Funcția gamma

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 23 mai 2021; verificările necesită 9 modificări .

Funcția gamma este o funcție matematică . A fost introdusă de Leonhard Euler , iar funcția gamma își datorează denumirea lui Legendre [1] .

Funcția gamma este extrem de utilizată în știință. Printre principalele sale domenii de aplicare se numără analiza matematică , teoria probabilității , combinatoria , statistica , fizica atomică , astrofizica , hidrodinamica , seismologia și economia . În special, funcția gamma este folosită pentru a generaliza noțiunea de factorial la seturi de valori ale argumentelor reale și complexe .

Definiții

Definiție integrală

Dacă partea reală a numărului complex este pozitivă, atunci funcția gamma este definită prin integrala absolut convergentă $z$

\Gamma (z)=\int \limits _{0}^{+\infty }t^{z-1}e^{-t}\,dt,\quad z\in \mathbb {C} ,\quad \mathrm {Re} (z)>0

Această definiție a fost derivată de Legendre din definiția originală a lui Euler (1730)

\Gamma (z)=\int \limits _{0}^{1}(-\ln {x})^{{z-1}}\,dx

printr-o schimbare a variabilei , iar astăzi definiția lui Legendre este cunoscută ca definiția clasică a funcției gamma. Integrând pe părți definiția clasică, este ușor de observat că . $x=e^{-t)$ $\Gamma(z+1)=z\Gamma(z)$

Pentru un calcul aproximativ al valorilor funcției gamma, a treia formulă este mai convenabilă, obținută și din definiția lui Euler prin aplicarea egalității și schimbarea variabilei : $\Gamma (z)=\Gamma (z+1)/z$ $x=y^{2}$

\Gamma (z)={\frac {2^{z+1}}{z}}\int \limits _{0}^{1}y(-\ln {y})^{z} \,dy

Integrala din această formulă converge la , deși este de obicei folosită pentru valorile reale pozitive ale argumentului (sunt de preferat valorile în jurul valorii de 1). În cazul unui argument real, integrandul are un singur punct singular — o discontinuitate discontinuă la , iar dacă este extins în acest punct cu valoarea , devine continuu pe întreg intervalul . Astfel, integrala este valoare proprie, ceea ce simplifică integrarea numerică . $\mathrm {Re} (z)>-1$ $z>0$ $y=0$ $0$ $[0; unu]$

Există o continuare analitică directă a formulei originale la întregul plan complex , cu excepția numerelor întregi, numite integrală Riemann - Hankel:

\Gamma (z)={\frac {1}{e^{i2\pi z}-1}}\int \limits _{L}\!t^{\,z-1}e^{ -t}\,dt,\quad z\in \mathbb {C} \setminus \mathbb {Z} .

Aici, un contur este orice contur de pe plan complex care se învârte în jurul unui punct în sens invers acelor de ceasornic, ale cărui capete merg la infinit de-a lungul axei reale pozitive. $L$ $t = 0$

Următoarele expresii servesc ca definiții alternative pentru funcția gamma.

Definiție Gauss

Este valabil pentru toate numerele complexe, cu excepția 0 și a numerelor întregi negative. $z$

\Gamma (z)=\lim \limits _{{n\to \infty }}{\frac {(n-1)!\,n^{z}}{z(z+1)(z+2) \cdots (z+n-1)}},\quad z\in {\mathbb {C}}\setminus \{0,-1,-2,\ldots \}.

Definiția lui Euler

\Gamma (z)={\frac {1}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {\left(1+{\frac {1}{n} }\right)^{\mathrm {z} }}{1+{\frac {\mathrm {z} }{n)))),\quad z\in \mathbb {C} \setminus \{0,- 1,-2,\ldots\}.

Definiție după Weierstrass

\Gamma(z)=\frac{e^{-\gamma z}}{z} \prod_{n=1}^\infty \left(1 + \frac{z}{n}\right)^{- 1} e^{z/n},\quad z\in\mathbb{C}\setminus\{0,-1,-2,\ldots\}.

unde este constanta Euler-Mascheroni [1] . $\gamma=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{k}-\ln{n}\right)\aproximativ 0,57722$

Notă: uneori se folosește o alternativă, așa-numita funcție pi , care este o generalizare a factorialului și este legată de funcția gamma prin relația . Această funcție (și nu funcția -) a fost folosită de Gauss, Riemann și mulți alți matematicieni germani ai secolului al XIX-lea. $\Pi (z)=\Gamma (z+1)$ $\Gamma$

Proprietăți

Pentru orice n pozitiv, următorul lucru este adevărat:

\Gamma (n+1)=n!

