Curbură secțională

Curbura secțională este o modalitate de a descrie curbura varietăților riemanniene .

Definiție

Curbura secțiunii este o funcție a lui , care depinde de direcția secțiunii într-un punct (adică un plan bidimensional în spațiul tangent la ). Este egală cu curbura gaussiană a suprafeței formate prin maparea exponențială, măsurată în punctul . $K(\sigma )$ $\sigma$ $p$ $p$ $p$

Proprietăți

Dacă sunt doi vectori liniar independenți în , atunci $v,\;u$ $\sigma$ $K(\sigma)=K(u,\;v)/|u\wedge v|^{2},$ Unde $K(u,\;v)=\langle R(u,\;v)v,\;u\rangle ,$

a denotă transformarea de curbură .

R(u,\;v)

- Această formulă poate fi rescrisă după cum urmează $K(\sigma)={\langle R(u,v)v,u\rangle \over \langle u,u\rangle \langle v,v\rangle -\langle u,v\rangle ^{2 }}.$

Următoarea formulă arată că curbura secțională descrie complet tensorul de curbură: $6\cdot \langle R(u,\;v)w,\;z\rangle =$ $[K(u+z,\;v+w)-K(u+z,\;v)-K(u+z,\;w)-K(u,\;v+w)- K(z,\;v+w)+K(u,\;w)+K(v,\;z)]\,-$ $[K(u+w,\;v+z)-K(u+w,\;v)-K(u+w,\;z)-K(u,\;v+z)- K(w,\;v+z)+K(v,\;w)+K(u,\;z)].$
- într-o formă mai simplă, folosind derivate parțiale : $\langle R(u,\;v)w,\;z\rangle ={\frac {1}{6}}\cdot \left.{\frac {\partial ^{2}}{\partial s\t parțial}}\left(K(u+sz,\;v+tw)-K(u+sw,\;v+tz)\right)\right|_{(s,\;t)= (0,\;0)}.$

Teorema de comparație a lui Toponogov oferă o condiție asupra unghiurilor unui triunghi dintr-o varietate riemanniană care este echivalentă cu mărginirea curburii sale secțiuni cu o constantă.