Linearizarea feedback-ului

Linearizarea feedback -ului este o modalitate de a aduce un sistem, descris abstract în formular în forma în care este o acțiune de control extern. În acest caz, sistemul neliniar devine liniar, iar controlul extern este asigurat pentru stabilizarea și controlul părții liniare rămase a sistemului. $\Delta x=F(x)+G(x)*u$ $\Delta x=v,$ $v$

Ca lege de control, această lege de control este de obicei aplicată și adesea duce la obiectivul de control dacă funcția este calculabilă. $u=G(x)^{-1}*(vF(x)),$ $G(x)^{{-1}}$

Linearizarea feedback-ului unui sistem scalar

Luați în considerare cazul liniarizării cu feedback a unui sistem cu o intrare și o ieșire. Rezultate similare pot fi obținute pentru sistemele cu intrări și ieșiri multiple. Fie ca sistemul original să fie reprezentat ca:

{\begin{aliniat}{\dot {x}}&=f(x)+g(x)u\qquad &(1)\\y&=h(x)\qquad \qquad \qquad &(2)\ sfârşit{aliniat}}

unde este vectorul de stare a sistemului,

x \in \mathbb{R}^n

u\in \mathbb {R}

intrare,

y\în {\mathbb {R}}

Ieșire.

Găsiți o transformare care transformă sistemul în formă normală: $z=T(x)$

u=a(x)+b(x)v,

acum sistemul este prezentat sub formă de input-output în raport cu noul input și output . Pentru ca sistemul transformat să fie echivalent cu cel inițial, transformarea trebuie să fie un difeomorfism , adică să fie nu numai cu o singură valoare, ci și netedă. În practică, transformarea poate fi un difeomorfism local, dar atunci rezultatele liniarizării se păstrează doar în această zonă locală. $v\in {\mathbb {R}}$ $y$

Lie derivat

Problema liniarizării feedback este de a construi un sistem transformat ale cărui stări sunt ieșirea și primele sale derivate. Pentru a atinge acest obiectiv, folosim derivatul Lie . Luați în considerare derivata în timp a lui (2), care poate fi calculată folosind regula de diferențiere a funcției compuse : $y$ $(n-1)$

{\begin{aligned}{\dot {y}}={\frac {\operatorname {d} h(x)}{\operatorname {d} t}}&={\frac {\operatorname {d } h(x)}{\operatorname {d} x}}{\dot {x}}\\&={\frac {\operatorname {d} h(x)}{\operatorname {d} x}}f (x)+{\frac {\operatorname {d} h(x)}{\operatorname {d} x}}g(x)u\end{aliniat}}.

Acum putem defini derivata Lie a prin : $h(x)$ $f(x)$

L_{{f}}h(x)={\frac {\operatorname {d}h(x)}{\operatorname {d}x}}f(x),

și, în mod similar, derivatul Lie al prin ca: $h(x)$ $g(x)$

L_{{g}}h(x)={\frac {\operatorname {d}h(x)}{\operatorname {d}x}}g(x).

Prin introducerea acestor notații, definim ca: ${\punct {y}}$

{\dot {y}}=L_{f}h(x)+L_{g}h(x)u.

Trebuie remarcat faptul că utilizarea derivatelor Lie este convenabilă atunci când luăm mai multe derivate fie în raport cu același domeniu vectorial, fie în raport cu unul diferit. De exemplu:

L_{f}^{2}h(x)=L_{f}L_{f}h(x)={\frac {\operatorname {d} (L_{f}h(x))}{ \operatorname {d} x}}f(x)

și

L_{{g}}L_{{f}}h(x)={\frac {\operatorname {d}(L_{{f}}h(x))}{\operatorname {d}x}}g( X).

grad relativ

Într-un sistem liniizabil, vectorul de stare constă din variabila de ieșire și derivatele sale primare . Este necesar să înțelegeți cum este introdusă intrarea în sistem. Pentru a face acest lucru, introducem conceptul de grad relativ. Sistemul (1), (2) are un grad relativ într-un punct dacă: $y$ $(n-1)$ $u$ $r\in {\mathbb {W}}$ $x_{0}$

L_{{g}}L_{{f}}^{{k}}h(x)=0\qquad \forall x

in cartier pentru toata lumea :

x_{0}

k\leq r-2

L_{{g}}L_{{f}}^{{r-1}}h(x_{0})\neq 0

Astfel, conform concluziei [1] , gradul relativ al sistemului poate fi considerat de câte ori ieșirea trebuie diferențiată în timp până în momentul în care controlul apare explicit în semnalul de ieșire . $y$ $y$ $u$ $y$

În același timp, în teoria sistemelor liniare staționare, gradul relativ este diferența dintre gradele polinoamelor numărătorului și numitorului funcției de transfer.

