Câmp vectorial

Un câmp vectorial este o mapare care asociază fiecare punct al spațiului luat în considerare cu un vector cu începutul în acest punct. De exemplu, vectorul vitezei vântului la un moment dat este diferit în puncte diferite și poate fi descris printr-un câmp vectorial.

Definiție și variații

Spațiu euclidian

Un câmp vectorial pe un spațiu euclidian (sau pseudo-euclidian ) [ 1] este definit ca o funcție vectorială a unui punct din spațiu care mapează acest spațiu în (pe) însuși [2] : ${\mathcal {E}}$

{\mathcal {F}}:{\mathcal {E}}\longrightarrow {\mathcal {E}}.

Adică, fiecare punct din spațiu este asociat cu un anumit vector (valoarea câmpului vectorial într-un punct dat din spațiu). În cazul general, acest vector diferă pentru diferite puncte din spațiu, adică, în cazul general, câmpul vectorial ia valori diferite în diferite puncte din spațiu. În fiecare punct al spațiului, vectorul câmp are o anumită valoare și o anumită direcție (cu excepția cazurilor când câmpul dispare) în acest spațiu [3] .

În literatură (mai ales în cea mai veche, precum și în cea fizică), în raport cu un câmp vectorial pe un anumit spațiu, se folosește și prepoziția v ( adică se spune atât câmpul pe spațiu, cât și câmpul în spațiu).

Varietate

Like secțiuni

Într-un caz mai general, când spațiul inițial este o varietate , câmpul vectorial este definit ca o secțiune a mănunchiului tangent la varietatea dată, adică o mapare care atribuie fiecărui punct un vector din spațiul tangent la . $p$ $X_{p}$ $p$

Ca operator

Un câmp vectorial pe o varietate este un operator liniar care îndeplinește regula produsului: $X$ $M$ $X:C^{\infty}(M)\rightarrow C^{\infty }(M)$

X(f\cdot g)=f\cdot (Xg)+(Xf)\cdot g

pentru arbitrar . $f,g\in C^{\infty }(M)$

În fizică

În fizică, termenul câmp vectorial , pe lângă sensul general descris mai sus, are o semnificație specială, în principal în raport cu câmpurile fundamentale ( vezi mai jos ). Sensul acestei utilizări se rezumă la faptul că câmpurile fizice fundamentale sunt clasificate în funcție de natura potențialului lor, iar unul dintre aceste tipuri este câmpurile vectoriale (cum ar fi câmpurile electromagnetice sau gluon ).

Notație

Un câmp vectorial este de obicei notat simplu în conformitate cu convențiile adoptate pentru vectori

în fizică, acest lucru se face de obicei prin caractere aldine directe sau o săgeată deasupra literei, de exemplu,
- $\mathbf {E}$ sau ; ${\vec {v}}$
- pentru 4-vectori , notația index este tradițională, de exemplu ; $A_{i}$
în literatura matematică în ansamblu, nu există notații speciale general acceptate pentru vectori în general și câmpuri vectoriale în special.

Nu este neobișnuit să se precizeze în mod explicit dependența de un punct din spațiu [4] , de exemplu:

\mathbf {B} (p),

unde este o desemnare simbolică a unui punct din spațiu,

p

\mathbf {B} (\mathbf {r} ),

unde este vectorul rază care caracterizează un punct din spațiu.

\mathbf {r}

Este destul de comun să specificați un câmp vectorial în funcție de coordonate în spațiul pe care este definit câmpul, de exemplu:

{\vec {F}}(x,y,z)

sau (pentru un câmp dependent de timp):

{\vec {F}}(x,y,z,t).

Istoria termenului

Termenul de câmp (împreună cu conceptul de linii de câmp ) ( ing. câmp, linii de forță ) a fost introdus în fizică de Michael Faraday în jurul anului 1830 în studiul fenomenelor electromagnetice .

Bazele teoriei analitice a câmpurilor de forță au fost dezvoltate de Maxwell , Gibbs și Heaviside în a doua jumătate a secolului al XIX-lea.

Cazuri speciale de câmpuri vectoriale

Câmpuri vectoriale pe o linie dreaptă

Orice funcție cu valoare reală a unei variabile reale poate fi interpretată ca un câmp vectorial unidimensional.

