Configurația Hessian este o configurație de 9 puncte și 12 linii cu trei puncte pe fiecare linie și patru linii care trec prin fiecare punct. A fost considerată de Colin Maclaurin și studiată de Otto Hesse (1844) [1] , Configurația este realizabilă în plan proiectiv complex ca mulțime de puncte de inflexiune a unei curbe eliptice , dar nu există nicio realizare pe planul euclidian .
Configurația Hesse are aceleași relații de incidență ca și liniile și punctele planului afin pe un câmp de 3 elemente . Adică, punctele configurației Hesse pot fi identificate cu perechi ordonate de numere întregi modulo 3, iar liniile pot fi, respectiv, identificate cu triple de puncte ( x , y ) care satisfac ecuațiile liniare ax + by = c (mod 3). Alternativ, punctele de configurare pot fi identificate cu pătratele câmpului tic-tac-toe (3x3), iar liniile drepte pot fi identificate cu diagonalele drepte și întrerupte [2] ale câmpului.
Fiecare punct se află pe patru linii - în interpretarea configurației ca câmpuri de tic-tac-toe, o linie este orizontală, una verticală și două linii sunt diagonale sau diagonale rupte. Fiecare linie conține trei puncte, deci în limbajul configurațiilor configurația hessiană este scrisă 9 4 12 3 .
Grupul de automorfism al configurației Hessian are ordinul 216 și este cunoscut sub numele de grup Hessian .
Îndepărtarea oricărui punct și a liniilor incidente cu acesta din configurația Hesse dă o altă configurație de tip 8 3 8 3 , configurația Möbius-Cantor [3] [4] [5] .
În configurația Hesse, 12 linii pot fi grupate în patru triplete de linii paralele (neintersecte). Eliminarea din configurația Hesse a trei linii incluse într-una dintre triple dă o configurație de tipul 9 3 9 3 , configurația Papp [4] [5] .
Configurația Hesse poate fi extinsă prin adăugarea a patru puncte, câte unul pentru fiecare triplă de linii care nu se intersectează și adăugând o linie care conține aceste patru puncte noi. O astfel de extensie dă o configurație ca 13 4 13 4 , un set de puncte și linii ale planului proiectiv peste un câmp de trei elemente.
Configurația Hesse poate fi realizată în plan proiectiv complex ca 9 puncte de inflexiune ale unei curbe eliptice și 12 drepte care trec prin triplete de puncte de inflexiune. Dacă o mulțime dată de nouă puncte din planul complex este mulțimea de puncte de inflexiune a unei curbe eliptice C , atunci este mulțimea de puncte de inflexiune a oricărei curbe din mănunchiul de curbe format de C și curba sa Hessiană, mănunchiul Hessian. [6] .
Configurația Hesse, împreună cu configurația Möbius-Cantor, au realizări complexe în spațiu complex, dar nicio realizare cu linii drepte în planul euclidian . În configurația Hesse, oricare două puncte sunt conectate printr-o linie din configurație (care este definiția configurației Sylvester-Galai ), și, prin urmare, orice linie care trece prin două dintre punctele sale conține un al treilea punct. Cu toate acestea, în spațiul euclidian, orice număr finit de puncte este fie coliniar, fie, după teorema lui Sylvester , include o pereche de puncte care nu conțin puncte fixe pe linia care trece prin acele două puncte. Deoarece configurația Hesse încalcă teorema lui Sylvester, nu poate avea o implementare euclidiană. Acest exemplu arată că teorema lui Sylvester nu poate fi generalizată la planul proiectiv complex. Totuși, în spațiile complexe configurația Hesse și toate configurațiile Sylvester-Galai trebuie să se afle într-un subspațiu plat bidimensional [7] .