Pătrat plin

Un pătrat perfect , de asemenea un pătrat exact sau un număr pătrat , este un număr care este pătratul unui număr întreg . Cu alte cuvinte, un pătrat este un număr întreg, a cărui rădăcină pătrată este extrasă complet. Geometric , un astfel de număr poate fi reprezentat ca aria unui pătrat cu o latură întreagă.

De exemplu, 9 este un număr pătrat, deoarece poate fi scris ca 3 × 3 și reprezintă, de asemenea, aria unui pătrat cu latura de 3.

Numărul pătrat este inclus în categoria numerelor figurative clasice .

Exemple

Secvența de pătrate începe astfel:

0, 1 , 4 , 9 , 16 , 25 , 36 , 49 , 64 , 81 , 100 , 121 , 144 , 169 , 196 , 225 , 256 , 289 , 256 , 289 , 4 , 4 , 4 , 4, 4, 4, 4, 5, 4, 5, 4, 4 , 5 , 4, 5, 4, 5, 4, 5, 4, 4, 5, 4, 5, 4, 5, 4, 5 , 4 , 5 676 , 729 , 784 , , 900 , 961841 A000290 în OEIS ) Tabel de pătrate

	_0	_unu	_2	_3	_patru	_5	_6	_7	_opt	_9
0_	0	unu	patru	9	16	25	36	49	64	81
unu_	100	121	144	169	196	225	256	289	324	361
2_	400	441	484	529	576	625	676	729	784	841
3_	900	961	1024	1089	1156	1225	1296	1369	1444	1521
patru_	1600	1681	1764	1849	1936	2025	2116	2209	2304	2401
5_	2500	2601	2704	2809	2916	3025	3136	3249	3364	3481
6_	3600	3721	3844	3969	4096	4225	4356	4489	4624	4761
7_	4900	5041	5184	5329	5476	5625	5776	5929	6084	6241
opt_	6400	6561	6724	6889	7056	7225	7396	7569	7744	7921
9_	8100	8281	8464	8649	8836	9025	9216	9409	9604	9801

Vizualizări și proprietăți

Pătratul unui număr natural poate fi reprezentat ca suma primelor numere impare : $n$ $n$

unu:

1=1

4=1+3

...
7:

49=1+3+5+7+9+11+13

...

O altă modalitate de a reprezenta pătratul unui număr natural: Exemplu:
$n^{2}=1+1+2+2+...+(n-1)+(n-1)+n$

unu:

1=1

4=1+1+2

...
patru:

16=1+1+2+2+3+3+4

...

Suma pătratelor primelor numere naturale se calculează prin formula [1] : $n$

\sum _{{k=1}}^{n}k^{2}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+n^{2}={\ frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}

Concluzie

Metoda 1, metoda de turnare:

Luați în considerare suma cuburilor numerelor naturale de la 1 la :

n+1

\sum _{{k=1}}^{n}k^{3}+(n+1)^{3}=\sum _{{k=0}}^{n}(k+1)^ {3}=\sum _{{k=0}}^{n}(k^{3}+3k^{2}+3k+1)=\sum _{{k=0}}^{n} k^{3}+\sum _{{k=0}}^{n}3k^{2}+\sum _{{k=0}}^{n}3k+\sum _{{k=0} }^{n}1=\sum _{{k=0}}^{n}k^{3}+3\sum _{{k=0}}^{n}k^{2}+3\ suma _{{k=0}}^{n}k+\sum _{{k=0}}^{n}1

Primim:

(n+1)^{3}=3\sum _{k=0}^{n}k^{2}+3\sum _{k=0}^{n}k+\sum _{ k=0}^{n}1=3\sum _{k=0}^{n}k^{2}+3{\frac {(n+1)n}{2}}+(n+1 )

Înmulțiți cu 2 și rearanjați:

6\sum _{{k=0}}^{n}k^{2}=2(n+1)^{3}-3(n+1)n-2(n+1)=(n+1) )(2(n+1)^{2}-3n-2)=(n+1)(2n^{2}+n)=n(n+1)(2n+1)

\sum _{{k=0}}^{n}k^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}

(Formula a fost folosită în raționament: , a cărei derivare este similară cu cea dată)