Proprietatea principală a funcției gamma este ecuația sa recursivă

\Gamma (z+1)=z\Gamma (z),

care, într-o condiție inițială fixă, definește în mod unic o soluție convexă logaritmic, adică funcția gamma în sine ( teorema unicității ) [2] .

Pentru funcția gamma, formula complementului Euler este valabilă:

\Gamma(1-z)\Gamma(z)={\pi\over\sin\pi z}

Formula de multiplicare Gauss este de asemenea valabilă:

\Gamma (z)\Gamma \left(z+{\frac {1}{n}}\right)\cdots \Gamma \left(z+{\frac {n-1}{n}}\right)=n^ {{{\frac {1}{2}}-nz}}\cdot (2\pi )^{{{\frac {n-1}{2}}}}\Gamma (nz),

Un caz special al acestei formule pentru n=2 a fost obținut de Legendre:

\Gamma (z)\;\Gamma \left(z+{\frac {1}{2}}\right)=2^{1-2z}\;{\sqrt {\pi }}\;\ Gamma(2z).

Funcția gamma nu are zerouri în întregul plan complex. este meromorf pe plan complex și are poli simpli în puncte [1] $\Gamma(z)$ $z=0,\;-1,\;-2,\;-3,\;\ldots$

Funcția gamma are un pol de ordinul întâi pentru orice natural și zero; deducerea la acest punct este dată după cum urmează: $z=-n$ $n$

\operatorname{\mathrm{Res}}_{z=-n}\,\Gamma(z)=\frac{(-1)^n}{n!}

O proprietate utilă care poate fi obținută din definiția limitei:

\overline{\Gamma(z)} = \Gamma(\overline{z})

Funcția gamma este diferențiabilă de un număr infinit de ori și , unde , este adesea denumită „funcția psy” sau funcția digamma . Funcția gamma și funcția beta sunt legate prin următoarea relație: $\Gamma^\prime(x)=\psi(x)\Gamma(x)$ $\psi(x)$

\Beta(x,\;y)=\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}

Logaritmul funcției gamma

Din mai multe motive, împreună cu funcția gamma, logaritmul funcției gamma este adesea considerat - antiderivatul funcției digamma . Are următoarele reprezentări integrale:

\ln \Gamma (z)\,=\,\left(z-{{\frac {1}{\,2\,}}}\right)\!\ln z-z+{{\frac {1} {\,2\,}}}\ln 2\pi +\!\int \limits _{0}^{{\,\infty }}\!\left[{\frac {1}{e^{x }-1}}-{\frac {1}{x}}+{\frac {1}{2}}\right]{\frac {e^{{-xz}}}{x}}\,dx \,,\qquad \operatorname {Re}{z}>0

și

\ln \Gamma (z)\,=\,\left(z-{{\frac {1}{\,2\,}}}\right)\!\ln z-z+{{\frac {1} {\,2\,}}}\ln 2\pi +2\!\int \limits _{0}^{{\,\infty }}\!{\frac {\,\operatorname {arctg}(x /z)\,}{e^{{{2\pi x}}-1}}\,dx\,,\qquad \operatorname {Re}{z}>0

dat de Jacques Binet în 1839 (aceste formule sunt adesea numite prima și respectiv a doua formulă Binet pentru logaritmul funcției gamma) [3] . Formule integrale oarecum diferite pentru logaritmul funcției gamma au apărut și în lucrările lui Malmsten , Lerch și al altora. Astfel, Malmsten a obținut o formulă similară cu prima formulă a lui Binet [3]