Câmpuri vectoriale în plan

Dacă este vectorul rază , care în sistemul de coordonate dat are forma , atunci câmpul vectorial este descris printr-o funcție vectorială de forma $\mathbf {r}$ $\mathbf {r} =(x,y)$

\mathbf {F} (\mathbf {r} )={\big (}F_{x}(x,y), F_{y}(x,y){\big )}.

Câmpuri vectoriale în spațiul 3D

Dacă este vectorul rază , care în sistemul de coordonate dat are forma , atunci câmpul vectorial este descris printr-o funcție vectorială de forma $\mathbf {r}$ $\mathbf {r} =(x,y,z)$

\mathbf {F} (\mathbf {r} )={\big (}F_{x}(x,y,z), F_{y}(x,y,z), F_{z}( x,y,z){\big )}.

În spațiul tridimensional, următoarele caracteristici ale câmpului vectorial au sens

Integrală curbilinie

\int \limits _{C}\mathbf {F} \cdot \mathbf {dl} =\int \limits _{C}F_{\tau }\,dl,

unde punctul înseamnă produsul interior, este elementul vectorial al traseului curbat de-a lungul căruia are loc integrarea, este proiecția pe tangenta (pozitivă) la calea curbă, este elementul scalar al drumului (elementul de lungime), C este curba betonului, calea de integrare (de obicei presupusă a fi suficient de netedă) . Poate cel mai simplu prototip fizic al unei astfel de integrale este munca forței care acționează asupra unui punct atunci când punctul se mișcă pe o anumită cale. $\mathbf {dl}$ $F_{\tau )$ $\mathbf {F}$ $dl$ $\mathbf {F}$

Circulație

este integrala în buclă închisă:

\Gamma =\oint \limits _{C}\mathbf {F} \cdot \mathbf {dl} =\oint \limits _{C}F_{\tau}\,dl,

unde integrandul coincide cu cel descris mai sus, iar diferența constă în calea de integrare C , care în acest caz este închisă prin definiție, care este indicată printr-un cerc pe semnul integral.

Flux de câmp vectorial

${\mathbf {F}}({\mathbf {r}})$ prin suprafața S este definită ca o integrală peste S :

\Phi _{F}=\iint \limits _{S}\mathbf {F} \cdot \mathbf {dS} =\iint \limits _{S}F_{n}\,dS,

unde este proiecția vectorului câmp pe normala la suprafață, este „elementul vectorial al suprafeței”, definit ca vectorul normal unitar înmulțit cu elementul zonă . Cel mai simplu exemplu al acestei construcții este volumul de fluid care trece prin suprafața S , când curge cu o viteză F. $F_{n}$ $\mathbf {dS}$ $dS$

Derivat

Analogul derivatei pentru un câmp vectorial este tensorul derivatelor parțiale ( Jacobian ), care în coordonate carteziene are forma

J={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial F_{x}}{\partial x}}(x,y,z)&{\dfrac {\partial F_{x}}{\partial y}}(x,y,z)&{\dfrac {\partial F_{x}}{\partial z}}(x,y,z)\\{\dfrac {\partial F_{y}}{\ parțial x))(x,y,z)&{\dfrac {\partial F_{y)){\partial y))(x,y,z)&{\dfrac {\partial F_{y)){\ parțial z))(x,y,z)\\{\dfrac {\partial F_{z)){\partial x))(x,y,z)&{\dfrac {\partial F_{z)){ \partial y}}(x,y,z)&{\dfrac {\partial F_{z}}{\partial z}}(x,y,z)\end{bmatrix}}.

Divergenta

este urma unui astfel de tensor de derivate. Nu depinde de sistemul de coordonate (este un invariant al transformărilor de coordonate, un scalar ), iar în coordonate carteziene dreptunghiulare se calculează prin formula

\operatorname {div} \mathbf {F} ={\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}}+ {\frac {\partial F_{z)){\partial z)).

Aceeași expresie poate fi scrisă folosind operatorul simbolic nabla :

\operatorname {div} \mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} .

Teorema Ostrogradsky-Gauss permite să se calculeze fluxul unui câmp vectorial utilizând integrala de volum a divergenței câmpului.

Rotor

este caracteristica vectorială a componentei vortex a câmpului vectorial. Acesta este un vector cu coordonate

\operatorname {putrecerea} \mathbf {F} =\left({\frac {\partial F_{z)} {\partial y)}-{\frac {\partial F_{y}} {\partial z }}\right)\mathbf {i} +\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\ dreapta)\mathbf {j} +\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right)\ mathbf {k} ,

unde i , j și k sunt vectorii unitari pentru axele x , y și , respectiv , z .

