{(2n)!}}\Delta ^{2n}y_{1/2}+{\frac {t(t^{2}- 1)\cdots (t^{2}-(n-1)^{2})(tn)(t-{\frac {1}{2)))}{(2n+1)!}}\Delta ^{2n+1}y_{1/2}.

Această formulă este deosebit de convenabilă pentru interpolare la , deoarece în acest caz toți termenii care conțin diferențe finite de ordin impar dispar. Acest caz corespunde valorii , adică interpolare „la mijloc” [8] . $t={\frac {1}{2}}$ $x=x_{0}+{\frac {1}{2}}h$

Vezi și

Note

↑ Berezin, Jidkov, 1962 , p. 85.
↑ Berezin, Jidkov, 1962 , p. 91.
↑ Berezin, Jidkov, 1962 , p. 119.
↑ Berezin, Jidkov, 1962 , p. 115.
↑ Berezin, Jidkov, 1962 , p. 107.
↑ Berezin, Jidkov, 1962 , p. 127.
↑ Berezin, Jidkov, 1962 , p. 129.
↑ Berezin, Jidkov, 1962 , p. 130.

Literatură

Goncharov, VL Teoria interpolării și aproximării funcțiilor. - Ed. a II-a, revăzută .. -M .:Editura de stat de literatură tehnică și teoretică, 1954.
Berezin, I. S. , Zhidkov N. P. Metode de calcul. - Ed. a II-a. -M .:Fizmatlit, 1962. - T. I. (Rusă)

Link -uri

[bse.sci-lib.com/article055748.html Marea Enciclopedie Sovietică]