\ln \Gamma (z)\,=\int \limits _{0}^{{\,\infty }}\!\left[z-1-{\frac {1-e^{{-(z- 1)x}}}{1-e^{{-x}}}}\right]{\frac {e^{{-x}}}{x}}\,dx\,,\qquad \operatorname { Re}{z}>0

iar Lerkh arată că toate integralele formei

\int \limits _{0}^{{\,\infty }}\!{\frac {\,e^{{{2\pi x}}\!\cos \varphi -1\,}{e^{ {4\pi x}}-2e^{{2\pi x}}\!\cos \varphi +1}}\operatorname {arctg}{\frac {u}{x}}\;dx\,,\ qquad 0<u\leqslant 1\,,\quad 0<\varphi <2\pi u

reduce de asemenea la logaritmii funcției gamma. În special, o formulă similară celei de-a doua formule a lui Binet cu un numitor „conjugat” are următoarea formă:

\ln \Gamma (z)=-{\biggl (}z-{{\frac {1}{2}}}{\biggr )}\cdot \left\{1-\ln {\biggl (}z- {{\frac {1}{2}}}{\biggr )}\!\right\}+{{\frac {1}{2}}}\ln 2\pi -\,2\!\int \ limite _{0}^{{\infty }}\!{\frac {\operatorname {arctg}{\big [}x/{\big (}z-{\tfrac {1}{2}}{\big )}{\big ]}}{e^{{2\pi x}}+1}}\,dx,\qquad \operatorname {Re}{z}>{\frac {1}{2}}

(vezi exercițiul 40 din [4] )

În plus, Malmsten a obținut și o serie de formule integrale pentru logaritmul funcției gamma care conține funcții hiperbolice cu logaritmul în integrand (sau, echivalent, logaritmul logaritmului cu polinoame). În special,

\ln \Gamma (z)=\,{\frac {1}{2}}\ln \pi \,-\,{\frac {1}{2}}\ln \sin \pi z\,-\ ,{\frac {2z-1}{2}}\ln 2\pi \,-\,{\frac {\sin 2\pi z}{2\pi }}\!\int \limits _{0} ^{\infty }\!\!{\frac {\,\ln {x}\,}{\,\operatorname {ch}{x}-\cos 2\pi z\,}}\,dx\, ,\qquad 0<\operatorname {Re}z<1

(vezi exercițiul 2, 29-h, 30 in [4] )

Yaroslav Blagushin a arătat că pentru un argument rațional , unde și sunt numere întregi pozitive care nu depășesc , este valabilă următoarea reprezentare: $z=k/n$ $k$ $n$ $k$ $n$

\ln \Gamma {\biggl (}\!{\frac {k}{n}}\!{\biggr )}={\frac {(n-2k)\ln 2\pi }{2n}}+{ \frac {1}{2}}\left\{\ln \pi -\ln \sin {\frac {\pi k}{n}}\right\}+

+{\frac {1}{\pi }}\!\sum _{{r=1}}^{{n-1}}{\frac {\gamma +\ln {r}}{r}}\ cdot \sin {\frac {2\pi rk}{n}}-{\frac {1}{2\pi }}\sin {\frac {2\pi k}{n}}\cdot \!\int \limits _{0}^{\infty }\!\!{\frac {\,e^{{-nx}}\!\cdot \ln {x}\,}{\,\operatorname {ch}{ x}-\cos {\dfrac {2\pi k}{n}}\,}}\,dx\,,\qquad k\neq {\frac {n}{2}}

(vezi anexa C [5] și, de asemenea, exercițiile 60 și 58 [4] )

Mai mult, și în cazuri mai generale, integralele care conțin funcții hiperbolice cu un logaritm (sau arctangent) în integrand se reduc adesea la logaritmii funcției gamma și derivatele acesteia , inclusiv argumentul complex, vezi de ex. ex. 4-b, 7-a și 13-b în [4] .

Logaritmul funcției gamma este, de asemenea, strâns legat de continuarea analitică a funcției zeta generalizate

\ln \Gamma (z)=\zeta '(0,z)-\zeta '(0)=\zeta '(0,z)+{\frac {1}{2}}\ln 2\pi

Această relație cea mai importantă, derivată de Lerkh , vă permite să obțineți un număr mare de reprezentări integrale pentru logaritmul funcției gamma prin formulele cunoscute pentru funcția zeta generalizată .

