Multiplicitatea punctelor critice

Multiplicitatea punctului critic al unei funcții -smooth este dimensiunea așa-numitei algebre locale a mapării gradientului acestei funcții în punctul luat în considerare. ${\displaystyle C^{\infty ))$ $f:\mathbb{R} ^{n}\la \mathbb{R}$

Definiție

Fie o funcție -line a variabilelor , care are punctul său critic. Maparea gradientului corespunzătoare este dată de formula Să introducem următoarea notație: $f:\mathbb{R} ^{n}\la \mathbb{R}$ ${\displaystyle C^{\infty ))$ $n$ $x_{1},\ldots ,x_{n}$ $O\in \mathbb {R} ^{n}$ $\nabla f:\mathbb {R} ^{n}\la \mathbb {R} ^{n)$ $(x_{1},\ldots,x_{n})\mapsto (\partial f/\partial x_{1},\ldots,\partial f/\partial x_{n}).$

$\mathbb {R} [[x_{1},\ldots ,x_{n}]]$ este algebra seriei de puteri formale în variabile centrate pe $x_{1},\ldots ,x_{n}$ $O.$
$I_{\nabla f}=(\partial f/\partial x_{1},\ldots,\partial f/\partial x_{n})$ este un ideal în algebra funcțiilor netede generate de generatoare $\partial f/\partial x_{1},\ldots,\partial f/\partial x_{n}.$

Asociând fiecare funcție netedă cu seria sa Taylor formală, obținem o încorporare în algebră . Algebra locală a mapării gradientului într-un punct se numește algebra coeficientului , iar dimensiunea ei se numește multiplicitatea funcției în punct $I_{\nabla f)$ $\mathbb {R} [[x_{1},\ldots ,x_{n}]]$ $O$ $\mathbb {R} [[x_{1},\ldots ,x_{n}]]/I_{\nabla f},$ ${\displaystyle \mu =\dim \,\mathbb {R} [[x_{1},\ldots,x_{n}]]/I_{\nabla f))$ $f$ $O.$

În cazul în care funcțiile au gradienți liniar independenți în punct (această condiție este echivalentă cu faptul că Hessianul funcției este diferit de zero), multiplicitatea și punctul critic sunt numite nedegenerate . De asemenea, este convenabil să se pună în cazul unui punct non-critic. $\partial f/\partial x_{1},\ldots,\partial f/\partial x_{n)$ $O$ $f$ $\mu=1$ $O$ $\mu=0$

Funcții cu o singură variabilă

În acest caz , și multiplicitatea punctului critic poate fi determinată de condiția: $n=1$ $\mu$ $O$

{\frac {d^{i}f}{dx^{i}}}(O)=0\quad (\forall i=1,\ldots,\mu),\quad {\frac {d ^{\mu +1}f}{dx^{\mu +1}}}(O)\neq 0,

valoarea corespunde unui punct necritic. Într-adevăr, deoarece în acest caz seria de puteri a funcției începe cu un termen, atunci orice element poate fi reprezentat ca , unde și este un polinom de grad dat de coeficienți, i.e. $\mu=0$ $\nabla f={\partial f}/{\partial x)$ $x^{\mu},$ $g\in \mathbb {R} [[x]]$ $g=p_{\mu -1}+\alpha \cdot \nabla f$ $\alpha \in \mathbb {R} [[x]]$ $p_{\mu -1}$ $\mu-1,$ $\mu$ $\dim \,\mathbb {R} [[x]]/I_{\nabla f}=\mu .$

Teorema lui Toujron în acest caz ia o formă trivială: într-o vecinătate a unui punct critic de multiplicitate finită , există coordonate în care funcția are forma $\mu$

f(x)=x^{\mu +1}.

Funcțiile mai multor variabile

În acest caz, o caracteristică importantă a punctului critic este rangul matricei Hessian în punctul . $O$ $r$ $H(f)$ $O$

Dacă , atunci (conform lemei Morse ) într-o vecinătate a punctului , funcția , prin alegerea coordonatelor locale netede, se reduce la forma $r=n$ $O$ $f(x)$

\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}x_{i}^{2},\quad \alpha _{i}=\pm 1.

Dacă , atunci într-o vecinătate a punctului funcția este redusă la forma prin alegerea coordonatelor locale netede $r=n-1$ $O$ $f(x)$

\sum _{i=1}^{n-1}\alpha _{i}x_{i}^{2}+g(x_{n}),\quad \alpha _{i}=\ pm1,

și, dacă multiplicitatea funcției este , atunci se reduce la forma

g(x_{n})

\mu </infty

\sum _{i=1}^{n-1}\alpha _{i}x_{i}^{2}+x_{n}^{\mu +1},\quad \alpha _{ i}=\pm 1,\quad 2\leq \mu <\infty .

Dacă , atunci într-o vecinătate a punctului funcția este redusă la forma prin alegerea coordonatelor locale netede $r=n-2$ $O$ $f(x)$

\sum _{i=1}^{n-2}\alpha _{i}x_{i}^{2}+g(x_{n-1},x_{n}),\quad \ alfa _{i}=\pm 1,

unde seria Taylor a funcției începe cu monomii de grad

g(x_{n-1},x_{n})

\geq 3.