Pentru ușurință de reținut, puteți reprezenta condiționat rotorul ca produs vectorial :

\operatorname {putrezire} \mathbf {F} =\mathbf {\nabla} \times \mathbf {F} .

Gradient

- cea mai importantă și simplă operație care vă permite să obțineți un câmp vectorial dintr-un câmp scalar . Câmpul vectorial obţinut prin aplicarea unei astfel de operaţii unui câmp scalar f se numeşte gradientul lui f :

\operatorname {grad} f=\left({\frac {\partial f}{\partial x)),{\frac {\partial f}{\partial y)),{\frac {\partial f} }{\partial z))\right)\equiv {\frac {\partial f}{\partial x))\mathbf {i} +{\frac {\partial f}{\partial y))\mathbf {j } +{\frac {\partial f}{\partial z}}\mathbf {k} ,

sau, scriind cu nabla :

\operatorname {grad} f\equiv \nabla f.

Un câmp vectorial a cărui divergență este zero peste tot se numește solenoidal ; poate fi reprezentat ca o buclă a unui alt câmp vectorial.

Un câmp vectorial a cărui ondulare este zero în orice punct se numește potențial ( irotațional ); poate fi reprezentat ca gradientul unui câmp scalar (potenţial).

Teorema Helmholtz este valabilă : dacă peste tot în domeniul D un câmp vectorial are o divergență și o ondulare, atunci acest câmp poate fi reprezentat ca suma unui potențial și a unui câmp solenoidal.

Un câmp vectorial pentru care atât divergența cât și curl sunt zero peste tot se numește armonic ; potenţialul său este o funcţie armonică .

Linii vectoriale

Curbă integrală (de asemenea - linie vectorială , pentru câmpuri de forță - linie de forță , pentru câmpul vitezei fluidului sau gazului - linia curentului ; primii termeni sunt generali, restul sunt sinonimele lor în funcție de context) pentru câmpul se numește curbă , tangentă la care în toate punctele curbei coincide cu valoarea câmpului: ${\mathbf {F}}({\mathbf {r}})$ ${\mathbf {r}}={\mathbf {r}}(t)$

{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}=\mathbf {F} {\big (}\mathbf {r} (t){\big )}.

Pentru câmpurile de forță, liniile de forță arată clar direcția acțiunii forțelor de câmp.

Dacă într-o regiune suficient de mică a spațiului câmpul nu dispare nicăieri, atunci o singură linie de forță trece prin fiecare punct al acestei regiuni. Punctele în care vectorul câmpului este zero sunt singulare, direcția câmpului nu este definită în ele, iar comportamentul liniilor de forță în vecinătatea acestor puncte poate fi diferit: este posibil ca un număr infinit de linii de forță trece printr-un punct singular, dar este posibil ca niciunul să nu treacă.

Un câmp vectorial se numește complet dacă curbele integrale sunt definite pe întreaga varietate.

Câmpuri vectoriale în spațiu n - dimensional

Toate construcțiile și proprietățile enumerate pentru câmpurile vectoriale din spațiul tridimensional pot fi generalizate direct la orice dimensiune spațială finită n .

În plus, cele mai multe dintre aceste generalizări sunt destul de banale, cu excepția definiției rotorului , pentru construcția corectă a căruia într-un caz arbitrar n -dimensional, spre deosebire de cazul tridimensional, trebuie să se folosească exteriorul , și nu produsul vectorial (care este definit doar pentru cazul tridimensional). Pentru n = 2, operația corespunzătoare ia forma unui produs pseudoscalar .

În plus, în cazul unui n arbitrar, este necesară o anumită precizie cu definirea fluxului. Principalele definiții se dovedesc a fi complet analoge pentru un flux printr-o suprafață de dimensiune ( n − 1).

Exemple fizice

În fizică, exemple tipice de câmp vectorial sunt câmpurile de forță (un câmp de forță este un câmp al unei anumite forțe (în funcție de poziția în spațiu a corpului asupra căruia acționează această forță) sau strâns legat de puterea intensității câmpului ).

