Unghi solid

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 7 decembrie 2019; verificările necesită 2 modificări .

Un unghi solid este o parte a spațiului care este uniunea tuturor razelor care ies dintr-un punct dat ( vârful unghiului) și care intersectează o suprafață (care se numește suprafața care subtinde unghiul solid dat). Cazurile particulare ale unghiului solid sunt unghiurile triedrice și poliedrice . Limita unghiului solid este o suprafață conică . Unghiul solid este de obicei notat cu litera Ω .

Unghiul solid este măsurat prin raportul dintre aria acelei părți a sferei centrată la vârful unghiului, care este tăiată de acest unghi solid, la pătratul razei sferei:

\Omega \,=\,{S \over R^{2}}.

Unghiurile solide sunt măsurate prin mărimi abstracte (adimensionale). Unitatea SI a unghiului solid este steradianul , care este egal cu unghiul solid care taie o suprafata cu aria r2 dintr - o sfera cu raza r . O sferă completă formează un unghi solid egal cu 4π steradians ( unghi solid complet ) pentru un vârf situat în interiorul sferei, în special pentru centrul sferei; același este unghiul solid sub care orice suprafață închisă este vizibilă dintr-un punct complet închis de această suprafață, dar care nu îi aparține. Pe lângă steradiani, unghiul solid poate fi măsurat în grade pătrate, minute pătrate și secunde pătrate, precum și în fracțiuni dintr-un unghi solid complet.

Unghiul solid are dimensiunea fizică zero .

Unghiul solid dublu față de un unghi solid dat Ω este definit ca un unghi format din raze care formează un unghi neacut cu orice rază de unghi Ω .

Coeficienți pentru conversia unităților unghiulare solide.

$\Omega$	Steradian	mp grad	mp minut	mp al doilea	unghi complet
1 steradian =	unu	(180/π)² ≈ ≈ 3282,806 sq. grade	(180×60/π)² ≈ ≈ 1,1818103⋅10 7 sq. minute	(180×60×60/π)² ≈ ≈ 4,254517⋅10 10 sq. secunde	1/4π ≈ ≈ 0,07957747 unghi întreg
1 mp grad =	(π/180)² ≈ ≈ 3,0461742⋅10 −4 steradiani	unu	60² = = 3600 mp. minute	(60×60)² = = 12.960.000 sq. secunde	π/(2×180)² ≈ ≈ 2,424068⋅10 −5 unghi complet
1 mp minut =	(π/(180×60))² ≈ ≈ 8,461595⋅10 −8 steradiani	1/60² ≈ ≈ 2,7777778⋅10 −4 mp. grade	unu	60² = = 3600 mp. secunde	π/(2×180×60)² ≈ ≈ 6,73352335⋅10 −9 unghi întreg
1 mp secunda =	(π/(180×60×60))² ≈ ≈ 2,35044305⋅10 −11 steradiani	1/(60×60)² ≈ ≈ 7,71604938⋅10 −8 sq. grade	1/60² ≈ ≈ 2,7777778⋅10 −4 mp. minute	unu	π/(2×180×60×60)² ≈ ≈ 1,87042315⋅10 −12 unghi complet
unghi complet =	4π ≈ ≈ 12,5663706 steradiani	(2×180)²/π ≈ ≈ 41252,96125 sq. grade	(2×180×60)²/π ≈ ≈ 1,48511066⋅10 8 sq. minute	(2×180×60×60)²/π ≈ ≈ 5,34638378⋅10 11 sq. secunde	unu

Calculul unghiurilor solide

Pentru o suprafață contractantă arbitrară S , unghiul solid Ω sub care este vizibil de la origine este egal cu

\Omega =\int \limits _{S}d\Omega =\iint \limits _{S}\sin \vartheta \,d\varphi \,d\vartheta =\int \limits _{S}{\frac { ({\mathbf {r}}/r)\cdot {\mathbf {n}}dS}{r^{2}}},

unde sunt coordonatele sferice ale elementului de suprafață, este vectorul razei acestuia , este vectorul unitar normal la $r,\vartheta ,\varphi$ $ds,$ $\mathbf {r}$ $\mathbf {n}$ $dS.$

Proprietățile unghiurilor solide

Unghiul solid complet (sfera plină) este de 4 π steradiani.
Suma tuturor unghiurilor solide duale cu unghiurile solide interioare ale unui poliedru convex este egală cu unghiul complet.

Valorile unor unghiuri solide

Un triunghi cu coordonatele vârfurilor , , este vizibil de la origine la un unghi solid ${\mathbf {r}}_{1}$ ${\mathbf {r}}_{2}$ ${\mathbf {r}}_{3}$

\Omega =2\,{\mathrm {arctg}}\,{\frac {({\mathbf {r}}_{1}{\mathbf {r}}_{2}{\mathbf {r}}_ {3})}{r_{1}r_{2}r_{3}+({\mathbf {r}}_{1}\cdot {\mathbf {r}}_{2})r_{3}+ ({\mathbf {r}}_{2}\cdot {\mathbf {r}}_{3})r_{1}+({\mathbf {r}}_{3}\cdot {\mathbf {r }} }}_{1})r_{2}}},

unde este produsul mixt al acestor vectori, sunt produsele scalare ale vectorilor corespunzători, caracterele aldine denotă vectori, iar tipul normal indică lungimile acestora. Folosind această formulă, se pot calcula unghiurile solide subtinse de poligoane arbitrare cu coordonatele cunoscute ale vârfurilor (pentru a face acest lucru, este suficient să împărțiți poligonul în triunghiuri care nu se intersectează).

