Număr transcendental

Un număr transcendental (din latină transcendere - a trece, a depăși) este un număr real sau complex care nu este algebric - cu alte cuvinte, un număr care nu poate fi rădăcina unui polinom cu coeficienți întregi (nu identic egal cu zero) [ 1] . Se mai pot înlocui în definiție polinoamele cu coeficienți întregi cu polinoamele cu coeficienți raționali , deoarece au aceleași rădăcini.

Proprietăți

Toate numerele complexe sunt împărțite în două clase care nu se suprapun - algebrice și transcendentale. Din punctul de vedere al teoriei mulțimilor , există mult mai multe numere transcendentale decât cele algebrice: mulțimea numerelor transcendentale este continuă , iar mulțimea numerelor algebrice este numărabilă .

Fiecare număr real transcendental este irațional , dar inversul nu este adevărat. De exemplu, un număr este irațional, dar nu transcendent: este rădăcina unei ecuații (și, prin urmare, este algebric). ${\sqrt {2}}$ $x^{2}-2=0$

Spre deosebire de mulțimea numerelor algebrice, care este un câmp , numerele transcendentale nu formează nicio structură algebrică în ceea ce privește operațiile aritmetice - rezultatul adunării, scăderii, înmulțirii și împărțirii numerelor transcendentale poate fi atât un număr transcendental, cât și un număr algebric. Cu toate acestea, există câteva modalități limitate de a obține un număr transcendent de la un alt număr transcendent.

Dacă este un număr transcendental, atunci și sunt, de asemenea, transcendentale. $t$ $-t$ $1/t$
Dacă este un număr algebric diferit de zero și este un număr transcendental, atunci ele sunt transcendentale. $A$ $t$ $a\pm t,\la,\a/t,\t/a$
Dacă este un număr transcendental și este un număr natural , atunci la fel sunt transcendental. $t$ $n$ $t^{\pm n)$ ${\sqrt[{n}]{t))$

Măsura iraționalității aproape oricărui număr transcendental (în sensul măsurii Lebesgue ) este 2.

Exemple de numere transcendentale

Număr $\pi$ ( F. von Lindemann , 1882).
Număr $e$ ( Sh. Sihastru , 1873).
Constanta lui Gelfond ( A. O. Gelfond , 1934). $e^{\pi }$
$\pi +e^{\pi )$ , ( Yu. V. Nesterenko , 1996). $\pi *e^{\pi )$
Logaritmul zecimal al oricărui număr natural [2] , cu excepția numerelor de forma . $10^{n}$
$\sin a,\cos a$ și , pentru orice număr algebric diferit de zero (prin teorema Lindemann-Weierstrass ). $\mathrm {tg} \,a$ $A$

Istorie

Pentru prima dată, conceptul de număr transcendental (și acest termen însuși) a fost introdus de Leonhard Euler în lucrarea sa „ De relation inter tres pluresve quantitates instituenda ” (1775) [3] . Euler s-a ocupat de acest subiect încă din anii 1740 [4] ; el a afirmat că valoarea logaritmului pentru numerele raționale nu este algebrică (" radical ", așa cum se spunea atunci) [5] , cu excepția cazului în care pentru unele raționale afirmația lui Euler s-a dovedit a fi adevărată, dar nu a fost dovedită până când Secolului 20. $\log _{a}{b}$ $a,b$ $b=a^{c)$ $c.$

Existența numerelor transcendentale a fost dovedită de Joseph Liouville în 1844 , când a publicat o teoremă conform căreia un număr algebric nu poate fi aproximat prea bine printr-o fracție rațională. Liouville a construit exemple concrete (" numere Liouville "), care au devenit primele exemple de numere transcendentale.

În 1873, Charles Hermite a dovedit transcendența numărului e , baza logaritmilor naturali. În 1882, Lindemann a demonstrat teorema de transcendență pentru gradul unui număr e cu exponent algebric non-nul, demonstrând astfel transcendența numărului și imposibilitatea de rezolvare a problemei pătrarii cercului . $\pi$

În 1900, la al II-lea Congres Internațional al Matematicienilor , Hilbert , printre problemele pe care le-a formulat, a formulat a șaptea problemă : „Dacă este un număr algebric și este algebric, dar irațional, este adevărat că este un număr transcendental?” În special, este numărul transcendental ? Această problemă a fost rezolvată în 1934 de către Gelfond , care a demonstrat că toate astfel de numere sunt într-adevăr transcendentale. $a\neq 0.1$ $A$ $b$ $a^{b}$ $2^{{\sqrt 2}}$

Variații și generalizări

În teoria Galois , se consideră o definiție mai generală: un element al unei extensii de câmp P este transcendental dacă nu este o rădăcină a unui polinom peste P.

