Coeficientul de cuplare al rezonatoarelor

Coeficientul de cuplare al rezonatoarelor este o mărime adimensională care caracterizează gradul de interacțiune dintre două rezonatoare

Coeficienții de cuplare sunt utilizați în teoria filtrelor rezonatoare . Rezonatoarele cu filtru pot fi fie electromagnetice, fie acustice. Împreună cu frecvențele de rezonanță și factorii externi de calitate ai rezonatoarelor, coeficienții de cuplare sunt parametri generalizați ai filtrului. Pentru a implementa reglarea caracteristicii amplitudine-frecventa a filtrului, este suficient sa ne limitam la optimizarea doar a acestor parametri generalizati.

Evoluția definiției termenului

Acest termen a fost introdus pentru prima dată în teoria filtrului de către M. Dishal [1]. Într-o oarecare măsură, este analog cu coeficientul de cuplare a două inductanțe sau cu coeficienții de cuplare a două circuite oscilatorii . Sensul acestui termen a fost rafinat în mod repetat odată cu dezvoltarea teoriei rezonatoarelor și filtrelor cuplate. Definițiile mai recente ale coeficientului generalizează sau rafinează definițiile anterioare.

Factorul de cuplare, privit ca o constantă pozitivă

Din primele definiții ale coeficientului de cuplare al rezonatoarelor, sunt larg cunoscute definițiile conținute în monografia lui G. Mattei și colab .. [2]. Trebuie remarcat imediat că aceste definiții sunt aproximative, deoarece sunt formulate din ipoteza că cuplarea dintre rezonatoare este suficient de mică. În monografia [2], coeficientul de cuplare pentru cazul a două rezonatoare identice este determinat de formula $k$

$k=|f_{o}-f_{e}|/f_{0},$ (unu)

unde sunt frecvențele oscilațiilor cuplate pare și impare ale unei perechi de rezonatoare neîncărcate și $f_{e},$ $f_{o)$ $f_{0}={\sqrt {f_{o}f_{e)}}.$ $f_{0}.$

În cazul în care o pereche de rezonatoare cuplate cu aceleași frecvențe de rezonanță poate fi comparată cu circuitul echivalent corespunzător cu un invertor de rezistență (conductivitate) încărcat pe ambele părți ale rețelelor rezonante cu două terminale , coeficientul de cuplare este determinat de formula $k$

${\displaystyle k=K_{12}/{\sqrt {x_{1}x_{2))))$ (2)

pentru rezonatoare în serie și formula

${\displaystyle k=J_{12}/{\sqrt {b_{1}b_{2))))$ (3)

pentru rezonatoare paralele. Aici sunt parametrii invertorului de rezistență și ai invertorului de conductivitate, sunt parametrii pantei reactanței primului și celui de-al doilea rezonator de tip serie la frecvența de rezonanță și sunt parametrii pantei conductanței reactive a primul şi al doilea rezonator de tip paralel. $K_{12},$ $J_{{12}}$ $x_{1},$ $x_{2}$ $f_{0},$ $b_{1},$ $b_{2}$

Când rezonatoarele sunt circuite LC oscilante, coeficientul de cuplare, conform formulelor (2) și (3), ia valoarea

${\displaystyle k_{L}=L_{m}/{\sqrt {L_{1}L_{2))))$ (patru)

pentru rezonatoare cu cuplaj inductiv şi valoarea

$k_{C}=C_{m}/{\sqrt {(C_{1}+C_{m})(C_{2}+C_{m)))))$ (5)

pentru rezonatoare cu cuplaj capacitiv. Aici sunt inductanța și capacitatea primului circuit, sunt inductanța și capacitatea celui de-al doilea circuit și sunt inductanța (mutuală) și capacitatea interloop. Formulele (4) și (5) sunt cunoscute de mult în teoria circuitelor electrice. Ele exprimă valorile coeficienților de cuplare inductivă și capacitivă a circuitelor oscilatorii. $L_{1},$ $C_{1}$ $L_{2},$ $C_{2}$ $L_{m},$ $Cm$

Coeficientul de cuplare, privit ca o constantă semnată

Rafinarea formulei aproximative (1) a fost făcută în [3]. Formula exactă este

$k=(f_{o}^{2}-f_{e}^{2})/(f_{o}^{2}+f_{e}^{2}).$ (6)

