Ecuație irațională

O ecuație irațională este o ecuație care conține necunoscutul sub semnul rădăcinii sau ridicată la o putere care nu poate fi redusă la un număr întreg . Cel mai simplu exemplu de ecuație irațională este ecuația sau . Uneori, rădăcinile pot fi notate ca puteri raționale ale necunoscutului, adică scriu în schimb . $\surd$ ${\sqrt {x}}=2$ ${\sqrt[{3}]{x}}=-3$ ${\sqrt[{n}]{x}}$ $x^{\frac {1}{n)}$

Exemple și clasificare

$3(x+4)=x$ - deoarece variabila nu se află sub semnul rădăcinii - aceasta este o ecuație algebrică. $X$
$3(y+z)^{2}=x-{\sqrt {\pi ))$ - deoarece nici una dintre variabilele , , nu se află sub semnul rădăcinii, ci este un număr constant - aceasta este o ecuație algebrică. $z$ $y$ $X$ ${\sqrt {\pi ))$
${\sqrt {3}}(x+5)^{2}={\frac {1}{x}}$ - deoarece variabila nu se află sub semnul rădăcinii și - un număr constant este o ecuație rațională. $X$ ${\sqrt 3}$
${\sqrt {3}}(x+5)^{2}=x^{-1}$ - chiar și ecuațiile în care necunoscutul sta cu puteri negative nu sunt iraționale. Aceasta este din nou o ecuație rațională identică cu cea descrisă mai sus. $X$
${\sqrt {3}}(x+5)^{2}=x^{0}$ este o ecuație algebrică, deoarece $x^{0}=1$
${\sqrt {3}}(x+5)^{2}=x^{\frac {1}{2}}$ - deoarece variabila este ridicată la o putere fracțională, care nu poate fi redusă la un număr întreg - aceasta este o ecuație irațională. $X$

Pe scurt, regula de atribuire a ecuațiilor unei categorii sau alteia poate fi formulată după cum urmează:

dacă toate puterile necunoscutelor din ecuație aparțin mulțimii numerelor naturale , atunci o astfel de ecuație este considerată algebrică. $\mathbb {N}$
dacă toate puterile necunoscutelor din ecuație aparțin mulțimii numerelor întregi , atunci o astfel de ecuație se numește rațională. $\mathbb {Z}$
dacă toate puterile necunoscutelor din ecuație aparțin mulțimii numerelor raționale , atunci o astfel de ecuație se numește irațională. $\mathbb {Q}$

Exemple de ecuații iraționale mai complexe pot servi drept exemple:

{\sqrt {x+4}}+{\sqrt {x+9}}=5

7{\sqrt[{3}]{2x^{2}+6}}-3{\sqrt[{3}]{x^{2}}}=11

x^{2}+{\sqrt {x-1}}=10x+{\sqrt[{11}]{x-2}}+1

Relația cu ecuațiile algebrice

Orice ecuație irațională cu ajutorul operațiilor algebrice elementare (înmulțire, împărțire, ridicarea ambelor părți ale ecuației la o putere întreagă) poate fi redusă la o ecuație algebrică rațională . De exemplu, o ecuație prin ridicarea la a doua putere poate fi convertită la forma , care nu mai este o ecuație irațională, ci una algebrică. ${\sqrt {x^{2}+x}}=2$ $x^{2}+x=4$

Trebuie avut în vedere că ecuația algebrică rațională rezultată poate să nu fie echivalentă cu ecuația irațională originală, și anume, poate conține rădăcini „extra” care nu vor fi rădăcinile ecuației iraționale originale. Prin urmare, după ce s-au găsit rădăcinile ecuației algebrice raționale obținute, este necesar să se verifice dacă toate rădăcinile ecuației raționale vor fi rădăcinile ecuației iraționale.

Abordări soluții

În cazul general, este dificil de indicat vreo metodă universală de rezolvare a oricărei ecuații iraționale, deoarece este de dorit ca, în urma transformărilor ecuației iraționale originale, să se obțină nu doar un fel de ecuație algebrică rațională, printre rădăcinile lui care vor fi rădăcinile acestei ecuații iraționale, ci o ecuație algebrică rațională formată din polinoame de cât mai puțin grad. Dorința de a obține o ecuație algebrică rațională formată din polinoame de cel mai mic grad posibil este destul de firească, deoarece găsirea tuturor rădăcinilor unei ecuații algebrice raționale poate fi în sine o sarcină destul de dificilă, pe care o putem rezolva complet doar într-un număr foarte limitat. de cazuri.

Exponentiation

Dacă ambele părți ale ecuației iraționale sunt ridicate la aceeași putere impară și eliberate de radicali, atunci se obține o ecuație care este echivalentă cu ecuația originală.

Când o ecuație este ridicată la o putere pară, se obține o ecuație care este o consecință a celei inițiale. Prin urmare, este posibilă apariția unor soluții străine ale ecuației. Motivul dobândirii rădăcinilor este că atunci când se ridică la o putere pară numere care sunt egale ca valoare absolută, dar diferite ca semn, se obține același rezultat.