\sum _{{k=0}}^{n}k={\frac {(n+1)n}{2}}

Metoda 2, metoda coeficienților necunoscuți:

Rețineți că suma funcțiilor de putere poate fi exprimată ca o funcție de putere. Pe baza acestui fapt, să presupunem:

N

N+1

\sum _{{k=0}}^{n}k^{2}=f(n)=An^{3}+Bn^{2}+Cn+D

f(0)=0;f(1)=1;f(2)=5;f(3)=14

Obținem un sistem de ecuații liniare în raport cu coeficienții necesari:

{\begin{cases}0A+0B+0C+D=0\\A+B+C+D=1\\8A+4B+2C+D=5\\27A+9B+3C+D=14\\ \end{cazuri}}

Rezolvând-o, obținem

A={\frac {1}{3)),B={\frac {1}{2)),C={\frac {1}{6)),D=0

În acest fel:

\sum _{{k=0}}^{n}k^{2}=f(n)={\frac {1}{3}}n^{3}+{\frac {1}{2} }n^{2}+{\frac {1}{6}}n+0={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}

O serie de pătrate inverse converg [2] :

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac { 1}{2^{2}}}+\dots +{\frac {1}{n^{2}}}+\dots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}

Patru pătrate distincte nu pot forma o progresie aritmetică . [3] Există progresii aritmetice a trei pătrate - de exemplu: 1 , 25 , 49 .

Fiecare număr natural poate fi reprezentat ca sumă a patru pătrate ( teorema lui Lagrange despre suma a patru pătrate ).

4900 este singurul număr > 1 care este și pătrat și piramidal.

Sumele perechilor de numere triunghiulare consecutive sunt numere pătrate.

În notație zecimală, numerele pătrate au următoarele proprietăți:

Ultima cifră a unui pătrat în notație zecimală poate fi 0, 1, 4, 5, 6 sau 9 ( reziduuri pătratice modulo 10).
Un pătrat nu se poate termina cu un număr impar de zerouri.
Un pătrat fie este divizibil cu 4, fie când este împărțit la 8 dă un rest de 1. Un pătrat fie este divizibil cu 9, fie când este împărțit la 3 dă restul de 1.
Ultimele două cifre ale pătratului în notație zecimală pot fi 00, 01, 04, 09, 16, 21, 24, 25, 29, 36, 41, 44, 49, 56, 61, 64, 69, 76, 81, 84, 89 sau 96 (reziduuri pătratice modulo 100). Dependența penultimei cifre a pătratului de ultima poate fi reprezentată sub forma următorului tabel:

ultima cifră	penultima cifră
0	0
5	2
1, 4, 9	chiar
6	ciudat

Reprezentare geometrică

unu

patru

9

16

25

Vezi și

Note

↑ Câteva serii de numere finite . Math24.ru . Preluat la 14 iunie 2019. Arhivat din original la 14 iunie 2019. (nedefinit)
↑ Kokhas K. P. Suma pătratelor inverse // Educație matematică. - 2004. - Emisiune. 8 . — S. 142–163 .
↑ K. Brown. Nu există patru pătrate în progresia aritmetică

Literatură

Vilenkin N. Ya., Shibasov L. P. Shibasova 3. F. În spatele paginilor unui manual de matematică: Aritmetică. Algebră. Geometrie . - M . : Educaţie, 1996. - S. 30 . — 320 s. — ISBN 5-09-006575-6 .
Deza E., Deza M. Numere curly. - M. : MTSNMO, 2016. - 349 p. — ISBN 978-5-4439-2400-7 .

Link -uri

Curly Numbers Arhivat pe 23 noiembrie 2018 la Wayback Machine
Numere figurate Arhivat 10 iunie 2019 la Wayback Machine de pe site-ul MathWorld

numere ondulate

apartament

Poligonală clasică	triunghiular Pătrat Pentagonal Hexagonal Heptagonal Octogonal Dodecagonal
Centrat	triunghiular Pătrat Pentagonal Hexagonal Heptagonal Octogonal În nouă unghiuri Decagonală

Piramidal	tetraedric Pătrat piramidal
cu mai multe fațete	cub octaedral Dodecaedral icosaedric Octaedral stelat

cu mai multe fațete	Pentatopic Bisquare