Inel comutativ

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 11 septembrie 2021; verificarea necesită 1 editare .

Un inel comutativ este un inel în care operația de înmulțire este comutativă (de obicei, asociativitatea sa și existența unei unități sunt, de asemenea, implicate ). Algebra comutativă se ocupă cu studiul proprietăților inelelor comutative .

Idealurile și spectrul unui inel

Unele dintre următoarele definiții există și pentru inelele necomutative, dar devin mai complexe. De exemplu, un ideal într-un inel comutativ este automat cu două fețe, ceea ce simplifică foarte mult situația.

Idealuri și inele de factori

Structura internă a unui inel comutativ este determinată de structura idealurilor sale, adică de submulțimi nevide care sunt închise prin adunare, precum și de înmulțirea cu un element arbitrar al inelului. Având în vedere o submulțime a unui inel comutativ , se poate construi cel mai mic ideal care conține această submulțime. Și anume, acesta este spațiul combinațiilor liniare finite ale formei $F=\{f_{j}\}_{j\in J}$ $R$

r_{1}f_{1}+r_{2}f_{2}+\cdots +r_{n}f_{n)

Un ideal generat de un element se numește principal . Un inel în care toate idealurile sunt principale se numește inel ideal principal , două exemple importante de astfel de inele sunt și un inel polinomial peste un câmp . Orice inel are cel puțin două idealuri - idealul zero și inelul în sine. Un ideal care nu este conținut într-un alt ideal impropriu (care nu coincide cu inelul în sine) se numește maximal . Din lema lui Zorn rezultă că fiecare inel are cel puțin un ideal maxim. $\mathbb {Z}$ $k$ $k[x]$

Definiția unui ideal este construită în așa fel încât să permită „împărțirea” unui inel în el, adică există un inel coeficient : acesta este mulțimea de clase în ceea ce privește operațiile $R/I$ $eu$

(a+I)+(b+I)=(a+b)+I,(a+I)(b+I)=ab+I

Aceste operații sunt definite corect, de exemplu, pentru că aparține lui etc. Din aceasta este clar de ce definiția unui ideal este tocmai aceasta. $(a+I)(b+I)=ab+aI+Ib+I\cdot I=ab+I$ $A$ $eu$

Localizare

Localizarea unui inel este, într-un sens, operația opusă luării unui factor: într-un inel de factori, elementele unei submulțimi devin zero, în timp ce în localizare elementele unei mulțimi devin inversabile . Și anume, dacă este o submulțime închisă sub înmulțire, atunci localizarea față de , notată ca , constă din simboluri formale de forma $S$ $R$ $S$ $S^{-1}R$

{\frac {r}{s))

, unde ,

r\în R

s\în S

cu o regulă de reducere a numărătorului și numitorului similară (dar nu la fel cu) regula obișnuită. Operațiile de adunare și înmulțire pe astfel de „fracții” sunt definite în mod obișnuit.

În acest limbaj , aceasta este localizarea peste setul de numere întregi diferite de zero. Aceeași operație poate fi efectuată cu orice inel integral pe loc : localizarea se numește câmpul inelelor parțiale . Dacă constă din toate puterile unui element fix , localizarea se notează ca . $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z}$ $(\mathbb {R} \backslash \{0\})^{-1}R$ $R$ $S$ $f$ $R_{f)$

Idealurile prime și spectrul

Un tip de ideal deosebit de important este idealul simplu, adesea notat cu litera . Prin definiție, un ideal prim este un ideal impropriu, astfel încât, dacă conține produsul a două elemente, atunci conține cel puțin unul dintre aceste elemente. O definiție echivalentă este aceea că un inel coeficient este integral. O altă definiție echivalentă este aceea că complementul este închis la înmulțire. [1] Localizarea este suficient de importantă pentru a avea propria denumire: . Acest inel are un singur ideal maxim: . Astfel de inele sunt numite locale . $p$ $R/p$ $R\backslash p$ $(R\backslash p)^{-1}R$ $R_{p}$ $pR_{p}$

Idealurile prime sunt un element cheie al descrierii geometrice a unui inel, folosind spectrul inelului Spec $\mathbb {R}$ . Ca set, Spec $\mathbb {R}$ constă din idealuri principale. Dacă este un câmp, are un singur ideal prim (zero), deci spectrul câmpului este un punct. Un alt exemplu este că Spec conține un punct pentru idealul zero și unul pentru fiecare număr prim . Spectrul este echipat cu topologia Zariski , în care seturile deschise sunt seturi de forma , unde este un element arbitrar al inelului. Această topologie diferă de exemplele obișnuite de topologii din analiză: de exemplu, închiderea unui punct corespunzător idealului nul este întotdeauna întregul spectru. $R$ $\mathbb {Z}$ $p$ $D(f)=\{p\în SpecR,f\notin p\}$ $f$