La derivarea acestei expresii s-au folosit formulele (4) și (5). Formula (6) a devenit universal recunoscută. În special, este dat în monografia frecvent citată de J-Sh. Hong [4]. Se poate observa că coeficientul de cuplare al rezonatoarelor are o valoare negativă dacă $k$ $f_{o}<f_{e}.$

Conform definiției (6), coeficientul de cuplare inductivă a circuitelor oscilatoare este încă exprimat prin formula (4). Are o valoare pozitivă pentru și o valoare negativă pentru $k_{L}$ $L_{m}>0$ $L_{m}<0.$

Coeficientul de cuplare capacitivă a circuitelor oscilatorii este întotdeauna negativ. Conform (6), formula (5) pentru coeficientul de cuplare capacitiv al circuitelor oscilatorii ia o formă diferită $k_{C)$

$k_{C}=-C_{m}/{\sqrt {(C_{1}+C_{m})(C_{2}+C_{m}))).$ (7)

Comunicarea între rezonatoarele electromagnetice poate fi realizată atât prin câmp magnetic , cât și prin câmp electric . Cuplarea într-un câmp magnetic este caracterizată printr-un coeficient de cuplare inductivă, iar cuplarea într-un câmp electric este caracterizată printr-un coeficient de cuplare capacitiv. Valorile absolute \ u200b \u200și scad de obicei monoton odată cu creșterea distanței dintre rezonatoare. Rata de scădere a unuia dintre ele poate diferi de rata de scădere a celeilalte. Cu toate acestea, valoarea absolută a sumei coeficienților și poate nu numai să scadă, ci și să crească într-o anumită zonă cu creșterea distanței [5]. $k_{L},$ $k_{C}.$ $k_{L}$ $k_{C)$ $k_{L}$ $k_{C)$

Adunarea coeficienților de cuplare inductivă și capacitivă a rezonatoarelor se realizează după formula [3]

$k=(k_{L}+k_{C})/(1+k_{L}k_{C}).$ (opt)

Această formulă se obține din definiția (6) luând în considerare formulele (4) și (7).

Trebuie remarcat faptul că semnul coeficientului de cuplare în sine nu contează. Proprietățile filtrului rezonator nu se vor schimba dacă semnele tuturor coeficienților de cuplare din acesta sunt inversate simultan. Cu toate acestea, este important când se compară doi coeficienți de cuplare și, în special, când se adună coeficienții de cuplare inductivă și capacitivă. $k$

Coeficientul de cuplare, considerat în funcție de frecvența oscilațiilor forțate

Două rezonatoare cuplate pot interacționa nu numai la frecvențe de rezonanță. Acest lucru este confirmat de posibilitatea de a transfera energia oscilațiilor forțate de la un rezonator la altul. Prin urmare, este mai corect să se caracterizeze interacțiunea rezonatoarelor nu printr-un set de constante corespunzătoare unui spectru discret de frecvențe de rezonanță, ci printr-o funcție continuă a frecvenței oscilațiilor forțate. $k_{i},$ $f_{i},$ $k(f).$

Evident, această funcție trebuie să îndeplinească condiția

$k(f)|_{f=f_{i}}=k_{i}.$ (9)

În plus, funcția trebuie să dispară la acele frecvențe la care nu există transfer de putere de înaltă frecvență de la un rezonator la altul, adică trebuie să îndeplinească și a doua condiție $k(f)$ $f_{z},$

$k(f)|_{f=f_{z}}=0.$ (zece)

Transferul de putere zero are loc în special în circuitele oscilatoare cu cuplare combinată inductiv-capacitiv, când inductanța reciprocă Frecvența sa este exprimată prin formula [6] $L_{m}>0.$ $f_{z)$

$f_{z}={\sqrt {L_{m}/[(L_{1}L_{2}-L_{m}^{2})C_{m}]}}/(2\pi ) .$ (unsprezece)

Pe baza abordării energetice, în [6] a fost formulată definiția unei funcții care generalizează formula (6) și satisface condițiile (9) și (10). Această funcție conform formulei (8) este exprimată prin coeficienții dependenți de frecvență de cuplare inductivă și capacitivă și determinată de formulele $k(f),$ $k_{L}(f)$ $k_{C}(f),$

$k_{L}(f)={\frac {{\dot {W}}_{12L}(f)}{\sqrt {[{\bar {W}}_{11L}(f)+ {\bar {W}}_{11C}(f)][{\bar {W}}_{22L}(f)+{\bar {W}}_{22C}(f)]}}},$ (12)

