Combinație conică

O combinație conică ( suma conică , sumă ponderată ) este o operație pe o mulțime finită de vectori din spațiul euclidian care asociază această mulțime cu un vector de forma: $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$

\alpha _{1}x_{1}+\alpha _{2}x_{2}+\cdots +\alpha _{n}x_{n)

unde toate numerele satisfac condiția [1] [2] . $\alpha_i$ $\alpha _{i}\geqslant 0$

Denumirea provine de la faptul că suma conică a vectorilor definește un con (poate într-un subspațiu de dimensiune inferioară).

Învelișul conic este mulțimea tuturor combinațiilor conice pentru o mulțime dată , notat cu [1] sau [2] . Acesta este: $S$ $\operatorname {con} (S)$ $\operatorname {coni} (S)$

\operatorname {coni} (S)=\left\lbrace \sum _{i=1}^{k}\alpha _{i}x_{i}\;{\Big |}\;x_{i }\în S,\,\alpha _{i}\in \mathbb {R} ,\,\alpha _{i}\geq 0,i,k=1,2,\dots \right\rbrace

Prin definiție , originea aparține tuturor învelișurilor conice.

Carcasa conică a unui set este o mulțime convexă . De fapt, este intersecția tuturor conurilor convexe care conțin , unite cu originea [1] . Dacă este un spațiu compact (în special, dacă este format dintr-un număr finit de puncte), nu este necesară adăugarea originii la intersecția tuturor conurilor convexe. $S$ $S$ $S$

Dacă împărțim fiecare coeficient al unei combinații conice la suma tuturor coeficienților ei, atunci devine clar că orice combinație conică diferită de zero este o combinație convexă la scară [1] . În acest sens, combinațiile de conuri și corpurile de conuri pot fi considerate combinații convexe și corpuri convexe în spațiul proiectiv .

Deși carcasa convexă a unui set compact este, de asemenea, o mulțime compactă, acest lucru nu este adevărat pentru corpul conic, deoarece este în general nelimitat. Mai mult, carcasa conică a unui set compact nu este nici măcar neapărat o mulțime închisă - un contraexemplu este sfera care trece prin origine, a cărei carcasă conică este un semi -spațiu deschis plus originea. Totuși, dacă este un set compact nevid care nu conține originea, carcasa conică a mulțimii este un set închis [1] . $S$ $S$

Note

↑ 1 2 3 4 5 Jean-Baptiste Hiriart-Urruty, Claude Lemaréchal. Analiză convexă și algoritmi de minimizare Partea I: Fundamente . - Springer-Verlag , 1993. - Vol. 305. - P. 101-102. — (Grundlehren der matematischen Wissenschaften). — ISBN 3-540-56850-6 .
↑ 1 2 Melvyn W. Jeter. Programare matematică: o introducere în optimizare . - New York: Marcel Dekker, Inc., 1986. - Vol. 102. - P. 68. - (Monografii si manuale de matematica pura si aplicata). — ISBN 0-8247-7478-7 .