Rețineți că pierderea rădăcinilor la ridicarea unei ecuații la o putere uniformă este imposibilă, dar pot apărea rădăcini străine. Luați în considerare un exemplu:

Să rezolvăm ecuația ${\sqrt {x^{2}+4x-5}}=4x-8$

Ridicați ambele părți ale ecuației la a doua putere

$({\sqrt {x^{2}+4x-5)))^{2}=(4x-8)^{2}$

întrucât ridicăm la o putere uniformă, apariția rădăcinilor străine este posibilă, deoarece prin însuși procesul de creștere extindem gama de valori acceptabile (ODZ) pentru expresiile radicale.

Deci, atunci când a fost echivalată cu un număr pozitiv cunoscut (deoarece , în virtutea definiției unei rădăcini aritmetice), variabila nu putea lua valori care să fie transformate în numere negative, ceea ce înseamnă sau . $4x-8$ ${\sqrt {x^{2}+4x-5}}\geqslant 0$ $X$ $4x-8$ $4x-8\geqslant 0$ $x\geqslant 2$

Cu alte cuvinte, în locul cu enunțul problemei, ni s-au dat și restricții asupra valorilor variabilei (ODV) în forma . Dar, după ce punem la pătrat ambele părți, obținem ecuația $x\geqslant 2$

$x^{2}+4x-5=16x^{2}-64x+64$ ,

deja în care zona valorilor admisibile ( ODZ ) cu o modificare este complet diferită (acum poate lua absolut orice valoare, adică ODZ s-a extins în raport cu ecuația originală). $X$ $X$

Evident, probabilitatea rădăcinilor străine a crescut dramatic prin simplul fapt că acum multe mai multe numere pot deveni rădăcină, și nu doar cele care . $x\geqslant 2$

Continuând să rezolvăm și să simplificăm, obținem o ecuație pătratică: $x^{2}+4x-5=16x^{2}-64x+64$

$15x^{2}-68x+69=0$ , ale căror rădăcini sunt

$x=3$ și $x={\frac {23}{15}}$

Trebuie remarcat faptul că și sunt exact rădăcinile ecuației , dar nu se știe încă dacă sunt rădăcinile ecuației originale. $x=3$ $x={\frac {23}{15}}$ $15x^{2}-68x+69=0$ ${\sqrt {x^{2}+4x-5}}=4x-8$

Deci știm că rădăcinile ecuației inițiale nu pot fi mai mici de 2, dar între timp rădăcina este mai mică de doi, ceea ce înseamnă că nu poate fi rădăcina ecuației originale. $x={\frac {23}{15}}\aproximativ 1,533333...$

Răspuns: $x\in \{3\)$

Înlocuirea sistemului de condiții

Utilizarea proprietăților rădăcină

Introducerea de noi variabile

Introducerea unei variabile auxiliare duce în unele cazuri la o simplificare a ecuației. Cel mai adesea, rădăcina (radicalul) inclusă în ecuație este folosită ca o nouă variabilă. În acest caz, ecuația devine rațională în raport cu noua variabilă.

Exemplul 1 [1] : Rezolvați ecuația $2x^{2}+3x+{\sqrt {2x^{2}+3x+9}}=33,x\in \mathbb {R}$

Să facem o înlocuire , este clar că făcând acest lucru am impus restricții asupra noii variabile în forma , deoarece rădăcina aritmetică nu poate fi un număr negativ. $y={\sqrt {2x^{2}+3x+9}}$ $y\geqslant {0}$

După ridicarea la a doua putere, scăpăm de semnul rădăcinii și obținem expresia . În plus, după înlocuirea în ecuația originală, obținem următoarea ecuație: $y$ $y^{2}=2x^{2}+3x+9$ $y$

$y^{2}+y-42=0$ ,

ale căror rădăcini şi . Dar nu poate fi un număr negativ din cauza faptului că l-am definit prin substituția noastră, așa că vom lua în considerare doar . În plus, rezolvând ecuația , obținem rădăcinile și . $y=6$ $y=-7$ $y$ $y$ $y=6$ ${\sqrt {2x^{2}+3x+9}}=6$ $x=3$ $x=-4,5$

Răspuns: $x\in \{3;-4,5\}$

Exemplul 2 [2] : Rezolvați ecuația ${\sqrt[{3}]{x+28}}-{\sqrt[{3}]{x-9}}=1$

Să facem două înlocuiri: și , după ce le-am ridicat la a treia putere, obținem și . În plus, rezolvând fiecare nouă ecuație pentru $u={\sqrt[{3}]{x+28))$ $v={\sqrt[{3}]{x-9))$ $u^{3}=x+28$ $v^{3}=x-9$ $X$

