Pătrat

Pătrat
Patrat cu latura si diagonala
coaste	patru
Simbolul Schläfli	{patru}
Un fel de simetrie	Grupul diedric (D 4 )
Pătrat	a 2
Colț interior	90°
Proprietăți
Poligon convex , figură izogonală , figură izotoxală
Fișiere media la Wikimedia Commons

Pătrat  (din lat.  quadratus , patrulater [1] ) - patrulater regulat , adică un patrulater plat , în care toate unghiurile și toate laturile sunt egale. Fiecare colț al pătratului este o linie dreaptă [2] .

Variante ale definiției

Un pătrat poate fi caracterizat în mod unic în multe feluri [3] [4] .

• O figură geometrică care este atât dreptunghi , cât și romb .
• Un dreptunghi cu două laturi adiacente egale în lungime.
• Un dreptunghi ale cărui diagonale se intersectează în unghi drept .
• Un romb ale cărui diagonale sunt egale.
• Un romb ale cărui două unghiuri adiacente sunt egale.
• Un romb, unul dintre unghiurile căruia este un unghi drept (alte unghiuri, după cum este ușor de demonstrat, sunt atunci și unghiuri drepte).
• Paralelogramul , în care lungimile a două laturi adiacente sunt egale, iar unghiul dintre ele este drept.
• Un paralelogram ale cărui diagonale sunt egale și unghiul dintre ele este drept.
• Deltoid , toate unghiurile fiind drepte.

Proprietăți

Mai departe, în această secțiune , denotă lungimea laturii pătratului,  - lungimea diagonalei ,  - raza cercului circumscris ,  - raza cercului înscris .

Perimetrul unui pătrat este:

Diagonalele pătratului sunt egale, reciproc perpendiculare, bisectează punctul de intersecție și bisectează colțurile pătratului (cu alte cuvinte, ele sunt bisectoarele colțurilor interioare ale pătratului). Lungimea fiecărei diagonale

Cercuri înscrise și circumscrise

Centrul cercurilor circumscrise și înscrise ale unui pătrat coincide cu punctul de intersecție al diagonalelor sale.

Raza cercului înscris al unui pătrat este jumătate din latura pătratului:

Raza cercului circumscris unui pătrat este egală cu jumătate din diagonala pătratului:

Din aceste formule rezultă că aria cercului circumscris este de două ori mai mare decât aria celui înscris.

Zona

• suprafata patrata

• Conectând punctele medii ale laturilor pătratului, obținem un pătrat de jumătate din suprafață

Suprafața pătratului este

Din formula care leagă latura unui pătrat de aria sa, este clar de ce ridicarea unui număr la a doua putere se numește în mod tradițional „ pătrat ”, iar rezultatele unei astfel de pătrat sunt numite „ numere pătrate ” sau pur și simplu pătrate . În mod similar , a doua rădăcină se numește rădăcină pătrată .

Pătratul are două proprietăți remarcabile [5] .

1. Dintre toate patrulaterele cu un perimetru dat, un pătrat are cea mai mare suprafață.
2. Dintre toate patrulaterele cu o zonă dată, pătratul are cel mai mic perimetru.

Ecuația pătratului

Într -un sistem de coordonate dreptunghiulare, ecuația unui pătrat centrat într-un punct și diagonalele paralele cu axele de coordonate (vezi figura) poate fi scrisă ca [6] :

unde  este raza cercului circumscris , egală cu jumătate din lungimea diagonalei pătratului. Latura pătratului este atunci diagonala sa și aria pătratului este

Ecuația unui pătrat centrat la origine și laturile paralele cu axele de coordonate (vezi figura) poate fi reprezentată în una din următoarele forme:

1. (obținut ușor prin aplicarea unei rotații de 45° la ecuația anterioară)
   
2. 
3. (în coordonate polare [7] )

Probleme matematice

Există o serie de probleme asociate cu pătratele, dintre care unele încă nu au soluție.

• Pătratul unui cerc  este o problemă străveche de construire a unui pătrat cu o busolă și o riglă care este egală ca suprafață cu un cerc dat . În 1882, Ferdinand Lindemann a dovedit că acest lucru este imposibil.

• Pătratul pătratului  este problema împărțirii unui pătrat într-un număr finit de pătrate mai mici, fără „găuri”, iar lungimile laturilor pătratelor ar trebui să difere între ele (în mod ideal, toate ar trebui să fie diferite). Au fost găsite o serie de soluții la această problemă.
• Multă vreme, matematicienii au încercat să demonstreze că o mapare continuă a unui segment de linie într-un pătrat este imposibilă, până când Giuseppe Peano și-a construit contraexemplul .
• Conjectura Toeplitz : Pe orice curbă Jordan plană închisă , pot fi găsite patru puncte care formează vârfurile unui pătrat. Nu dovedit sau infirmat.
• Împărțirea unui pătrat printr-o rețea de pătrate mai mici identice duce, de asemenea, la multe probleme, utilizate în special în teoria pătratelor latine și greco-latine, pătrate magice , în jocul de Sudoku .

