Vector contravariant

Un vector contravariant este de obicei numit o mulțime (coloană) de coordonate vectoriale în baza obișnuită (adică coordonatele sale contravariante ) sau 1-forme în aceeași bază, ceea ce, totuși, nu este firesc pentru el. Vectorul contravariant în geometria diferențială și conceptele fizice aferente este vectorul spațiu tangent .

Această definiție este în concordanță cu definiția tensorului de valență 1 contravariant (vezi Tensor ), care este vectorul contravariant (vector spațiu tangent) ca caz special al unui tensor.

Informații de bază

Se obișnuiește să scrieți coordonatele contravariante cu un superscript și, de asemenea, - în notația matriceală - ca vector coloană (spre deosebire de notația cu un indice și un vector rând pentru coordonatele covariante și, în consecință, un „ vector covariant ”).

Un vector contravariant eșantion este un vector de deplasare scris ca un set de incremente de coordonate: . $\dx^{i}$

Orice mulțime de numere care se transformă sub orice modificare de coordonate în același mod (noua mulțime este exprimată în termenii aceleiași matrice în termenii celei vechi) reprezintă un vector contravariant. $\dx^{i}$

Trebuie remarcat faptul că, dacă este definit un tensor metric nedegenerat , atunci „vector covariant” și „vector contravariant” sunt pur și simplu reprezentări diferite (înregistrări sub forma unui set de numere) ale aceluiași obiect geometric - un vector obișnuit sau 1-forma . Adică, același vector poate fi scris ca covariant (adică un set de coordonate covariant) și contravariant (adică un set de coordonate contravariante). Același lucru se poate spune despre 1-form. Transformarea de la o reprezentare la alta se face pur și simplu prin convoluție cu metrica :

\ v_{i}=g_{{ij}}v^{j}

\ v^{i}=g^{{ij}}v_{j}

(aici și mai jos ne referim la însumare peste un indice repetat, după regula lui Einstein).

Din punct de vedere al conținutului, vectorii și 1-formele se disting doar prin care dintre reprezentări este firească pentru ei. Deci, pentru formele 1, este firesc să se extindă pe o bază duală, ca, de exemplu, pentru un gradient, deoarece convoluția lor naturală (produsul scalar) cu un vector obișnuit (de exemplu, deplasarea) se realizează fără participare. a unei metrici, pur și simplu prin însumarea componentelor înmulțite. Pentru vectorii obișnuiți, cum ar fi dx i , este firesc să se extindă în baza principală, deoarece conluează cu alți vectori obișnuiți, cum ar fi vectorul de deplasare în coordonate spațiale, cu participarea unei metrici. De exemplu, un scalar - se obține (ca diferenţial total ) prin plierea fără participarea metricii unui vector covariant , care este o reprezentare naturală a formei 1 a gradientului care acționează asupra unui câmp scalar, cu un vector contravariant. , care este o reprezentare naturală a vectorului obișnuit de deplasare în coordonate; în timp ce este convoluat cu el însuși folosind metrica: , care este în deplin acord cu faptul că este contravariantă. $\ d\phi =(\partial _{i}\phi )dx^{i}$ $\ \partial _{i}\phi$ $\dx^{i}$ $\dx^{i}$ $\ (dx)^{2}=g_{{ij}}dx^{i}dx^{j}$

Dacă vorbim de spațiu fizic obișnuit, un simplu semn al covarianței-contravarianței unui vector este modul în care reprezentarea lui naturală este convolută cu un set de coordonate de deplasare spațială , care este un exemplu de vector contravariant. Cele care concurează prin simplă însumare, fără participarea metricii, sunt un vector covariant (forma 1), în timp ce cele cu participarea metricii sunt un vector contravariant. Dacă spațiul și coordonatele sunt atât de abstracte și remarcabile încât nu există nicio modalitate de a distinge între baza principală și cea duală, cu excepția unei alegeri condiționate arbitrare, atunci distincția semnificativă între vectorii covarianți și contravarianți dispare sau devine, de asemenea, pur condiționată. $\dx^{i}$ $\dx^{i}$

Întrebarea dacă exact reprezentarea în care vedem un obiect este naturală pentru el va fi atinsă puțin mai sus. Natural pentru un vector obișnuit este o reprezentare contravariantă, în timp ce pentru o formă 1 este covariantă.

Notă: Toți acești termeni sunt folosiți în mod obișnuit în algebra tensorală; se înțelege că pe spațiul în care există obiectele descrise (sau pe varietatea în al cărei spațiu tangent există) există o metrică (cel puțin una pseudoriemanniană). $g_{ij}$

Literatură

Landau L. D. , Lifshits E. M. Teoria câmpului. - ediția a VII-a, revizuită. — M .: Nauka , 1988. — 512 p. - (" Fizica teoretică ", Volumul II). — ISBN 5-02-014420-7 .

Vector contravariant

Informații de bază

Literatură

Vezi și