Secvență irațională

În matematică , o secvență de numere întregi pozitive a n se numește șir irațional dacă are proprietatea că pentru orice șir x n de numere întregi pozitive suma șirului

\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {1}{a_{n}x_{n}}}

există și este un număr irațional [1] [2] . Problema descrierii secvențelor iraționale a fost pusă de Pal Erdős și Ernst Straus , care au numit inițial proprietatea de a fi o secvență irațională „Proprietatea P” [3] .

Exemple

Puterile a doi formează o secvență irațională. Cu toate acestea, deși secvența Sylvester $2^{{2^{n}}}$

2 , 3 , 7 , 43 , 1807, 3263443, …

(în care fiecare termen este cu unul mai mare decât produsul tuturor termenilor anteriori) crește și el cu viteza exponentului dublu , nu formează o succesiune irațională. Dacă punem , primim $x_{n}=1$

{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{43}}+\cdots =1,

care converge către un număr rațional. În mod similar, factorialii nu formează o secvență irațională, deoarece secvența conduce la o secvență cu o sumă rațională. $n!$ $x_{n}=n+2$

\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+2)n!}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1} {3}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{30}}+{\frac {1}{144}}+\cdots =1

[1] .

Rata de creștere

Orice secvență a n care crește cu o rată astfel încât

\limsup _{n}{\frac {\log \log a_{n}}{n}}>\log 2

este o secvență irațională. Aceasta include secvențe care cresc mai repede decât exponentul dublu, precum și unele secvențe exponențiale duble care cresc mai repede decât o putere de doi [1] .

Orice secvență irațională trebuie să crească suficient de repede pentru asta

\lim _{{n\to \infty }}a_{n}^{{1/n}}=\infty .

Cu toate acestea, nu se știe dacă există o astfel de secvență în care mcd -ul oricărei perechi de factori este egal cu 1 (în contrast cu puterea unei puteri a doi) și pentru care

\lim _{n\to \infty }a_{n}^{1/2^{n}}<\infty

[4] .

Proprietăți înrudite

Prin analogie cu secvențele iraționale, Hančl ( Hančl 1996 ) a definit secvențele transcendentale ca șiruri de numere întregi a n astfel încât pentru orice succesiune x n de numere întregi pozitive suma șirului

\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {1}{a_{n}x_{n}}}

există și este un număr transcendent [5] .

Note

↑ 1 2 3 Richard K. Guy. Probleme nerezolvate în teoria numerelor // a 3-a. - Springer-Verlag , 2004. - S. 346 . — ISBN 0-387-20860-7 .
↑ P. Erdős, R. L. Graham. Probleme vechi și noi și rezultate în teoria numerelor combinatorii. - Geneva: Université de Genève L'Enseignement Mathématique, 1980. - Vol. 28. - (Monographies de L'Enseignement Mathématique).
↑ P. Erdős. Câteva probleme și rezultate privind iraționalitatea sumei serii infinite // Journal of Mathematical Sciences. - 1975. - T. 10 . - S. 1-7 (1976) .
↑ P. Erdős. Noi progrese în teoria transcendenței (Durham, 1986). Cambridge: Cambridge University. Press, 1988. - S. 102-109.
↑ Jaroslav Hancl. Secvenţe transcendentale // Mathematica Slovaca. - 1996. - T. 46 , nr. 2-3 . - S. 177-179 .