$k_{C}(f)={\frac {{\dot {W}}_{12C}(f)}{\sqrt {[{\bar {W}}_{11L}(f)+ {\bar {W}}_{11C}(f)][{\bar {W}}_{22L}(f)+{\bar {W}}_{22C}(f)]}}}.$ (13)

Aici se desemnează energia câmpului electromagnetic de înaltă frecvență stocată de ambele rezonatoare. Linia de mai sus indică componenta constantă a energiei, iar punctul indică amplitudinea componentei oscilante a energiei. Indicele indică partea magnetică a energiei, iar indicele denotă partea electrică a energiei. Indicii 11, 12 și 22 indică părțile energiei stocate proporționale cu și, respectiv , unde este amplitudinea tensiunii complexe la portul primului rezonator și este amplitudinea tensiunii complexe la portul celui de-al doilea rezonator. $W$ $W$ $L$ $C$ $|U_{1}|^{2},$ $|U_{1}||U_{2}|$ $|U_{2}|^{2},$ $U_{1}$ $U_{2}$

Din definițiile (12) și (13), în special, se obțin formule pentru dependența de frecvență a coeficienților de cuplare inductivă și capacitivă a circuitelor oscilatorii arbitrare [6]

$k_{L}(f)={\frac {L_{m}}{\sqrt {L_{1}L_{2}}}}{\frac {2}{\sqrt {(1+f_{ 1}^{-2}f^{2})(1+f_{2}^{-2}f^{2})}}},$ (paisprezece)

$k_{C}(f)={\frac {-C_{m)}{\sqrt {(C_{1}+C_{m})(C_{2}+C_{m))))) {\frac {2}{\sqrt {(1+f_{1}^{2}f^{-2})(1+f_{2}^{2}f^{-2})))}.$ (cincisprezece)

unde sunt frecvențele de rezonanță ale primului și celui de-al doilea circuit, perturbate de legături. Se poate observa că valorile funcțiilor și pentru coincid cu constantele și definite prin formulele (4) și (5). În plus, funcția calculată prin formulele (8), (14) și (15) dispare la frecvența exprimată prin formula (11). $f_{1},f_{2}$ $k_{L}(f)$ $k_{C}(f)$ $f=f_{1}=f_{2)$ $k_{L}$ $k_{C},$ $k(f),$ $f_{z},$

Coeficienți de cuplare în teoria filtrelor

Filtre trece-bandă cu topologie de cuplare liniară

Teoria filtrelor trece de bandă în bandă îngustă cu microunde cu răspuns în frecvență Chebyshev este descrisă în monografie [2]. În astfel de filtre, frecvențele de rezonanță ale tuturor rezonatoarelor sunt reglate la frecvența centrală a unei lățimi de bandă date.Fiecare dintre rezonatoare este conectat la cel mult două rezonatoare adiacente. Fiecare dintre cele două rezonatoare exterioare este conectată la un rezonator adiacent și la unul dintre cele două porturi de filtru. O astfel de topologie a conexiunilor rezonatoarelor se numește liniară. Cu o topologie de legătură liniară, există un singur canal pentru trecerea puterii cu microunde de la portul de intrare la portul de ieșire. $f_{0}.$

Pentru filtrele cu o topologie liniară a conexiunilor, monografia [2] oferă o derivare a formulelor aproximative pentru valorile coeficienților de cuplare ai rezonatoarelor învecinate corespunzător unei caracteristici date de amplitudine-frecvență a filtrului, unde și sunt numerele ordinale. a rezonatoarelor cuplate. La derivarea formulelor, s-au folosit filtre prototip low-pass, precum și formulele (2) și (3). Caracteristicile amplitudine-frecvență ale filtrelor prototip sunt descrise de polinoamele Chebyshev . Aceste formule au fost publicate pentru prima dată în [7]. Arata ca $k_{i,i+1},$ $i$ $i+1$

$k_{i,i+1}={\frac {f_{2}-f_{1}}{\sqrt {f_{2}f_{1}g_{i}g_{i+1}}} },$ (16)

unde sunt parametrii normalizați ai prototipului de filtru trece-jos, este ordinul polinomului Chebyshev, egal cu numărul de rezonatoare din filtru, sunt frecvențele de tăiere ale benzii de trecere. $g_i$ $(i=0,1,2...n+1)$ $n$ $f_{1},f_{2}$

