Vector covariant

În algebra liniară, un vector covariant pe un spațiu vectorial este același cu o formă liniară (funcțională liniară) pe acel spațiu.

În geometria diferențială, un vector covariant pe o varietate diferențiabilă este o secțiune netedă a mănunchiului cotangent. În mod echivalent, un vector covariant pe o varietate M este o mapare lină a spațiului total al mănunchiului tangent M în R , a cărui restricție la fiecare strat este o funcțională liniară pe spațiul tangent. Se va scrie astfel:

\alpha :TM\rightarrow {{\mathbf R}},\quad \alpha _{x}=\alpha |_{{T_{x}M}}:T_{x}M\rightarrow {{\mathbf R} }

unde α x este liniar.

Vectori co- și contravarianți în spații (pe varietăți) cu metrică nedegenerată

În plus, se presupune că pe spațiul în care există obiectele descrise (sau pe varietatea în al cărei spațiu tangent există), este dată o metrică nedegenerată.

Corespondența dintre vectori și covectori

Dacă este definit un tensor metric nedegenerat , atunci în mod formal „vectorul covariant” și „vectorul contravariant” pot fi considerate pur și simplu reprezentări diferite (înregistrări sub forma unui set de numere) ale aceluiași obiect geometric - un vector obișnuit . Adică același vector poate fi scris ca covariant (adică printr-un set de coordonate covariante) sau contravariant (adică printr-un set de coordonate contravariante). Transformarea de la o reprezentare la alta se face pur și simplu prin convoluție cu un tensor metric :

\ v_{i}=g_{{ij}}v^{j}

\ v^{i}=g^{{ij}}v_{j}

(aici și mai jos ne referim la însumare peste un indice repetat, după regula lui Einstein).

Diferența dintre vectori și covectori

În mod semnificativ, vectorii și covectorii se disting prin care dintre reprezentări este naturală pentru ei. Deci, pentru covectori - de exemplu, pentru un gradient - expansiunea pe o bază duală este naturală, deoarece convoluția lor naturală (produsul scalar) cu un vector obișnuit (de exemplu, deplasarea) se realizează fără participarea unei metrici, pur și simplu prin însumând componentele înmulțite. Pentru vectorii obișnuiți (cărora le aparține și deplasarea în coordonate spațiale ), expansiunea în baza principală este naturală, deoarece conluează cu alți vectori obișnuiți, cum ar fi vectorul deplasare în coordonate spațiale, cu participarea metricii. De exemplu, un scalar se obține (ca diferenţial total ) prin contracția fără metrică a unui vector covariant , care este o reprezentare naturală a gradientului 1-forme care acționează asupra unui câmp scalar, cu un vector contravariant , care este o reprezentare naturală. a vectorului obișnuit de deplasare în coordonate; în același timp, se prăbușește cu sine folosind metrica: , care este în deplin acord cu faptul că este contravariantă. $dx^{i}$ $\ d\varphi =(\partial _{i}\varphi )\,dx^{i}$ $\ \partial _{i}\varphi$ $\dx^{i}$ $\dx^{i}$ $\ (dx)^{2}=g_{{ij}}\,dx^{i}\,dx^{j}$

Dacă vorbim de spațiu fizic obișnuit, un simplu semn al covarianței/contravarianței unui vector este modul în care reprezentarea lui naturală este convolută cu un set de coordonate de deplasare spațială , care este un exemplu de vector contravariant. Cei care concurează cu prin însumare simplă, fără metrică implicată, sunt vectori covarianți (forme 1); în caz contrar (convoluția necesită participarea unei metrici) aceștia sunt vectori contravarianți. Dacă spațiul și coordonatele sunt complet abstracte și nu există nicio modalitate de a distinge între baza principală și cea duală, cu excepția unei alegeri condiționate arbitrare, atunci distincția semnificativă între vectorii covarianți și contravarianți dispare sau devine, de asemenea, pur condiționată. $\dx^{i}$ $\dx^{i}$

Întrebarea dacă exact reprezentarea în care vedem un obiect este naturală pentru el va fi atinsă puțin mai sus. Natural pentru un vector obișnuit este o reprezentare contravariantă, pentru un covector este covariantă.

Vezi și

Forma diferențială

Vezi și

Literatură

Landau L. D. , Lifshits E. M. Teoria câmpului. - ediția a VII-a, revizuită. — M .: Nauka , 1988. — 512 p. - (" Fizica teoretică ", Volumul II). — ISBN 5-02-014420-7 .