Compactare Bohr

Compactificarea Bohr a unui grup topologic G este un grup topologic bicompac H care poate fi asociat canonic cu grupul G . Importanța sa constă în reducerea teoriei funcțiilor uniform aproape periodice pe G la teoria mapărilor continue pe H . Conceptul este numit după matematicianul danez Harald Bohr , care a fost pionier în studiul funcțiilor aproape periodice pe linia reală .

Definiții și proprietăți de bază

Având în vedere un grup topologic G , compactarea Bohr a lui G este un grup topologic bicompac și un homomorfism continuu [1]

care este universal în ceea ce privește homomorfismele la grupuri compacte. Aceasta înseamnă că dacă K este un alt grup topologic compact și

este un homomorfism continuu, atunci există un homomorfism continuu unic

astfel încât f = Bohr ( f ) ∘ b .

Teorema . Compactificarea Bohr există [2] [3] și este unică până la izomorfism.

Notați compactarea Bohr a unui grup G prin și maparea canonică prin

Corespondența definește un functor covariant pe categoriile de grupuri topologice și homomorfisme continue.

Compactificarea Bohr este strâns legată de teoria reprezentărilor unitare finite-dimensionale ale grupurilor topologice. Nucleul grupului b este format din exact acele elemente ale grupului G care nu pot fi separate de elementul identic al grupului G printr-o reprezentare unitară finită .

Compactificarea Bohr reduce, de asemenea, multe probleme din teoria funcțiilor aproape periodice pe grupuri topologice la probleme ale funcțiilor pe grupuri compacte.

O funcție continuă mărginită cu valori complexe f pe un grup topologic G este uniform aproape periodică dacă și numai dacă mulțimea translațiilor drepte , unde

relativ compact în topologia uniformă, deoarece g se modifică în G.

Teorema . O funcție continuă mărginită cu valori complexe f pe G este uniform aproape periodică dacă există o funcție continuă pe (definită unic) astfel încât

[patru]

Grupuri maxim aproape periodice

Grupurile topologice pentru care harta de compactare Bohr este injectivă sunt numite maximal aproape periodice (grupuri MLP). În cazul în care G este un grup conex local compact, LMP-ul grupului este complet definit - este exact produsul grupurilor compacte cu grupuri vectoriale de dimensiune finită.

Vezi și

Note

  1. ↑ Zhu, 2019 , p. 37 Definiție 3.1.2.
  2. ↑ GISMATULLIN, JAGIELLA, KRUPINSKI, 2020 , p. 3.
  3. ↑ Zhu, 2019 , p. 34 Teorema 3.1.1.
  4. ↑ Zhu, 2019 , p. 39 Teorema 3.1.4.

Literatură