Seria Fourier pentru logaritmul funcției gamma are următoarea formă

\ln \Gamma (x)=\left({\frac {1}{2}}-x\right)(\gamma +\ln 2)+(1-x)\ln \pi -{\frac {1 }{2}}\ln \sin \pi x+{\frac {1}{\pi }}\sum _{{n=1}}^({\infty }}{\frac {\sin 2\pi nx \cdot \ln {n}}{n}}\,,\qquad 0<x<1

Această formulă este de obicei atribuită lui Ernst Kummer , care a derivat-o în 1847 (în literatura de specialitate [3] [6] [7] această serie este chiar numită seria Kummer pentru logaritmul funcției gamma). Cu toate acestea, s-a descoperit recent că această formulă a fost obținută încă din 1842 de către Carl Malmsten (vezi Yaroslav Blagushin [4] [8] ).

Pe lângă expansiunile din seria Fourier, există și alte extinderi ale seriei. Una dintre cele mai cunoscute este seria Stirling .

\ln \Gamma (z)=\left(z-{\frac {1}{\,2\,}}\right)\!\ln z-z+{\frac {1}{\,2\,} }\ln 2\pi +\sum _{{n=1}}^{N}{\frac {B_{{2n}}}{2n(2n-1)z^{{2n-1}}}} +O(z^{{-2N-1)))\,,\qquad |\arg z|<{\frac {\pi }{2))

În versiunea sa standard

\ln \Gamma (z)=z\ln z+O(z)

unde coeficienții înseamnă numerele Bernoulli . $B_{2n}$

Din definirea funcției gamma după Weierstrass, urmează o altă reprezentare importantă [9]

\ln \Gamma (z)=-\gamma z-\ln z+\sum _{{n=1}}^{\infty }\left[{\frac {z}{n}}-\ln \!\ stânga(1+{\frac {z}{n}}\dreapta)\dreapta]

Valori private

Funcția gamma a argumentelor întreg și jumătate întreg este exprimată în termeni de funcții elementare . În special

\Gamma(1)=0!=1

\Gamma(2)=1!=1

\Gamma(3)=2!=2

\Gamma(4)=3!=6

\Gamma(5)=4!=24

\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}.

\Gamma \left({\tfrac {3}{2}}\right)={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}.

\Gamma \left({\tfrac {5}{2}}\right)={\tfrac {3}{4}}{\sqrt {\pi }}.

\Gamma \left({\tfrac {7}{2}}\right)={\tfrac {15}{8}}{\sqrt {\pi }}.

\Gamma \left(-{\tfrac {1}{2}}\right)=-2{\sqrt {\pi )).

\Gamma \left(-{\tfrac {3}{2}}\right)={\tfrac {4}{3}}{\sqrt {\pi )).

\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}+n\right)={(2n)! \over 4^{n}n!}{\sqrt {\pi }}={\frac {(2n-1)!!}{2^{n}}}\,{\sqrt {\pi }}= {\sqrt {\pi }}\cdot \left[{n-{\frac {1}{2}} \alegeți n}n!\right]

\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}-n\right)={(-4)^{n}n! \over (2n)!}{\sqrt {\pi }}={\frac {(-2)^{n}}{(2n-1)!!}}\,{\sqrt {\pi }}= {\sqrt {\pi }}/\left[{-{\frac {1}{2}} \alegeți n}n!\right]

Căutarea valorii funcției gamma la punctele 1/4 și 1/3 a făcut obiectul cercetărilor detaliate ale lui Euler, Gauss și Legendre, dar nu au reușit să calculeze aceste valori într-o formă închisă [1] .

Există următoarele reprezentări în formă neînchisă pentru Γ(1/4)

\Gamma ({\tfrac 14})={\sqrt {\frac {(2\pi )^{({\frac {3}{2))))}{{\mathrm {AGM))({\sqrt 2},1)}}}

\Gamma ({\tfrac 14})=(2\pi )^{({\frac {3}{4))))\prod _{{k=1))^{\infty }{\mathrm {th }}\stânga({\frac {\pi k}{2}}\dreapta)

\Gamma ({\tfrac 14})=A^{3}e^{{-{\frac {G}{\pi }}}}{\sqrt {\pi }}2^{{{\frac {1 }{6}}}}\prod _{{k=1}}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{2k}}\right)^{{k(-1)^{ k}}}

unde AGM este funcția medie aritmetică-geometrică , G este constanta catalană și A este constanta Glaisher-Kinkelin .