Alte exemple tipice sunt câmpul de viteză (de exemplu, viteza de curgere a unui lichid sau gaz), câmpul de deplasare (de exemplu, într-un mediu elastic deformat) și multe altele [5] , de exemplu, vectorul densității curentului , vectorul fluxului de energie sau densitatea fluxului unor particule de material (de exemplu, în difuzie), vectorul gradientului de temperatură, concentrație sau presiune și așa mai departe.

Mai multe detalii:

câmp electromagnetic . Acest câmp fizic oferă câteva exemple de câmpuri vectoriale (în general, dependente de timp) în vechiul sens tridimensional: câmpul vectorului de intensitate E , câmpul vectorului de inducție magnetică , potențialul vectorial (tridimensional); de asemenea, câmpurile vectoriale în sens matematic sunt funcțiile lor, cum ar fi, de exemplu, vectorul Poynting .
- Câmpul electromagnetic este un exemplu de câmp vectorial într-un sens mai modern (cu patru dimensiuni), așa cum este descris în detaliu mai jos (vezi și potențialul electromagnetic ).
- Un caz special al unui câmp electromagnetic - un câmp electrostatic - oferă unul dintre cele mai simple și mai importante exemple de câmp vectorial (un câmp vectorial tridimensional care nu depinde de timp, în electrostatică este puterea câmpului electric).
- Un alt caz special interesant este dat de magnetostatică , care explorează un câmp vectorial cu proprietăți ușor diferite față de electrostatică - un câmp vortex cu puterea câmpului magnetic sau inducție magnetică, în plus, asociat cu un alt câmp vectorial - câmpul potențial vectorial.

Câmp gravitațional : în teoria clasică newtoniană a gravitației , intensitatea câmpului gravitațional este un câmp vectorial, formal complet similar cu câmpul intensității câmpului electric din electrostatică, cu excepția diferenței de coeficienți numerici (constante), inclusiv semnele acestora. Rețineți că în teoria generală a relativității și în teoriile care o generalizează, câmpul gravitațional nu este vector, ci tensor , deoarece gravitația este determinată de tensorul metric .

Câmpul de viteză al unui lichid în hidrodinamică sau al unui gaz în aerodinamică . Analogia hidrodinamică este cea mai ilustrativă pentru înțelegerea fizică a construcțiilor de bază ale analizei vectoriale. În interpretarea hidrodinamică (hidraulică), câmpul este câmpul de viteză în fluid. Câmpul vectorial, în acest caz, corespunde unui flux constant (adică se presupune că câmpul depinde numai de coordonatele spațiale). Dacă fluxul se modifică în timp, atunci ar trebui să fie descris printr-un câmp vectorial variabil care depinde de timp.

Din punct de vedere istoric, hidrodinamica a avut un impact imens asupra formării structurilor de bază ale analizei vectoriale și asupra terminologiei sale. Astfel, concepte precum

flux de câmp vectorial,
circulație vortex ( rotor ) și câmp vectorial,
eficientiza

și, de asemenea, într-o măsură sau alta, multe altele (practic fiecare dintre ele are, dacă nu o origine hidrodinamică, atunci o interpretare hidrodinamică).

Caracteristicile utilizării termenului în fizică

În general, în fizică, termenul câmp vectorial are același sens ca în matematică, descris mai sus. În acest sens, orice mărime fizică cu valoare vectorială care este o funcție a unui punct din spațiu, adesea dependentă și de timp, poate fi numită un câmp vectorial.

Cu toate acestea, există și o aplicație specifică a acestui termen, care apare în principal în clasificarea câmpurilor fizice fundamentale. În acest caz, cuvintele „câmp vectorial” înseamnă că câmpul vectorial ( dimensiunea de 4 vectori sau mai mare, dacă avem de-a face cu modele teoretice multidimensionale abstracte) este cea mai fundamentală mărime - potențialul și nu derivatele sale (intensitatea câmpului și asemănător). Deci, de exemplu, un câmp electromagnetic este denumit câmp vectorial , al cărui potențial este un câmp cu 4 vectori , în timp ce puterea sa din punct de vedere modern este un tensor . Câmpul gravitațional se numește în acest sens tensor, deoarece potențialul său este un câmp tensor .

Un sinonim practic pentru cuvântul „câmp vectorial” în acest sens este termenul de particulă vectorială în fizica modernă (de asemenea, împărțind aceste concepte apropiate, se vorbește despre o particulă vectorială ca o excitare a unui câmp vectorial sau, pentru a o spune mai tradițional , o particulă vectorială este un cuantum al unui câmp vectorial). Un alt sinonim practic este spin 1 particulă sau spin 1 câmp .

