Lema lui Singa

Lema lui Sing este o afirmație cheie despre stabilitatea geodezicilor închise în varietățile Riemanniene cu curbură secțională pozitivă.

Lema este o consecință directă a formulei pentru a doua variație a lungimii unei familii de curbe cu un parametru. A fost folosită de John Sing . [unu]

Formulare

Fie o geodezică într-o varietate Riemanniană cu curbură secțiune pozitivă și un câmp paralel de vectori tangenți pe . Apoi, o variație de direcție îi scurtează lungimea. $\gamma \colon [0;1]\la M$ $M$ $V$ $\gamma$ $\gamma$ $V$

Mai precis, dacă

\gamma _{\tau }(t)=\exp _{{\gamma (t)))(\tau \cdot V(t))

și denotă lungimea curbei apoi și . $L(\tau )$ $\gamma _{\tau }$ $L'(0)=0$ $L''(0)<0$

Consecințele

Dacă o geodezică închisă care admite un câmp vectorial paralel nu este stabilă, adică lungimea sa poate fi redusă printr-o deformare arbitrar mică. În special,
- Varietățile Riemanniene orientate uniform și cu curbură secțională pozitivă sunt pur și simplu conectate .
- Varietățile Riemanniene de dimensiuni impare cu curbură secțională pozitivă sunt orientate .
Lema lui Sing a fost folosită și de Theodor Frankel [2] pentru a demonstra că dacă și sunt subvariete geodezice închise într-o varietate Riemanniană cu curbură secțională pozitivă și apoi și se intersectează. $V$ $W$ $M$ $\dim V+\dim W\geq \dim M$ $V$ $W$

Note

^ Synge, John Lighton (1936), Despre conectivitatea spațiilor de curbură pozitivă , Quarterly Journal of Mathematics (Seria Oxford) vol. 7: 316–320 , DOI 10.1093/qmath/os-7.1.316
↑ Frankel, Theodore. Variete cu curbură pozitivă (engleză) // Pacific J. Math .. - 1961. - Vol. 11 . — P. 165–174 .