Lema Schwartz

Lema Schwartz este un rezultat clasic al analizei complexe asupra mapărilor armonice dintr-un cerc în sine.

Formulare

Fie cercul unitar pe planul complex . În plus, să fie funcția analitică și să îndeplinească două condiții: $\Delta =\{z:|z|<1\}$ $\mathbb {C}$ $f$ $\Delta$

$f(0)=0$ ;
$f(\Delta )\subset {\overline {\Delta ))$ , sau, în mod echivalent, . $|f(z)|\leqslant 1$

Apoi:

$|f(z)|\leqslant |z|$ în ; $\Delta$
$|f'(0)|\leqslant 1$ .

Mai mult, ambele aceste inegalități se transformă în egalități dacă și numai dacă funcția are forma , adică se reduce la o rotație. Ideea dovezii este că funcția va fi analitică și va aplica principiul maxim pentru funcțiile armonice. $f(z)=e^{{i\varphi }}z$ $f(z)/z$ $|z|<1$

Variații și generalizări

Lema Schwartz, aplicată la cercul original al unei mapări liniar-fracționale , conduce automat la o afirmație mai generală - teorema Schwartz-Peak .

Literatură

Shabat BV Introducere în analiza complexă. — M .: Nauka , 1969 . - S. 192. - 577 p.
Titchmarsh E. Teoria funcţiilor: Per. din engleza. - Ed. a II-a, revizuită. — M .: Nauka , 1980 . — 464 p.
Privalov II Introducere în teoria funcțiilor unei variabile complexe: Un manual pentru învățământul superior. - M. - L .: Editura de Stat, 1927 . — 316 p.
Evgrafov M. A. Funcții analitice. - Ed. a II-a, revizuită. si suplimentare — M .: Nauka , 1968 . — 472 p.