Există un analog al teoriei numerelor transcendentale pentru polinoame cu coeficienți întregi definiți pe câmpul numerelor p-adice [1] .

Câteva probleme deschise

Nu se știe dacă numărul este rațional sau irațional , algebric sau transcendent [6] . $\ln\pi$
Măsura iraționalității pentru numere este necunoscută [7] . $\ln 2,\ln 3$

Vezi și

Note

↑ 1 2 Enciclopedia de matematică, 1985 .
↑ Gelfond A. O. , Numerele transcendentale și algebrice, M., 1952.
↑ Jukov A. Numere algebrice și transcendentale . Preluat: 9 august 2017. (nedefinit)
↑ Gelfond A. O. Numere transcendentale și algebrice. - M. : GITTL, 1952. - S. 8. - 224 p.
↑ Euler, L. Introductio in analysin infinitorum (lat.) . — Lausanne, 1748.
↑ Weisstein, Eric W. Number π (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .
^ Weisstein , Eric W. Măsurarea iraționalității la Wolfram MathWorld .

Literatură

Sprindzhuk V. G. Număr transcendental // Enciclopedia matematică : [în 5 volume] / Cap. ed. I. M. Vinogradov . - M . : Enciclopedia Sovietică, 1985. - T. 5: Slu - Ya. - S. 426-427. - 1248 stb. : bolnav. — 150.000 de exemplare.
Feldman N. Numere algebrice și transcendentale // Kvant . - 1983. - Nr 7 . - S. 2-7 .

Dicționare și enciclopedii	Mare catalană Rusă mare Britannica (online) Universalis
În cataloagele bibliografice	BNF : 11939601n J9U : 987007538746705171 LCCN : sh85093223 NDL : 00573599 NKC : ph215331

Sisteme numerice
Seturi numărabile	numere naturale ( ) $\scriptstyle \mathbb {N}$ numere întregi ( ) $\scriptstyle \mathbb {Z}$ Rațional ( ) $\scriptstyle \mathbb {Q}$ algebric ( ) $\scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}$ Perioadele Calculabil Aritmetic
Numerele reale și extensiile lor	Real ( ) $\scriptstyle \mathbb {R}$ Complex ( ) $\scriptstyle \mathbb {C}$ Cuaternioni ( ) $\scriptstyle \mathbb {H}$ Numerele Cayley (octave, octooni) ( ) $\scriptstyle \mathbb {O}$ Sedenions ( ) $\scriptstyle \mathbb {S}$ Alterniuni Dual Hipercomplex Superreale Hipermaterial ireal
Instrumente de extensie numerică	Procedura Cayley-Dixon Teorema Frobenius Teorema Hurwitz
Alte sisteme numerice	numere cardinale Numere ordinale (transfinite, ordinale) p-adic Numere supranaturale numere de interval
Vezi si	numere duble Numere irationale numerele transcendentale fascicul numeric Biquaternion

Numere irationale
Constanta Apéry ( ζ(3) ) Constanta Erdős-Borwein ( E ) Constantele Feigenbaum vis sofomorian Constanta numărului prim (ρ) Număr de plastic (ρ) Logaritm de doi (ln 2) Rădăcina a 12-a a lui 2 ( 12 √ 2 ) Rădăcină pătrată a lui 2 ( √ 2 ) Rădăcină pătrată a lui 3 ( √ 3 ) Rădăcină pătrată a lui 5 ( √5 ) Raportul de aur (φ) Super raport de aur (ψ) Secțiune de argint ( δS ) e π Constanta Gelfond ( e π ) Constanta Gelfond-Schneider ( 2 √ 2 ) constanta Fibonacci inversă (ψ)
transcendental Trigonometric