({\mathbf {r}}_{1}{\mathbf {r}}_{2}{\mathbf {r}}_{3})

({\mathbf {r}}_{i}\cdot {\mathbf {r}}_{j})

Unghiul solid la vârful unui con circular drept cu unghi de deschidere α este Dacă se cunosc raza bazei și înălțimea conului, atunci Când unghiul de deschidere al conului este mic, (unghiul este exprimat în radiani) , sau (unghiul este exprimat în grade). Deci, unghiul solid la care Luna și Soarele sunt vizibile de pe Pământ (diametrul lor unghiular este aproximativ egal cu 0,5 °) este de aproximativ 6⋅10 -5 steradiani, sau ≈0,0005% din aria sferei cerești (adică unghiul solid total) . $\Omega =2\pi \left(1-\cos {\frac {\alpha {2}}\right).$ $R$ $H$ $\Omega =2\pi \left(1-{\frac {H}{\sqrt {R^{2}+H^{2)}))\dreapta).$ $\Omega \aprox {\frac {\pi \alpha ^{2}}{4}}$ $\alfa$ $\Omega \approx 0{,}000239\alpha ^{2)$ $\alfa$

Unghiul solid al unui unghi diedric în steradiani este egal cu de două ori valoarea unghiului diedric în radiani.

Unghiul solid al unui unghi triedric este exprimat de teorema lui Lhuillier în termenii unghiurilor sale plate la vârf, astfel: $\theta _{a},\theta _{b},\theta _{c}$

\Omega =4\,\operatorname {arctg}{\sqrt {\operatorname {tg}\left({\frac {\theta _{s}}{2}}\right)\operatorname {tg}\left({ \frac {\theta _{s}-\theta _{a}}{2}}\right)\operatorname {tg}\left({\frac {\theta _{s}-\theta _{b}} {2}}\right)\operatorname {tg}\left({\frac {\theta _{s}-\theta _{c}}{2}}\right))),

unde este semiperimetrul.

\theta _{s}={\frac {\theta _{a}+\theta _{b}+\theta _{c}}{2}}

În ceea ce privește unghiurile diedrice, un unghi solid se exprimă astfel:

\alpha ,\beta ,\gamma

\Omega =\alpha +\beta +\gamma -\pi .

Unghiul solid de la vârful unui cub (sau al oricărui alt cuboid ) este egal cu unghiul solid complet, sau steradian. ${\frac {1}{8))$ ${\frac {\pi }{2))$

Unghiul solid la care fața unui N -edru regulat este vizibilă din centrul său este egal cu unghiul solid complet, sau steradian. ${\frac {1}{N}}$ ${\frac {4\pi }{N}}$

Unghiul solid la care un cerc cu raza R este văzut dintr-un punct arbitrar din spațiu (adică unghiul solid la vârful unui con circular arbitrar, nu neapărat unul drept) este calculat folosind integralele eliptice complete ale primei și al 3-lea fel [1] :

\Omega =2\pi +{\frac {2H}{L}}\left({\frac {rR}{r+R}}\,\Pi (\alpha ^{2},k)- K(k)\dreapta)

r\leq R,

\Omega ={\frac {2H}{L}}\left({\frac {rR}{r+R}}\,\Pi (\alpha ^{2},k)-K(k) \dreapta)

r>R,

unde și sunt integralele Legendre eliptice normale complete de primul și , respectiv, de al treilea fel;

K(k)

\Pi (\alpha ^{2},k)

r

este distanța de la centrul bazei conului până la proiecția vârfului conului pe planul bazei;

H

este înălțimea conului;

L={\sqrt {H^{2}+(r+R)^{2)))

este lungimea generatricei maxime a conului;

k={\frac {\sqrt {4rR}}{L));

\alpha ={\frac {\sqrt {4rR}}{r+R}}.

Literatură

Hopf H. Selected Chapters of Geometry // prelegere ETH Zürich, pp. 1-2, 1940.
Van Oosterom A., Strackee J. Unghiul solid al unui triunghi plan // IEEE Transactions on Biomedical Engineering. - 1983. - Vol. 30. - P. 125-126. — ISSN 0018-9294 . - doi : 10.1109/TBME.1983.325207 . — PMID 6832789 .
Weisstein EW Unghi solid . De la MathWorld--O resursă web Wolfram.
Gardner RP, Verghese K. Pe unghiul solid subtins de un disc circular // Nuclear Instruments and Methods. - 1971. - Vol. 93. - P. 163-167. - doi : 10.1016/0029-554X(71)90155-8 . - Cod .

Vezi și

Note

↑ Paxton F. Calcul unghiului solid pentru un disc circular // Review of Scientific Instruments. - 1959. - Aprilie ( vol. 30 , nr. 4 ). - P. 254-258 . - doi : 10.1063/1.1716590 . - Cod biblic . Arhivat din original pe 7 august 2017.