Valorile parametrilor normalizați pentru o anumită lățime de bandă a filtrului sunt calculate prin formule $g_i$

$g_{0}=1,$ $g_{1}=2a_{1}/\gamma ,$

$g_{k}={\frac {4a_{k-1}a_{k}}{b_{k-1}g_{k-1}}},$ $k=2,3\dots n,$ (17)

$g_{n+1}=1,$ chiar daca , $n$

$g_{n+1}=\mathrm {cth} \,^{2}(\beta /4),$ dacă ciudat. $n$

Aici folosim notația

$\beta =2\mathrm {arth} \,{\sqrt {10^{-\Delta L/10}}},$ $\gamma =\mathrm {sh} \,({\frac {\beta} {2n))}$ (optsprezece)

$a_{k}=\mathrm {sin} \,{\frac {2(k-1)\pi {2n)),$ $b_{k}=\gamma ^{2}+\mathrm {sin} \,^{2}(k\pi /n),$ $(k=1,2...n),$

unde este ondulația necesară de atenuare a benzii de trecere, exprimată în decibeli. $\Delta L$

Formulele (16) sunt aproximative nu numai pentru că au fost utilizate definiții aproximative ale coeficienților (2) și (3) în derivarea lor. Expresiile exacte pentru coeficienții de cuplare din filtrul prototip au fost obținute în [8]. Cu toate acestea, chiar și după rafinare, aceste formule rămân aproximative atunci când se proiectează filtre reale. Precizia lor depinde de proiectarea filtrului și de proiectarea rezonatoarelor acestuia. Acesta crește pe măsură ce lățimea de bandă relativă scade.

Sa arătat în [9] că motivul erorii formulelor (16) și versiunea lor rafinată este legat de dispersia de frecvență a coeficienților de cuplare, care poate varia foarte mult pentru rezonatoare și filtre de diferite modele. Cu alte cuvinte, valorile optime ale coeficienților de cuplare la frecvență depind nu numai de parametrii lățimii de bandă necesare a filtrului, ci și de valorile derivatelor, ceea ce înseamnă că valorile exacte ale coeficienților cu condiția ca lățimea de bandă a filtrului necesară nu poate fi cunoscută în avans. Ele pot fi setate numai după optimizarea filtrului. Prin urmare, formulele (16) pot fi folosite doar ca valori inițiale pentru parametrii de filtru generalizat înainte de optimizarea lor. $k_{i,i+1}$ $f_0$ $dk_{i,i+1}(f)/df|_{f=f_{0)).$ $k_{i,i+1},$

Formulele aproximative (16) fac de asemenea posibilă stabilirea unui număr de modele generale inerente oricăror filtre cu o topologie liniară a conexiunilor. De exemplu, creșterea lățimii de bandă curentă a unui filtru necesită o creștere aproximativ proporțională a tuturor coeficienților de cuplare.Coeficienții sunt simetrici față de rezonatorul central sau perechea centrală de rezonatoare, chiar și în filtrele cu impedanțe inegale ale liniei de transmisie la porturile de intrare și ieșire. Valoarea coeficienților scade monoton la trecerea de la perechile exterioare de rezonatoare la perechea centrală. $k_{i,i+1}.$ $k_{i,i+1}$ $k_{i,i+1}$

Proiectele de filtre reale cu o topologie de cuplare liniară, spre deosebire de filtrele lor prototip, pot avea zerouri de transmisie în benzile de oprire [10]. Zerourile de transmisie îmbunătățesc semnificativ proprietățile selective ale filtrelor. Unul dintre motivele apariției zerourilor este dispersia de frecvență a coeficienților de cuplare pentru una sau mai multe perechi de rezonatoare cu filtru, care se exprimă prin dispariția lor la frecvența zero de putere [11]. $k_{i,i+1}$

Filtre trece-bandă cuplate încrucișate

Pentru a forma nule de transmisie în benzile de oprire ale filtrelor pentru a le crește proprietățile selective, pe lângă cele mai apropiate legături, în filtre sunt adesea create legături suplimentare între rezonatoare, care sunt numite legături încrucișate. Astfel de conexiuni duc la formarea mai multor canale pentru trecerea unei unde electromagnetice de la portul de intrare al filtrului la portul de ieșire. Amplitudinile undelor care au trecut prin diferite canale ale filtrului, atunci când sunt însumate la ieșire, pot fi complet anulate la frecvențe individuale, ducând la formarea de nule de transmisie.

