Atlas (topologie)

Atlas - conceptul de geometrie diferenţială , permiţându-vă să introduceţi structuri suplimentare pe colector ; de exemplu, o structură netedă sau o structură complexă.

Atlasul constă din hărți individuale care descriu zone individuale de diversitate. Dacă prin diversitate înțelegem suprafața Pământului, atunci cuvintele „hartă” și „atlas” capătă semnificațiile lor obișnuite.

Definiții

Fie un câmp numeric (de exemplu , sau ), fie un spațiu topologic . $K$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$ $X$

Harta este o pereche unde $(U,f)$

U

este un set deschis în

X

f

este un homeomorfism de la la un set deschis la

U

K^n

Harta locală intră în coordonate curbilinie prin asocierea unui punct cu un set de numere $U$ $x=f^{-1}(t)$ $t=(t^{1},...,t^{n})$

Dacă domeniile a două hărți și se intersectează ( ), atunci între mulțimi și există mapări reciproc inverse (homeomorfisme), numite funcții de comparație sau mapare de lipire : $(U_{1},f_{1})$ $(U_{2},f_{2})$ $U_{1}\cap U_{2}\neq \emptyset$ $f_{1}(U_{2})$ $f_{2}(U_{1})$ ${\begin{matrix}f_{12}=f_{1}\circ f_{2}^{-1}|_{f_{2}(U_{1}\cap U_{2})}& :\ f_{2}(U_{1}\cap U_{2})\to f_{1}(U_{1}\cap U_{2})\\f_{21}=f_{2}\circ f_ {1}^{-1}|_{f_{1}(U_{1}\cap U_{2})}&:\ f_{1}(U_{1}\cap U_{2})\to f_ {2}(U_{1}\cap U_{2})\end{matrice}}$

Un atlas este un set de hărți coordonate , astfel încât să formeze o acoperire spațială . Iată un set de indici. În acest caz, un atlas se numește neted (de clasă ) sau analitic dacă funcțiile de schimbare a coordonatelor pentru toate hărțile sunt netede (de clasă ) sau analitic. $\{(U_{\alpha },f_{\alpha })\)$ $\alpha \in {\mathcal {A}}$ $\{U_{\alpha }\}$ $X$ ${\mathcal {A}}$ $C^k$ $f_{\alpha _{1}\alpha _{2))$ $C^k$

Definiții înrudite

Se spune că două atlasuri netede (analitice) sunt consistente dacă uniunea lor este, de asemenea, un atlas neted (analitic).