Dacă partea cubică a unei funcții are trei rădăcini diferite (reale sau complexe), atunci se reduce la forma $g(x_{n-1},x_{n})$ $f(x)$

\sum _{i=1}^{n-2}\alpha _{i}x_{i}^{2}+x_{n-1}x_{n}^{2}\pm x_{ n}^{3},\quad \alpha _{i}=\pm 1.

Dacă partea cubică a unei funcții are două rădăcini diferite (una dintre ele este multiplu), atunci, în condiția suplimentară a poziției generale, funcția este redusă la forma $g(x_{n-1},x_{n})$ $f(x)$

\sum _{i=1}^{n-2}\alpha _{i}x_{i}^{2}+x_{n-1}x_{n}^{2}\pm x_{ n}^{\mu +1},\quad \alpha _{i}=\pm 1,\quad 3\leq \mu <\infty .

Teorema diviziunii

Fie o funcție netedă a variabilei , care are un punct ca punct critic de multiplicitate finită în variabilă , i.e. $f:\mathbb {R} ^{n+1}\la \mathbb {R}$ $n+1$ $x,y_{1},\ldots,y_{n)$ $0\in \mathbb {R} ^{n+1}$ $\mu \geq 0$ $X$

${\frac {\partial ^{i}f}{\partial x^{i)}}(0)=0\quad (\forall i=1,\ldots,\mu),\quad {\ frac {\partial ^{\mu +1}f}{\partial x^{\mu +1))}(0)\neq 0.\quad \ (*)$

Apoi, într-o vecinătate a punctului , funcția poate fi reprezentată sub forma $0$ $f$

$f(x,y_{1},\ldots,y_{n})=\varphi (x,y_{1},\ldots,y_{n})\cdot {\Bigl (}x^{\ mu +1}+\sum _{i=0}^{\mu }a_{i}(y_{1},\ldots ,y_{n})x^{\mu -i}{\Bigr )}, \quad\(**)$

unde și sunt funcții bune ale argumentelor lor, nu dispare pentru toate . $\varphi$ $a_{{i}}$ $\varphi (x,y_{1},\ldots,y_{n})$ $a_{i}(0,\ldots ,0)=0$ $i<\mu$

Această teoremă a fost demonstrată pentru prima dată de Weierstrass pentru funcțiile holomorfe ale variabilelor complexe [1] (teorema diviziunii Weierstrass ). Analogul real dat mai sus este adesea numit teorema diviziunii Malgrange sau Mather .

Puncte critice ale cartografiilor

Multiplicitatea punctului critic al unei mapări -line este dimensiunea algebrei locale a mapării date. ${\displaystyle C^{\infty ))$ $f:\mathbb {R} ^{n}\la \mathbb {R} ^{n},$ $n>1,$

Să fie o mapare netedă având punctul său critic. Maparea este dată de un set de funcții pe variabile . $f:\mathbb {R} ^{n}\la \mathbb {R} ^{n)$ ${\displaystyle C^{\infty ))$ $O\in \mathbb {R} ^{n}$ $f$ $n$ $f_{1},\ldots,f_{n)$ $n$ $x_{1},\ldots ,x_{n}$

Să introducem următoarea notație:

$\mathbb {R} [[x_{1},\ldots ,x_{n}]]$ este algebra seriei de puteri formale în variabile centrate pe $x_{1},\ldots ,x_{n}$ $O.$
$I_{f}=(f_{1},\ldots,f_{n})$ este un ideal în algebra funcțiilor netede generate de generatoare $f_{1},\ldots ,f_{n}.$

Asociând fiecare funcție netedă cu seria sa Taylor formală, obținem o încorporare în algebră . Algebra locală a unei mapări într-un punct se numește algebra coeficientului , iar dimensiunea ei se numește multiplicitatea mapării într-un punct $I_{f)$ $\mathbb {R} [[x_{1},\ldots ,x_{n}]]$ $O$ $\mathbb {R} [[x_{1},\ldots ,x_{n}]]/I_{f},$ ${\displaystyle \mu =\dim \,\mathbb {R} [[x_{1},\ldots,x_{n}]]/I_{f))$ $f$ $O.$

Vezi și

Lema din Morse. teorema lui Toujron

Literatură

Arnold V. I., Varchenko A. N., Gusein-Zade S. M. Singularități ale cartografiilor diferențiabile, — Orice ediție.
Brecker T., Lander L. Germeni și catastrofe diferențiabile, - Orice ediție.
Golubitsky M., Guillemin V. Stable mappings and their singularities, - M.: Mir, 1977.
Hormander L. Introducere în teoria funcțiilor mai multor variabile complexe, - M .: Mir, 1968.
Culegere de articole: Caracteristici ale cartografiilor diferentiabile, - M.: Mir, 1968.
Palamodov V.P. Despre multiplicitatea unei mapări holomorfe, Funkts. analiză și aplicațiile sale, 1:3 (1967), pp. 54–65.
Arnold, V.I., O notă despre teorema pregătitoare Weierstrass, Funktsional. analiză și aplicațiile sale, 1:3 (1967), pp. 1–8.
Pavlova N.G., Remizov A.O. O introducere în teoria singularității . - M. : MIPT, 2022. - 181 p. - ISBN 978-5-7417-0794-4 .

Note

↑ Weierstrass K. Einige auf die Theorie der analytischen Functionen mehrerer Veränderlichen sich beziehende Sätze. — Mathematische Werke, V. II, Mayer und Müller, Berlin, 1895, 135–188.