Pătrat (algebră)

Pătratul unui număr este rezultatul înmulțirii unui număr cu el însuși: . Denumire: . $X$ $x\cdot x$ $x^{2}$

Calculul este o operație matematică numită pătrat . Această operație este un caz special de exponențiere , și anume ridicarea unui număr la puterea lui 2. $x^{2}$ $X$

Următorul este începutul secvenței de numere pentru pătratele numerelor întregi nenegative (secvența A000290 în OEIS ):

0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 441, 5, 6, 4 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1024, 1089, 1156, 1225, 1296, 1369, 1444, 1521, 1600, 1681, 1681, 1681, 1225, 1296, 1369, 1444, 1521, 1600, 1681, 1681, 1681, 1681, 1225, 1296, 1369, 1444

Din punct de vedere istoric , numerele naturale din această secvență au fost numite „pătrat” .

Metode de prezentare

Pătratul unui număr natural poate fi reprezentat ca suma primelor numere impare : $n$ $n$

unu:

1=1

2:

4=1+3

…
7:

49=1+3+5+7+9+11+13

…

O altă modalitate de a reprezenta pătratul unui număr natural: Exemplu:
$n^{2}=1+1+2+2+\ldots +(n-1)+(n-1)+n$

unu:

1=1

2:

4=1+1+2

…
patru:

16=1+1+2+2+3+3+4

…

Suma pătratelor primelor numere naturale se calculează cu formula: $n$
$\sum _{k=1}^{n}k^{2}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+\ldots +n^{2}={\ frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}$

Concluzie

Metoda 1, metoda de turnare:

Luați în considerare suma cuburilor numerelor naturale de la 1 la :

n+1

\sum _{{k=1}}^{n}k^{3}+(n+1)^{3}=\sum _{{k=0}}^{n}(k+1)^ {3}=\sum _{{k=0}}^{n}(k^{3}+3k^{2}+3k+1)=\sum _{{k=0}}^{n} k^{3}+\sum _{{k=0}}^{n}3k^{2}+\sum _{{k=0}}^{n}3k+\sum _{{k=0} }^{n}1=\sum _{{k=0}}^{n}k^{3}+3\sum _{{k=0}}^{n}k^{2}+3\ suma _{{k=0}}^{n}k+\sum _{{k=0}}^{n}1

Primim:

(n+1)^{3}=3\sum _{{k=0}}^{n}k^{2}+3\sum _{{k=0}}^{n}k+\sum _ {{k=0}}^{n}1=3\sum _{{k=0}}^{n}k^{2}+3{\frac {(n+1)n}{2}} +(n+1)

Înmulțiți cu 2 și rearanjați:

6\sum _{{k=0}}^{n}k^{2}=2(n+1)^{3}-3(n+1)n-2(n+1)=(n+1) )(2(n+1)^{2}-3n-2)=(n+1)(2n^{2}+n)=n(n+1)(2n+1)

\sum _{{k=0}}^{n}k^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}

(Formula a fost folosită în raționament: , a cărei derivare este similară cu cea dată)

\sum _{{k=0}}^{n}k={\frac {(n+1)n}{2}}

Metoda 2, metoda coeficienților necunoscuți:

Rețineți că suma funcțiilor de putere poate fi exprimată ca o funcție de putere. Pe baza acestui fapt, să presupunem:

N

N+1

\sum _{{k=0}}^{n}k^{2}=f(n)=An^{3}+Bn^{2}+Cn+D

f(0)=0;f(1)=1;f(2)=5;f(3)=14

Obținem un sistem de ecuații liniare în raport cu coeficienții necesari:

{\begin{cases}0A+0B+0C+D=0\\A+B+C+D=1\\8A+4B+2C+D=5\\27A+9B+3C+D=14\\ \end{cazuri}}

Rezolvând-o, obținem

A={\frac {1}{3)),B={\frac {1}{2)),C={\frac {1}{6)),D=0

În acest fel:

\sum _{{k=0}}^{n}k^{2}=f(n)={\frac {1}{3}}n^{3}+{\frac {1}{2} }n^{2}+{\frac {1}{6}}n+0={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}

Pătratul unui număr complex

Pătratul unui număr complex în formă algebrică poate fi calculat folosind formula:

\left(a+bi\right)^{2}=\left(a^{2}-b^{2}\right)+2abi.

O formulă similară pentru un număr complex în formă trigonometrică este:

\left(r\left(\cos \phi +i\sin \phi \right)\right)^{2}=r^{2}\left(\cos {2\phi }+i\sin {2\ phi}\dreapta).

Sensul geometric

Pătratul unui număr este egal cu aria unui pătrat cu o latură egală cu acel număr.

Literatură

Graham R., Knut D., Patashnik O. — Matematică concretă. Fundatia informaticii. Pe. din engleza. -M.: Mir, 1998. -703 p.

Vezi și

Luarea unei rădăcini pătrate este operația inversă de pătrat.
număr pătrat
numărul cubului
Generalizare la grade superioare la Wolfram Arhivat 2 iulie 2012 la Wayback Machine .