Generalizări

În definiția integrală clasică a funcției gamma, limitele de integrare sunt fixe. Se ia în considerare și funcția gamma incompletă , care este definită printr-o integrală similară cu o limită de integrare superioară sau inferioară variabilă. Se face o distincție între funcția gamma incompletă superioară, adesea denumită funcția gamma a două argumente:

\Gamma(a,z)=\int\limits_{\mathrm z}^\infty\!{e^{-t}t^{a-1}\,dt}

și funcția gamma incompletă inferioară, notată în mod similar prin litera minusculă „gamma”:

\gamma(a,z)=\int\limits_0^{\mathrm z}\!{e^{-t}t^{a-1}\,dt}

Uneori, funcția gamma incompletă este definită ca [10] :

I(z,a)={\frac {1}{\Gamma (a)))\int \limits _{0}^{\mathrm {z} }\!{e^{-t}t ^{a-1}\,dt}

Calculul integralelor

O aplicație importantă a funcției Gamma este reducerea la aceasta a integralelor de următoarea formă, unde sunt parametrii constanți $a,\alpha,\beta$

\int _{0}^{\infty }x^{\alpha }\exp(-ax^{\beta})\,dx=a^{-{\frac {\alpha +1}{\ beta ))}\cdot {\frac {1}{\beta }}\Gamma \left({\frac {\alpha +1}{\beta }}\right)

Dovada

După setarea parametrului:

\int _{0}^{\infty }x^{\alpha }\exp(-ax^{\beta})\,dx=a^{-{\frac {\alpha +1}{\ beta ))}\int _{0}^{\infty }\left(a^{1/\beta }x\right)^{\alpha }\exp {\Big [}-(a^{1/\ beta }x)^{\beta }{\Big ]}\,d\left(a^{1/\beta }x\right)

Injecții diferențiale:

a^{-{\frac {\alpha +1}{\beta ))}\int _{0}^{\infty }\kappa ^{\alpha }\exp(-\kappa ^{\beta })\,d\kappa ={\dfrac {a^{-{\frac {\alpha +1}{\beta }}}}{\beta }}\int _{0}^{\infty }\kappa ^{\alpha +1-\beta }\exp(-\kappa ^{\beta })\,d\kappa ^{\beta }

Și substituții variabile:

{\dfrac {a^{-{\frac {\alpha +1}{\beta }}}}{\beta }}\int _{0}^{\infty }\varkappa ^{{\frac {\alpha +1}{\beta }}-1}\exp(-\varkappa )\,d\varkappa =a^{-{\frac {\alpha +1}{\beta }}}\cdot {\ frac {1}{\beta }}\Gamma \left({\frac {\alpha +1}{\beta }}\right)

■

În special, pentru integralele de tip Gaussian care sunt întâlnite pe scară largă în aplicațiile fizicii:

\int _{0}^{\infty }x^{\alpha }\exp(-x^{2}/a^{2})\,dx=a^{\alpha +1}\cdot {\frac {1}{2}}\Gamma \left({\frac {\alpha +1}{2}}\right)

Și integralele lui Euler:

\int _{0}^{\infty }x^{\alpha }\exp(-x/a)\,dx=a^{\alpha +1}\cdot \Gamma \left(\alpha + 1\dreapta)

Vezi și

Lista obiectelor numite după Leonhard Euler
Funcția K
Funcția G Barnes
funcția beta
Distribuție gamma
Funcție gamma incompletă

