Ideal generat finit

Un ideal finit generat al unui inel asociativ este un ideal care este generat de un număr finit al elementelor sale. $eu$ $R$

În cazul în care este un inel cu o unitate, generarea finită pentru un ideal unilateral (de exemplu, dreapta) al inelului înseamnă că există un set finit de elemente astfel încât orice element din poate fi reprezentat ca o sumă , unde sunt câteva elemente ale inelului. Această definiție corespunde pe deplin definiției unui modul generat finit peste un inel, dacă luăm în considerare idealul potrivit ca un modul corect peste inel . În consecință, un ideal cu două fețe va fi generat finit dacă există o mulțime finită de elemente astfel încât orice element din poate fi reprezentat ca o sumă , unde sunt unele elemente ale inelului . $R$ $eu$ $R$ $i_{1},\ldots,i_{n}\in I$ $eu$ $i_{1}a_{1}+\ldots +i_{n}a_{n)$ $a_{1},\ldots, a_{n}\in R$ $eu$ $R$ $i_{1},\ldots,i_{n}\in I$ $eu$ ${\displaystyle a_{1}i_{1}b_{1}+\ldots +a_{n}i_{n}b_{n))$ $a_{1},\ldots,a_{n},b_{1},\ldots,b_{n}\in R$ $R$

În cazul general, când inelul nu conține neapărat o unitate, un ideal drept este finit generat dacă există o mulțime finită de elemente astfel încât orice element din poate fi reprezentat ca o sumă , unde sunt unele elemente ale inelului, . Un ideal cu două fețe se numește generat finit dacă există o mulțime finită de elemente astfel încât orice element din poate fi reprezentat ca o sumă , unde sunt unele elemente ale inelului , . $R$ $i_{1},\ldots,i_{n}\in I$ $eu$ ${\displaystyle i_{1}a_{1}+\ldots +i_{n}a_{n}+m_{1}i_{1}+\ldots +m_{n}i_{n))$ $a_{1},\ldots, a_{n}\in R$ $m_{1},\ldots,m_{n}\in \mathbb {Z}$ $i_{1},\ldots,i_{n}\in I$ $eu$ $a_{1}i_{1}b_{1}+\ldots +a_{n}i_{n}b_{n}+c_{1}i_{1}+\ldots +c_{n}i_{ n}+i_{1}d_{1}+\ldots +i_{n}d_{n}+m_{1}i_{1}+\ldots +m_{n}i_{n}$ $a_{1},\ldots,a_{n},b_{1},\ldots,b_{n},c_{1},\ldots,c_{n},d_{1},\ldots, d_{n}\în R$ $R$ $m_{1},\ldots,m_{n}\in \mathbb {Z}$

Vezi și

Ideal