Complexul Koszul

Complexul Koszul a fost introdus pentru prima dată în matematică de Jean-Louis Koszul pentru a defini teoria coomologiei algebrelor Lie . Ulterior s-a dovedit a fi o construcție generală utilă a algebrei omologice . Omologia sa poate fi utilizată pentru a determina dacă o secvență de elemente ale unui inel este M - regular și, în consecință, poate fi utilizată pentru a demonstra proprietățile de bază de adâncime ale unui modul sau ideal .

Definiție

Fie R un inel comutativ și E un R -modul liber de rang finit r . Notăm cu i - a putere externă a lui E . Apoi, pentru o mapare R -liniară , complexul Koszul asociat cu s este complexul în lanț al R - module . $\wedge ^{i}E$ $s:E\la R$

K_{\bullet}(s):0\to \wedge ^{r}E{\overset {d_{r}}{\to }}\wedge ^{r-1}E\to \cdots \ la \wedge ^{1}E{\overset {d_{1}}{\to }}R\to 0,

în care diferența d k este dată de regula: pentru orice e i din E

{\displaystyle d_{k}(e_{1}\wedge \dots \wedge e_{k})=\sum _{i=1}^{k}(-1)^{i+1}s(e_{ i})e_{1}\wedge \cdots \wedge {\widehat {e_{i))}\wedge \cdots \wedge e_{k))

Superscriptul înseamnă că factorul este omis. ${\widehat {\cdot ))$

Rețineți că și . De asemenea, rețineți că ; acest izomorfism nu este canonic (de exemplu, alegerea unei forme de volum în geometria diferențială este un exemplu de astfel de izomorfism). $\wedge ^{1}E=E$ $d_{1}=s$ $\wedge ^{r}E\simeq R$

Dacă E = R r (adică se alege o bază), atunci specificarea unei mapări R -liniare s : R r → R este echivalentă cu specificarea unei secvențe finite s 1 , …, s r de elemente ale lui R (vector rând) iar în acest caz denotă $K_{\bullet}(s_{1},\dots,s_{r})=K_{\bullet}(s).$

Dacă M este un R -modul finit generat , punem

K_{\bullet}(s,M)=K_{\bullet}(s)\otimes _{R}M

i -a omologie a complexului Koszul

\operatorname {H} _{i}(K_{\bullet}(s,M))=\operatorname {ker} (d_{i}\otimes 1_{M})/\operatorname {im} (d_ {i+1}\otime 1_{M})

sunt numite i-a omologie Koszul . De exemplu, dacă E = R r și este un vector rând al elementelor lui R , atunci diferența complexului Koszul este $s=[s_{1}\cdots s_{r}]$ $d_{1}\otimes 1_{M)$

s:M^{r}\la M,\,(m_{1},\dots,m_{r})\mapsto s_{1}m_{1}+\dots +s_{r}m_{ r}

și

\operatorname {H} _{0}(K_{\bullet}(s,M))=M/(s_{1},\dots,s_{r})M=R/(s_{1} ,\dots ,s_{r})\otimes _{R}M.

De asemenea

\operatorname {H} _{r}(K_{\bullet}(s,M))=\{m\in M:s_{1}m=s_{2}m=\dots =s_{r }m=0\}=\operatorname {Hom} _{R}(R/(s_{1},\dots ,s_{r}),M).

Complexe Koszul de dimensiuni mici

Având în vedere un element x al unui inel R și un R - modul M , înmulțirea cu x dă un homomorfism al R - modulelor

M\la M.

Când este privit ca un complex în lanț (concentrat în puteri de 1 și 0), este notat . Omologia sa este $K(x,M)$

H_{0}(K(x,M))=M/xM,H_{1}(K(x,M))=Ann_{M}(x)=\{m\in M,xm= 0\},

Astfel, complexul Koszul și omologia sa stochează informații de bază despre proprietățile înmulțirii cu x .

Complexul de lanț K • ( x ) se numește complexul Koszul al elementului x al inelului R . Dacă x 1 , x 2 , …, x n sunt elemente ale lui R , complexul Koszul al șirului x 1 , x 2 , …, x n , de obicei notat cu K • ( x 1 , x 2 , …, x n ) , este produsul tensor al complexelor Koszul pentru fiecare i . $K_{\bullet}(x_{1})\otimes K_{\bullet}(x_{2})\otimes \cdots \otimes K_{\bullet}(x_{n})$

Complexul Koszul pentru un cuplu are forma $(x,y)\in R^{2}$

0\to R{\xrightarrow {\ d_{2}\ }}R^{2}{\xrightarrow {\ d_{1}\ }}R\to 0,

unde matricele și sunt date ca $d_{1}$ $d_{2}$

d_{1}={\begin{bmatrix}x&y\\\end{bmatrix}}

și

d_{2}={\begin{bmatrix}-y\\x\\\end{bmatrix}}.

Atunci ciclurile de gradul 1 sunt relații exact liniare între elementele x și y , în timp ce limitele sunt relații triviale. Prima omologie Koszul H 1 ( K • ( x , y )), astfel, descrie relațiile modulo relații triviale.

În cazul în care elementele x 1 , x 2 , …, x n formează o secvență regulată, toată omologia Koszul superioară dispare.

Exemplu

Dacă k este un câmp, X 1 , X 2 , …, X d sunt necunoscute, iar R este un inel polinomial k [ X 1 , X 2 , …, X d ], complexul Koszul K • ( X i ) al secvența X i este un exemplu concret de rezoluție liberă a unui R - modul k .

Literatură

David Eisenbud , Algebră comutativă. Cu o vedere către geometria algebrică, Graduate Texts in Mathematics, vol. 150, Springer-Verlag, New York, 1995. ISBN 0-387-94268-8