Note

↑ 1 2 3 4 Davis, PJ Leonhard Euler's Integral: A Historical Profile of the Gamma Function // American Mathematical Monthly : jurnal . - 1959. - Vol. 66 , nr. 10 . - P. 849-869 . - doi : 10.2307/2309786 . — .
↑ Kingman, JFC A Convexity Property of Positive Matrices // The Quarterly Journal of Mathematics : jurnal. - 1961. - Vol. 12 , nr. 1 . - P. 283-284 . - doi : 10.1093/qmath/12.1.283 . - Cod .
↑ 1 2 3 Harry Bateman și Arthur Erdélyi Funcții transcendentale superioare [în 3 volume] . Compania de carte Mc Graw-Hill, 1955.
↑ 1 2 3 4 5 Iaroslav V. Blagouchine Redescoperirea integralelor lui Malmsten, evaluarea lor prin metode de integrare a contururilor și câteva rezultate aferente. Jurnalul Ramanujan, vol. 35, nr. 1, pp. 21-110, 2014. Arhivat 12 decembrie 2017 la Wayback Machine PDF Arhivat 7 mai 2021 la Wayback Machine
↑ Iaroslav V. Blagouchine O teoremă pentru evaluarea în formă închisă a primei constante Stieltjes generalizate la argumente raționale și unele însumări înrudite Journal of Number Theory (Elsevier), vol. 148, pp. 537-592, 2015. . Preluat la 1 februarie 2018. Arhivat din original la 24 septembrie 2015. (nedefinit)
↑ ET Whittaker și GN Watson Un curs de analiză modernă. O introducere în teoria generală a proceselor infinite și a funcțiilor analitice, cu o prezentare a principalelor funcții transcendentale (ediția a treia). Cambridge la University Press, 1920.
↑ Seria HM Srivastava și J. Choi asociată cu funcțiile Zeta și conexe . Editura academică Kluwer. Olanda, 2001
↑ Blagouchine, Iaroslav V. Erratum și addendum la „Redescoperirea integralelor lui Malmsten, evaluarea lor prin metode de integrare a conturului și unele rezultate aferente” // Ramanujan J. : jurnal. - 2016. - Vol. 42 , nr. 3 . - P. 777-781 . - doi : 10.1007/s11139-015-9763-z .
↑ D.S. Kuznetsov. Caracteristici speciale (ed. a II-a). Şcoala superioară, Moscova, 1965.
↑ Funcție gamma incompletă - articol din Encyclopedia of Mathematics

Literatură și referințe

V. Ya. Arsenin. Fizica matematică: ecuații de bază și funcții speciale , capitolul X, ss. 225-233. Nauka, Moscova , 1966.
M. A. Evgrafov. Funcții analitice , capitolul VI, art. 267-273. Nauka, Moscova, 1968.
M. A. Evgrafov și colab. , Culegere de probleme în teoria funcțiilor analitice , pp. 307-316. Nauka, Moscova, 1969.
G. M. Fikhtengolts. Un curs de calcul diferențial și integral (ed. a VII-a), capitolul XIV, ss. 750-794. Nauka, Moscova, 1969.
A. I. Markushevici. Teoria funcţiilor analitice (ed. a II-a), vol. 2, ss. 303-324. Nauka, Moscova, 1968.
N. N. Lebedev. Funcțiile speciale și aplicațiile lor (ed. a II-a), cap. I, ss. 11-27. FM, Moscova, 1963.
A. F. Nikiforov și V. B. Uvarov. Funcții speciale ale fizicii matematice , ss. 263-268. Nauka, Moscova, 1978.
Pagurova V. I. Tabelele funcției gamma incomplete. (Editor Ditkin V.A.). Moscova, Editura Centrului de Calcul al Academiei de Științe a URSS, 1963. 236 p. [unu]
R. Campbell. Les integrales eulériennes et leurs applications , Dunod, Paris, 1966.
M. Godefroy. Lafonction Gamma; Théorie, Histoire, Bibliographie , Gauthier-Villars, Paris, 1901.
E. Artin. Einführung in die Theorie der Gammafunktion , Teubner, Leipzig, 1931.
N. Nielson. Handbuch der Theorie der Gammafunktion , Teubner, Leipzig, 1906.

Dicționare și enciclopedii	Brockhaus și Efron Britannica (online) Universalis
În cataloagele bibliografice	NDL : 00562231

↑ L. N. Bolşev, „V. I. Pagurova. Tabelele funcției gamma incomplete. Review”, Zh. Vychisl. matematica. și mat. Fiz., 4:5 (1964), 977–978// http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=zvmmf&paperid=9070&option_lang=rus Arhivat 9 august 2021 la Wayback Machine