Sistemul factorilor

Un sistem de factori în algebra universală este un obiect obținut prin împărțirea unui sistem algebric în seturi printr-o relație de echivalență care este stabilă în raport cu operațiile sale de bază și, în consecință, este și un sistem algebric. O algebră factorială este un sistem factorial obținut peste o algebră (un sistem fără relații), un model factorial este un sistem factorial peste un model (un sistem fără operații).

Un sistem de coeficient este o generalizare a factorizărilor algebrice: un grup de coeficient , un inel de coeficient , o algebră de coeficient sunt sisteme de coeficient peste un grup , un inel , respectiv o algebră peste un câmp .

Definiție

Pentru un sistem algebric , , și o relație binară , care este o congruență peste , adică stabilă față de fiecare dintre operațiile principale - de la intrarea în relația unei anumite mulțimi , urmează îndeplinirea - sistemul de factori este construit ca un sistem algebric , cu o purtătoare - un factor stabilit în raport cu congruența , următorul set de operații: ${\mathfrak {A}}=\langle A,F,R\rangle$ $F=\langle f_{1}:A^{n_{1}}\la A,\dots f_{i}:A^{n_{i}}\la A,\dots \rangle$ $R=\langle r_{1}\subseteq A^{m_{1}},\dots r_{i}\subseteq A^{m_{i}},\dots \rangle$ $\sigma \subseteq A \times A$ $\mathfrak A$ $f_i \în F$ $\forall_{j\în 1\dots{n_i}}(a_j, b_j) \in \sigma$ $(f(a_1, \dots a_{n_i}), f(b_1, \dots b_{n_i})) \in \sigma$ $\mathfrak A / \sigma$ $A/\sigma$ $A$ $\sigma$

\langle f^\star_1: (A/\sigma)^{n_1} \to A/\sigma, \dots f^\star_{n_i}: (A/\sigma)^{n_i} \to A/\sigma , \dots \rangle

și următorul set de relații:

\langle r^\star_1 \subseteq (A/\sigma)^{m_1}, \dots r^\star_{m_i} \subseteq (A/\sigma)^{m_i}, \dots \rangle

unde înseamnă tranziție la seturi în ceea ce privește congruența : $^\stea$ $\sigma$

f^\star ([a_1]_\sigma, \dots [a_n]_\sigma) = [f(a_1, \dots a_n)]_\sigma

pentru operațiuni și

r^\star ([a_1]_\sigma, \dots [a_m]_\sigma) \Leftrightarrow \exists(b_1\in[a_1]_\sigma, \dots b_m\in[a_m]_\sigma) r( b_1, \dots b_m)

pentru relații

(clasa de adiacență este mulțimea tuturor elementelor echivalente în raport cu : ). $[a]_\sigma$ $A$ $\sigma$ $\{ b \in A \mid (a,b) \in \sigma \}$

Astfel, sistemul de factori este de același tip cu sistemul . Este fundamental în definiție că stabilitatea relației de factoring este necesară numai pentru operațiile principale, dar nu și pentru relațiile sistemului: pentru operații, stabilitatea este necesară pentru o tranziție fără ambiguitate la clase, în timp ce tranziția la claseturi pentru relații. este introdus prin definiție (existența în fiecare dintre clasele a cel puțin unui element din relație). $\mathfrak A / \sigma$ $\mathfrak A$

Proprietăți

Maparea naturală care asociază un element cu setul său în raport cu congruența: este un homomorfism de la un sistem de coeficienti [1] [2] . $\phi: A \to A/\sigma$ $\phi(a) = [a]_\sigma$ $\mathfrak A$ $\mathfrak A/\sigma$

Teorema homomorfismului afirmă că pentru orice homomorfism și concurența nucleului său, maparea naturală (adică ) este un homomorfism. Dacă homomorfismul este puternic , adică pentru fiecare predicat din și orice set de elemente , aserțiunea implică existența unor preimagini astfel încât , atunci este un izomorfism . Astfel, mulțimea tuturor sistemelor factoriale ale unui sistem dat, până la izomorfism, coincide cu mulțimea tuturor imaginilor sale puternic homomorfe [3] . Pentru algebrele care nu au relații în semnătură, orice homomorfism este puternic, adică setul de algebre factoriale unei algebre date, până la izomorfism, coincide cu mulțimea imaginilor sale homomorfe. $\phi: \mathfrak A (A, F, R) \to \mathfrak A' (A', F', R')$ $\sigma _{\phi }=\{(x,y)\in A\times A|\phi (x)=\phi (y)\)$ $\phi^\star: \mathfrak A/\sigma_\phi \to \mathfrak A'$ $\phi^\star([a]_\sigma) = \phi(a)$ $\phi$ $r'_k\în R'$ $a'_1,\punctele a'_n \în A'$ $(a'_1,\dots a'_n) \în r'_k$ $a_1 \in \phi^{-1}a'_1, \dots a_n \in \phi^{-1}a'_n$ $(a_1,\dots a_n) \în r_k$ $\phi$

Note

↑ Maltsev, 1970 , p. 61-62.
↑ Gretzer, 2008 , Lema 2, p. 36.
↑ Maltsev, 1970 , Teorema 1, p. 63-64.

Literatură

Artamonov V. A. . Capitolul VI. Algebre universale // Algebră generală / Ed. ed. L. A. Skornyakova . - M . : Nauka , 1991. - T. 2. - S. 295-367. — 480 s. — (Bibliotecă matematică de referință). — 25.000 de exemplare. — ISBN 5-9221-0400-4 .
Cohn P. Algebră universală. - M .: Mir , 1969. - 351 p.
Maltsev A.I. Sisteme algebrice. — M .: Nauka , 1970. — 392 p. - 17.500 de exemplare.
Gratzer, George. . Algebră universală. editia a 2-a. - Springer , 2008. - 585 p. — ISBN 978-0-387-77486-2 .