Simetrie

Pătratul are cea mai mare simetrie axială dintre toate patrulaterele. El are:

• o axă de simetrie de ordinul al patrulea  - o axă perpendiculară pe planul pătratului și care trece prin centrul acestuia;
• patru axe de simetrie de ordinul doi (adică, în raport cu acestea, pătratul este reflectat în sine), dintre care două merg de-a lungul diagonalelor pătratului, iar celelalte două sunt paralele cu laturile.

Aplicație

În matematică

Pătratul unității este utilizat ca standard pentru unitatea de suprafață , precum și pentru determinarea ariei cifrelor plate arbitrare . Cifrele pentru care poate fi determinată aria se numesc pătrat .

Teorema lui Pitagora a fost formulată inițial geometric: aria unui pătrat construit pe ipotenuză este egală cu suma ariilor pătratelor construite pe catete .

Pătratele sunt fețele cubului  - unul dintre cele cinci poliedre regulate .

În fizica matematică , un pătrat poate însemna „ operatorul d’Alembert ” (dalamberian) - un operator diferențial de ordinul doi :

Din teorema Bolyai-Gervin rezultă că orice poligon este echiconstituit cu un pătrat, adică poate fi tăiat într-un număr finit de părți care alcătuiesc un pătrat (și invers) [8] .

Grafice: Un grafic K 4 complet este adesea reprezentat ca un pătrat cu șase muchii.

Ornamente și parchete

• Mozaice inclusiv pătrate

Mozaicele, ornamentele și parchetele care conțin pătrate sunt larg răspândite.

Alte utilizări

Tabla de șah are forma unui pătrat și este împărțită în 64 de pătrate de două culori. Tabla pătrată pentru damele internaționale este împărțită în 100 de pătrate de două culori. Forma pătrată are un ring de box , un pătrat pentru pătrat de joc .

Steagul pătrat al Limei este împărțit în două pătrate negre și două galbene, atunci când este arborat pe o navă în port , înseamnă că nava este în carantină .

Grafică

Un număr de simboluri sunt sub forma unui pătrat.

• Caractere Unicode U+25A0 - U+25CF
• U+20DE ◌⃞ COMBINAREA PĂTRAT ÎNCJIND
• ロ ( caracterul japonez „Ro” (katakana) )
• 口 ( caracter chinezesc pentru „gura” )
• 囗 ( caracter chinezesc pentru „gard” )

În Latex\Box , construcțiile sau sunt folosite pentru a introduce un simbol pătrat \square.

În HTML , pentru a include text arbitrar într-un pătrat sau dreptunghi, puteți utiliza construcția:

• <span style="border-style: solid; border-width: 1.5px 1.5px 1.5px 1.5px; padding-left: 4px; padding-right: 4px;">text</span>; rezultat: text .

Variații și generalizări

Spațiu multidimensional

Pătratul poate fi gândit ca un hipercub bidimensional .

Geometrie non-euclidiană

În geometria non-euclidiană, un pătrat (în sens mai larg) este un poligon cu patru laturi egale și unghiuri egale. După mărimea acestor unghiuri, se poate judeca curbura planului - în geometria euclidiană și numai în ea unghiurile sunt drepte, în geometria sferică unghiurile unui pătrat sferic sunt mai mari decât un unghi drept, în geometria Lobachevsky  - mai puține.

Vezi și

• Algoritmul „pătrate în mișcare”
• Piața Polibiu
• matrice pătrată
• Quadratrix
• Aria unui patrulater arbitrar
• Prima teoremă a lui Thebo

Note

1. ↑ Pătrat // Dicţionar enciclopedic sovietic. - Ed. a II-a - M . : Enciclopedia Sovietică, 1982. - S. 561. - 1600 p.
2. ↑ Pătrat // Enciclopedia matematică (în 5 volume). - M .: Enciclopedia Sovietică , 1982. - T. 3. - S. 776. - 1184 p.
3. ↑ Vygodsky M. Ya. Manual de matematică elementară. - M. : AST, 2006. - 509 p. — ISBN 5-17-009554-6 .
4. ↑ 1 2 Kaplun, 2014 , p. 171-173.
5. ↑ Ponarin Ya. P. Geometrie elementară: În 2 vol. - Vol. 1: Planimetrie, transformări plane. - M. : MTSNMO, 2004. - S. 117, 119. - 312 p. — ISBN 5-94057-171-9 .
6. ↑ Ecuația unui pătrat în coordonate carteziene . Preluat la 9 noiembrie 2021. Arhivat din original pe 9 noiembrie 2021. (nedefinit)
7. ↑ Care este ecuația polară pentru un pătrat, dacă există?
8. ↑ A treia problemă a lui Boltyansky V. G. Hilbert . — M .: Nauka, 1977. — 208 p.

Literatură

• Kaplun A. I. Matematică, carte de referință educațională și practică. — Rostov n/a. : SRL „Phoenix”, 2014. - 240 p. - ISBN 978-5-222-20926-3 .

Link -uri

• Pătrat, figură geometrică // Dicționar enciclopedic al lui Brockhaus și Efron  : în 86 de volume (82 de volume și 4 suplimentare). - Sankt Petersburg. , 1890-1907.

Dicționare și enciclopedii	mare danez Mare norvegian Rusă mare Brockhaus și Efron Micul Brockhaus și Efron V. Dahl Britannica (online)
În cataloagele bibliografice	BNF : 16529362t GND : 4129044-6 J9U : 987007529423205171 LCCN : sh85127084