$x=u^{3}-28$ și , și după egalizarea acestor ecuații, obținem ecuația , dar având în vedere modul în care am introdus și , avem și ecuația , ceea ce înseamnă că avem un sistem de ecuații: $x=v^{3}+9$ $u^{3}-28=v^{3}+9$ $u$ $v$ $uv=1$

${\begin{cases}uv=1\\u^{3}-v^{3}=37\end{cases))$

După ce am rezolvat sistemul, obținem valorile și , ceea ce înseamnă că trebuie să rezolvăm încă două ecuații: $v_{1}=3$ $v_{2}=-4$

${\sqrt[{3}]{x-9}}=3$ şi , ale căror soluţii şi . ${\sqrt[{3}]{x-9}}=-4$ $x=36$ $x=-55$

Răspuns: $x\in \{36;-55\}$

Utilizarea domeniului de aplicare

Utilizarea intervalului

Transformări de identitate

Folosind derivatul

Utilizarea majorantului

Termenul „ majorante ” provine din cuvântul francez „majorante” , de la „majorer” - a declara mare.

Majoranta unei funcții date pe un interval dat este un număr A astfel încât fie pentru toți x din intervalul dat, fie pentru toți x din intervalul dat. Ideea principală a metodei este de a utiliza următoarele teoreme pentru a rezolva ecuații iraționale: $f(x)$ $f(x)\leqslant {A}$ $f(x)\geqslant {A}$

Teorema numărul 1.

Fie și să fie unele funcții definite pe set . Fie mărginită pe această mulțime de numărul A de sus și mărginită pe această mulțime de același număr A , dar de jos. $f(x)$ $g(x)$ $D$ $f(x)$ $g(x)$

Atunci ecuația este echivalentă cu sistemul: $f(x)=g(x)$

${\begin{cases}f(x)=A\\g(x)=A\end{cases))$

Teorema numărul 2.

Fie și să fie unele funcții definite pe set . Fie și mărginiți pe această mulțime de jos (de sus) de numerele A și , respectiv , B. Atunci ecuația este echivalentă cu sistemul de ecuații: $f(x)$ $g(x)$ $D$ $f(x)$ $g(x)$ $f(x)+g(x)=A+B$

${\begin{cases}f(x)=A\\g(x)=B\end{cases))$

Teorema numărul 3.

Fie și unele funcții nenegative definite pe mulțime . Fie mărginit de sus (sau de jos) de numerele A și , respectiv , B. Atunci ecuația este echivalentă cu sistemul de ecuații (cu condiția ca și ): $f(x)$ $g(x)$ $D$ $f(x)$ $f(x)g(x)=AB$ $A>0$ $B>0$

${\begin{cases}f(x)=A\\g(x)=B\end{cases))$

În această afirmație, condiția de non-negativitate a funcțiilor și este deosebit de importantă , precum și condiția de pozitivitate a lui A și B. $f(x)$ $g(x)$

Exemplu:

rezolva ecuatia ${\sqrt {(x-2y+1)^{2}+1}}+{\sqrt {(3x-y-2)^{2}+25}}=6$

Să introducem notația mai scurtă: și . $f(x,y)={\sqrt {(x-2y+1)^{2}+1))$ $g(x,y)={\sqrt {(3x-y-2)^{2}+25))$

Valori mai mari sau egale cu 1 deoarece expresia radicală este evidentă . Și numai dacă . În mod similar, valorile nu sunt mai mici de 5. Deci putem scrie . Prin urmare, folosind teorema #2: $f(x,y)$ $(x-2y+1)^{2}+1$ $\geqslant {1}$ $f(x,y)=1$ $(x-2y+1)^{2}=0$ $g(x,y)$ $f(x,y)+g(x,y)=1+5$

${\begin{cases}f(x,y)=1\\g(x,y)=5\end{cases))$ sau ${\begin{cases}{\sqrt {(x-2y+1)^{2}+1}}=1\\{\sqrt {(3x-y-2)^{2}+25} }=5\end{cazuri}}$

Punând la pătrat ambele ecuații, obținem

${\begin{cases}(x-2y+1)^{2}=0\\(3x-y-2)^{2}=0\end{cases))$ , simplificând în continuare ${\begin{cases}x-2y+1=0\\3x-y-2=0\end{cases))$

Singura soluție pentru acest sistem $(1;1)$

Răspuns: $(1;1)$

Abordare grafică

În unele cazuri, trasarea unei funcții vă permite să evaluați modalități posibile de a rezolva o ecuație, numărul de rădăcini sau valoarea lor aproximativă.

Note

↑ Akatkina Elena Mihailovna. Metode de rezolvare a ecuațiilor iraționale . Deschideți lecția.rf . (nedefinit)
↑ Eremenko Elena Vasilievna. Ecuații iraționale . Deschideți lecția.rf . Preluat la 24 octombrie 2020. Arhivat din original la 21 septembrie 2020. (nedefinit)

Link -uri

[ Ecuații iraționale. Exemple cu soluții ]