Homeomorfismul

Homeomorfismul ( greacă ὅμοιος - similar, μορφή - formă) este o mapare unu-la-unu și reciproc continuă a spațiilor topologice . Cu alte cuvinte, este o bijecție care conectează structurile topologice a două spații, întrucât, sub continuitatea bijecției, imaginile și imaginile inverse ale submulților deschise sunt mulțimi deschise care determină topologiile spațiilor corespunzătoare.

Spațiile conectate printr-un homeomorfism nu se pot distinge topologic. Putem spune că topologia studiază proprietățile obiectelor care sunt neschimbate sub homeomorfism.

În categoria spațiilor topologice sunt luate în considerare doar mapările continue, deci în această categorie un izomorfism este și un homeomorfism.

Definiție

Fie și două spații topologice . O funcție se numește homeomorfism dacă este unu-la-unu și atât funcția în sine, cât și inversul ei sunt continue . $(X,\mathcal{T}_X)$ $(Y,\mathcal{T}_Y)$ $f:X \la Y$ $f$ $f^{-1}$

Definiții înrudite

Spațiile în acest caz sunt numite și homeomorfe sau echivalente din punct de vedere topologic . $X$ $Y$
- Această relație este de obicei desemnată ca . $X\simeq Y$
O proprietate a unui spațiu se numește topologică dacă este păstrată sub homeomorfisme. Exemple de proprietăți topologice: toate tipurile de separabilitate în spații topologice, conexiune și deconectare , conexiune liniară , compactitate , conexiune simplă , metrizabilitate , precum și analogi locali ai proprietăților enumerate (conexiune locală, conexiune liniară locală, compactitate locală, conexiune locală simplă , metrizabilitate locală), proprietatea de a fi varietate topologică , dimensionalitate finită, dimensionalitate infinită și dimensiunea varietăților topologice etc.
Un homeomorfism local al spațiilor este o hartă surjectivă continuă dacă fiecare punct are o vecinătate astfel încât restricția la este un homeomorfism între și imaginea sa . $f:X\la Y$ $x\în X$ $U\ni x$ $f$ $U$ $f|_{U}:U\la f(U)$ $U$ $f(U)$
- Exemplu. Maparea este un homeomorfism local între linia reală și cerc . Cu toate acestea, aceste spații nu sunt homeomorfe, de exemplu, deoarece cercul este compact în timp ce linia nu este. $x\to (\cos x,\sin x)$ ${\mathbb {R} }$ $S^{1}$

Teorema homeomorfismului

Fie un interval pe linia numerică (deschis, semideschis sau închis). Să fie o bijecție. Atunci este un homeomorfism dacă și numai dacă este strict monoton și continuu $|a,b|\subset \mathbb{R}$ $f:|a,b| \to f\bigl( |a,b| \bigr)\subset \R$ $f$ $f$ $|a,b|.$

Exemplu

Un interval deschis arbitrar este homeomorf la întreaga dreaptă numerică . Un homeomorfism este dat, de exemplu, de formula $(a,b) \subset \mathbb{R}$ $\mathbb {R}$ $f:(a,b) \to \mathbb{R}$

f(x) = \mathrm{ctg}\left(\pi\frac{xa}{ba}\right).

Un interval este homeomorf la un segment în topologia discretă , dar nu este homeomorf în topologia standard cu linii numerice . $(0, \; 1)$ $[0, \; unu]$

Vezi și

Note

Literatură

Zorich V. A. Analiză matematică. - M . : Nauka , 1984. - T. 2. - S. 41.
Vasiliev V. A. Introducere în topologie. - M. : FAZIS, 1997. - Numărul. 3. - xii + 132 p. - (Biblioteca unui student-matematician). — ISBN 5-7036-0036-7 .
Timofeeva NV Geometrie diferențială și elemente de topologie . - YaGPU , 2007.
Boltyansky V.G. , Efremovici V.A. Topologie vizuală. — M .: Nauka, 1982. — 160 p.

Link -uri

Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), Homeomorfism , Enciclopedia matematicii , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4