Congruenţă

Congruența este o relație de echivalență pe un sistem algebric care se păstrează în timpul operațiilor de bază. Conceptul joacă un rol important în algebra universală : orice congruență generează un sistem de factori corespunzători - o partiție a sistemului algebric original în clase de echivalență în raport cu congruența.

Definiție

O relație pe o mulțime se numește stabilă în raport cu operația -aria definită pe această mulțime, dacă pentru orice elemente ( ) ale mulțimii , adevărul relației ( ) rezultă din adevărul relației . $\theta(x_1, \ldots, x_m)$ $A$ $n$ $f$ $a_{i1}, \ldots, a_{im}$ $i = 1, \ldots, n$ $A$ $\theta(a_{i1}, \ldots, a_{im})$ $i = 1, \ldots, n$ $\theta(f(a_{11}, \ldots, a_{n1}), \ldots, f(a_{1m}, \ldots, a_{nm}))$

O relație se numește congruență pe un sistem algebric dacă este stabilă în raport cu fiecare operație principală a sistemului . (Cu această definiție, conceptul de congruență nu depinde de relațiile de bază ale sistemului .) $\theta$ $\mathfrak A$ ${\mathfrak {A}}$ ${\mathfrak {A}}$

Sistemul factorilor

Pentru un sistem algebric pe o mulțime de coeficient , prin congruență pentru toate operațiile și relațiile , operațiile și relațiile peste seturile corespunzătoare sunt introduse în mod natural: $\mathfrak A = (A, \mathit\Phi, \mathit\Rho)$ $A / \theta$ $\theta \subseteq A^2$ $f_i \in \mathit\Phi$ $r_i \in \mathit\Rho$

f_i^\star ([a_1]_\theta, \dots, [a_n]_\theta) = [f_i(a_1, \dots, a_n)]_\theta

r_i^\star ([a_1]_\theta, \dots, [a_m]_\theta) \Leftrightarrow \exists(b_1\in[a_1]_\theta, \dots, b_m\in[a_m]_\theta) r_i(b_1, \dots, b_m)

Sistemul rezultat este notat și numit sistem de factori, iar harta definită de regulă este numită epimorfism canonic . $\mathfrak{A} / \theta$ $h_\theta \colon \mathfrak{A} \to \mathfrak{A} / \theta$ $h_\theta(a) = [a]_\theta$

Mulțimea tuturor congruențelor acestui sistem formează o rețea completă cu privire la operațiile de unire și intersecție și, de asemenea, definește relația de includere: $\mathrm{Con}(\mathfrak{A})$

\theta_1 \leqslant \theta_2 \Leftrightarrow \forall a, b \in A \, a \,\theta_1\, b \to a \,\theta_2 \, b

Pentru orice set de congruențe ale unui sistem algebric dat , următorul rezultat este valabil ( teorema lui Remak ): un sistem de factori peste intersecția unei mulțimi de congruențe se încorporează într-un produs direct al sistemelor factoriale peste fiecare dintre congruențele mulțimii: $\{\theta_i, i \in I\} \subseteq \mathrm{Con}(\mathfrak{A})$

\mathcal{A} / \bigcap_{i \in I}{\theta_i} \hookrightarrow \prod_{i \in I}{\mathfrak{A} / \theta_i}

Literatură

Artamonov V. A. . Capitolul VI. Algebre universale // Algebră generală / Ed. ed. L. A. Skornyakova . - M . : Nauka , 1991. - T. 2. - S. 295-367. — 480 s. — (Bibliotecă matematică de referință). — 25.000 de exemplare. — ISBN 5-9221-0400-4 .
Maltsev, A. I. Sisteme algebrice. — M .: Nauka , 1970. — 392 p. - 17.500 de exemplare.