Funcție complexă

O funcție complexă este principalul obiect de studiu al teoriei funcțiilor unei variabile complexe , o funcție cu valori complexe a unui argument complex: . $f\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C}$

Pe lângă o funcție cu valori complexe a unei variabile reale , aceasta poate fi reprezentată ca:

f(z)=u(z)+iv(z)

unde și sunt funcții cu valoare reală ale unui argument complex, numite respectiv părțile reale și imaginare ale funcției . Spre deosebire de funcțiile reale, există o legătură mai profundă între componentele de expansiune, de exemplu, pentru ca o funcție să fie diferențiabilă în sensul unei funcții a unei variabile complexe, trebuie îndeplinite condițiile Cauchy-Riemann : $u(z)$ $v(z)$ $f(z)$ $f(z)$

{\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}

;

{\frac {\partial u}{\partial y))=-{\frac {\partial v}{\partial x))

Exemple de funcții analitice ale unei variabile complexe sunt: funcția de putere , exponențiala , funcția gamma , funcția zeta Riemann , funcția spinală și multe altele, precum și funcțiile lor inverse și orice combinație a acestora. Cu toate acestea, partea reală a numărului complex , partea imaginară , conjugarea complexă , modulul și argumentul nu sunt funcții analitice ale unei variabile complexe, deoarece nu îndeplinesc condițiile Cauchy-Riemann. ${\mathrm {Re}}\,z$ ${\mathrm {Im}}\,z$ ${\barz}$ $r=|z|$ $\varphi (z)$

Literatură

Shabat BV Introducere în analiza complexă. — M .: Nauka , 1969 . — 577 p.
Titchmarsh E. Teoria funcţiilor: Per. din engleza. - Ed. a II-a, revizuită. — M .: Nauka , 1980 . — 464 p.
Privalov II Introducere în teoria funcțiilor unei variabile complexe: Un manual pentru învățământul superior. - M. - L .: Editura de Stat, 1927 . — 316 p.
Evgrafov M. A. Funcții analitice. - Ed. a II-a, revizuită. si suplimentare — M .: Nauka , 1968 . — 472 p.
Sveshnikov A. G., Tikhonov A. N. Teoria funcțiilor unei variabile complexe. - M. : Nauka, 1974. - 320 p.