Dintre câmpurile fundamentale, vectorul (în sensul indicat) includ electromagnetic ( foton ), gluon (câmp de interacțiuni puternice ), precum și câmpul bosonilor vectoriali masivi - purtători ai interacțiunii slabe . Câmpul gravitațional, spre deosebire de cele enumerate, este un câmp tensor .

Cu clasificarea avută în vedere (clasificare în funcție de spinul câmpului bosonic fundamental), unele proprietăți ale câmpului corespunzător sunt direct legate, de exemplu, particulele de aceeași sarcină (legate de acest tip de interacțiune) sunt atrase sau respinse atunci când interacționează prin acest câmp, o astfel de sarcină este aceeași sau opusă pentru particule și antiparticule. Particulele care interacționează printr-un câmp vectorial se resping reciproc cu aceeași sarcină și se atrag cu cea opusă, iar perechea particule-antiparticule are o sarcină opusă una față de cealaltă (ca, în special, în cazul unui câmp electromagnetic) - în contrast cu proprietățile câmpului gravitațional și ale sarcinilor gravitaționale.

Note

↑ În principiu, un câmp vectorial poate fi definit în mod similar nu numai pe un spațiu euclidian sau pseudo-euclidian, ci și pe un spațiu liniar sau afin arbitrar , dar de obicei spațiul este încă considerat a fi de dimensiune finită și se presupune că Produsul scalar este definit pe acesta (necesar pentru a determina operațiile de bază ale analizei vectoriale , cum ar fi divergența , integrala curbilinie etc.); în aplicațiile fizice, acesta este cel mai adesea spațiul fizic tridimensional obișnuit sau spațiu-timp cu patru dimensiuni .
↑ Această definiție matematică formală nu face distincție între spațiul de bază și spațiul vectorilor de câmp - deoarece unul poate fi obținut din celălalt prin înmulțirea cu un număr ( scalar ). Din punctul de vedere al fizicii, există o oarecare diferență între aceste spații, deoarece vectorul câmp, de regulă, este măsurat în alte unități de măsură, astfel încât identitatea spațiului principal și spațiul vectorilor de câmp este oarecum arbitrară ( vectorul câmp poate fi reprezentat în spațiul principal, dar lungimea acestui vector va fi condiționată). Oricum, în orice caz, odată cu introducerea standard obișnuită a conceptului de câmp vectorial, dimensiunile acestor spații coincid, în plus, vectorul câmp este legat de spațiul principal în sensul că direcția vectorului câmp (dacă este nu este zero) este complet determinată în spațiul pe care este dat câmpul, el poate fi extins într-o bază (sau cadru ) în acest spațiu principal, deși coeficienții de expansiune și nu vor fi adimensionali (în sensul unităților fizice) numere.
↑ Dacă luăm în considerare un câmp care depinde de timp (adică se modifică în timp), atunci se înțelege că acesta capătă o anumită valoare specifică (magnitudine și direcție) în fiecare punct din spațiu în fiecare moment specific în timp (și la momente diferite în timp, aceste valori fiind în general diferite pentru un punct).
↑ Desigur, în acest caz, dacă este necesar, se poate indica și dependența funcțională de alți parametri, de exemplu, unde este un punct în spațiu, este un parametru suplimentar (de exemplu, încărcarea sursei). ${\vec {E}}({\vec {r}},Q),$ ${\vec {r))$ $Q$
↑ Aceste exemple pot fi mai fundamentale sau mai puțin, dar, în principiu, aproape orice mărime fizică vectorială care depinde de coordonate poate fi considerată ca un câmp vectorial.

Literatură

Borisenko AI, Tarapov IE Analiza vectorială și principiile calculului tensor. - M . : Şcoala superioară, 1966, 251 p.
Kumpyak D. E. Analiză vectorială și tensorială. Arhivat pe 27 februarie 2014 la Wayback Machine universitate , 2007, 158 p.
McConnel A. J. Introducere în analiza tensorială cu aplicații la geometrie, mecanică și fizică. Copie de arhivă din 27 februarie 2014 la Wayback Machine - M . : Fizmatlit, 1963, 411 p.
Fikhtengolts G. M. Curs de calcul diferențial și integral, volumul III. — M .: Nauka , 1966.