Pentru a descrie conexiunile rezonatoarelor în astfel de filtre, se utilizează o matrice de dimensiuni [12, 4]. Ea este simetrică. Fiecare element în afara diagonalei sale este coeficientul de cuplare al rezonatoarelor i -lea și j - lea . Fiecare element diagonal este reactanța ( imitanța ) rezonatorului i -lea la frecvența centrală . Într-un filtru reglat, toate elementele sunt egale cu zero, astfel încât reactanțele la frecvențele de rezonanță dispar. $\mathbf {M}$ $n\ ori n$ $M_{ij)$ $k_{ij}.$ $M_{ii)$ $f_0$ $M_{ii)$

Avantajul matricelor este că vă permit să calculați direct răspunsul în frecvență pentru un circuit de filtru echivalent care conține circuite oscilatoare cuplate inductiv [12, 4]. Prin urmare, ele sunt convenabile de utilizat la proiectarea filtrelor cuplate încrucișate. În special, matricele sunt adesea folosite în optimizarea filtrelor ca model brut. Utilizarea unui model brut face posibilă accelerarea optimizării filtrului de mai multe ori datorită faptului că calculul răspunsului în frecvență al unui model brut practic nu necesită timp de calculator în comparație cu calcularea răspunsului unui filtru real. $\mathbf {M}$ $\mathbf {M}$

Note

Literatură

Dishal. M. Proiectarea filtrelor disipative trece-bandă care produc caracteristicile exacte de amplitudine-frecvență dorite // Proc. I.R.E. — Sept. 1949. - Vol. 37. - Nr. 9. - P. 1050-1069.
Mattei G. L., Young L., Jones E. M. T. Filtre cu microunde, circuite de potrivire și circuite de comunicare. T. 1. - M .: Comunicare, 1971. - 439 p.
Tyurnev VV, Belyaev BA Interacțiunea rezonatoarelor microbande paralele // Elektronnaya Tekhnika. Ser. Electronice pentru cuptorul cu microunde. - 1990. Problemă. 4(428). - S. 25-30.
hong js. Filtre microbande pentru aplicații RF/micunde. - Hoboken: John Wiley & Sons, Inc., 2011. - 635 p.
Belyaev B. A., Titov M. M., Tyurnev V. V. Coeficientul de cuplare al rezonatoarelor microstrip neregulate Izvestiya vuzov. Radiofizica. - 2000. - T. 43. - Nr. 8. - S. 722-727.
Tyurnev VV Coeficientul de cuplare al unei perechi asimetrice de rezonatoare cu microunde // Inginerie radio și electronică. - 2002. - T. 47. - Nr. 1. - S. 5-13.
Cohn SB Filtru cu rezonator cu cuplare directă // Proc. I.R.E. - 1957. - V. 45. - Nr. 2. - P. 187-196.
Tyurnev VV Derivarea directă și rafinarea formulelor Kohn-Mattei generalizate pentru coeficienții de cuplare ai rezonatoarelor într-un filtru cu microunde. - 2008. - T. 53. - Nr. 5. - S. 584-587.
Tyurnev VV Influența dispersiei de frecvență a coeficienților de cuplare ai rezonatoarelor asupra erorii formulelor pentru sinteza directă a filtrelor cu microunde Radiotekhnika i elektronika. - 2009. - T. 54. - Nr. 3. - S. 314-317.
Belyaev B. A., Leksikov A. A., Tyurnev V. V. Proprietăți selective de frecvență ale filtrelor cu mai multe legături bazate pe rezonatoare microbande obișnuite // Inginerie radio și electronică. - 2004. - T. 49. - Nr. 11. - S. 1315-1324.
Belyaev B. A., Tyurnev V. V. Coeficienții de cuplare dependenți de frecvență ai rezonatoarelor microstrip // Elektronnaya Tekhnika. Ser. tehnologie cu microunde. - 1992. - Emisiune. 4(448). - S. 23-27.
Cameron RJ, Kudsia CM, Mansour RR Filtre cu microunde pentru sisteme de comunicații: elemente fundamentale, design și aplicații. - Hoboken: John Wiley & Sons, Inc., 2007. - 771 p.

Link -uri

VV Tyurnev. Coeficienții de cuplare ai rezonatoarelor în teoria filtrului cu microunde // Progress In Electromagnetics Research B, V. 21, P. 47-67, 2010.