Definiția spectrului este de bază pentru algebra comutativă și geometria algebrică . În geometria algebrică, spectrul este înzestrat cu un snop . Perechea „un spațiu și un snop pe el” se numește o schemă afină . Conform schemei afine, se poate restaura inelul original prin aplicarea functorului de secțiune globală . În plus, această corespondență este functorială : se asociază cu fiecare homomorfism inel : o mapare continuă în direcția opusă: $\mathcal O$ $f$ $R\la S$

Spec

S

→ Spec

R

, (preimaginea oricărui ideal prim este simplă).

q\mapsto f^{-1}(q)

Astfel categoriile de scheme afine și inele comutative sunt echivalente . În consecință, multe dintre definițiile aplicate inelelor și homomorfismelor acestora provin din intuiția geometrică. Schemele afine sunt date locale pentru scheme (la fel ca spațiile sunt date locale pentru varietăți ), care sunt obiectul principal de studiu în geometria algebrică. $\mathbb {R} ^{n}$

Homomorfisme de inel

Ca de obicei în algebră, un homomorfism este o mapare între obiecte algebrice care le păstrează structura. În special, un homomorfism de inele (comutative) cu identitate este o mapare : astfel încât $f$ $R\la S$

f(a+b)=f(a)+f(b),f(ab)=f(a)f(b),f(1)=1

În această situație , este și o -algebră: într-adevăr, elementele pot fi înmulțite cu elemente conform regulii $S$ $R$ $S$ $R$

r\cdot s:=f(r)\cdot s

Nucleul și imaginea homomorfismului sunt mulțimile și . Nucleul este un ideal în , iar imaginea este un subring al . $f$ $ker(f)=\{r\în R,f(r)=0\)$ $im(f)=f(R)=\{f(r),r\in R\)$ $R$ $S$

Dimensiune

Dimensiunea Krull (sau pur și simplu dimensiunea) este o modalitate de a măsura „dimensiunea” unui inel. Și anume, aceasta este lungimea maximă a unui lanț de idealuri prime ale formei $n$

{\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq {\mathfrak {p}}_{1}\subsetneq \ldots \subsetneq {\mathfrak {p}}_{n}

De exemplu, un câmp are dimensiunea 0 deoarece are un singur ideal, zero. Dimensiunea numerelor întregi este una; singurul lanţ de idealuri prime are forma

0={\mathfrak p}_{0}\subsetneq p{\mathbb Z}={\mathfrak p}_{1}

, unde este un număr prim .

p

Un inel local cu un id maxim se numește regulat dacă dimensiunea sa este egală cu cea a unui spațiu vectorial peste . $m$ $m/m^{2}$ $R/m$

Construcția inelelor comutative

Note

↑ Atiyah-MacDonald, Introduction to Commuative Algebra, 2003.

Literatură

Atiyah M., McDonald I. Introducere în algebra comutativă. - Presa factorială, 2003 - ISBN 5-88688-067-4 .
Eisenbud, David (1995), Algebră comutativă. Cu privire la geometria algebrică. , vol. 150, Texte pentru absolvenți în matematică, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94268-1
Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1960). „Éléments de géométrie algébrique (rédigés avec la collaboration de Jean Dieudonné): I. Le langage des schémas”. — Publications Mathematics de l'IHES 4
Matsumura, Hideyuki (1989), Teoria inelului comutativ (ed. a doua), Cambridge Studies in Advanced Mathematics, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-36764-6
Pinter-Lucke, James (2007), Commutativity conditions for rings: 1950–2005 , Expositiones Mathematicae vol. 25 (2): 165–174, ISSN 0723-0869 , DOI 10.1016/j.exmath.2006.07.
Zariski, Oscar & Samuel, Pierre (1958-60), Commutative Algebra I, II , University series in Higher Mathematics, Princeton, NJ: D. van Nostrand, Inc.

Diagrama de includere a unor clase de inele
inele comutative ⊃ inele integrale ⊃ inele factoriale ⊃ domenii ideale principale ⊃ inele euclidiene ⊃ câmpuri