Linearizarea feedback -ului

În plus, vom presupune că gradul relativ al sistemului este egal cu . În acest caz, diferențiind timpii de ieșire, avem: $n$ $n$

{\begin{aligned}y&=h(x)\\{\dot {y}}&=L_{f}h(x)\\{\ddot {y}}&=L_{f}^ {2}h(x)\\&\vdots \\y^{(n-1)}&=L_{f}^{n-1}h(x)\\y^{(n)}&= L_{f}^{n}h(x)+L_{g}L_{f}^{n-1}h(x)u\end{aliniat}},

unde înseamnă derivata-a a lui . $y^{{(n)}}$ $n$ $y$

Având în vedere că gradul relativ al sistemului este , derivatele Lie de forma for sunt toate egale cu zero. Aceasta înseamnă că intrarea nu contribuie direct la niciuna dintre primele derivate. $n$ $L_{{g}}L_{{f}}^{{i}}h(x)$ $i=1,\dots ,n-2$ $u$ $(n-1)$

Transformarea care aduce sistemul la forma normală poate fi definită folosind derivatele prime. În special: $T(x)$ $(n-1)$

z=T(x)={\begin{bmatrix}z_{1}(x)\\z_{2}(x)\\\vdots \\z_{n}(x)\end{bmatrix}}={ \begin{bmatrix}y\\{\dot {y}}\\\vdots \\y^{{(n-1)}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}h(x)\ \L_{{f}}h(x)\\\vdots \\L_{{f}}^{{n-1}}h(x)\end{bmatrix}}

transformă traiectoriile de fază din sistemul de coordonate inițial în cel nou . Deoarece transformarea dată este un difeomorfism , o traiectorie netedă în spațiul original va avea un echivalent unic în spațiu , care va fi de asemenea neted. Aceste traiectorii în spațiu descriu un nou sistem: $X$ $z$ $z$ $z$

{\begin{cases}{\dot {z}}_{1}&=L_{{f}}h(x)=z_{2}(x)\\{\dot {z}}_{2} &=L_{{f}}^{{2}}h(x)=z_{3}(x)\\&\vdots \\{\dot {z}}_{n}&=L_{{f }}^{{n}}h(x)+L_{{g}}L_{{f}}^{{n-1}}h(x)u\end{cases}}.

Astfel, legea de control al feedback-ului este o funcție de transfer liniară de la la . $u={\frac {1}{L_{{g}}L_{{f}}^{{n-1}}h(x)))(-L_{{f}}^{{n}}h (x)+v)$ $v$ $z_{1}=y$

Sistemul liniarizat rezultat este:

{\begin{cases}{\dot {z}}_{1}&=z_{2}\\{\dot {z}}_{2}&=z_{3}\\&\vdots \\{ \dot {z}}_{n}&=v\end{cases}}

este o cascadă de integratori, iar controlul poate fi obținut prin metode standard utilizate în teoria controlului pentru sisteme liniare. În special, legea de control în care vectorul de stare include ieșirea și primele sale derivate, care are ca rezultat un sistem liniar $n$ $v$ $v=-Kz\qquad ,$ $z$ $y$ $(n-1)$

{\dot {z}}=Az,

Unde

A={\begin{bmatrix}0&1&0&\ldots &0\\0&0&1&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\ldots &1\\-k_{1}&-k_ {2}&-k_{3}&\ldots &-k_{n}\end{bmatrix}}.

Astfel, alegându-le pe cele potrivite , se pot aranja în mod arbitrar polii unui sistem liniarizat închis. $k$

Literatură

Andreev Yu. I. Controlul obiectelor liniare cu dimensiuni finite. — M.: Nauka, 1976.
Voronov A. A. Stabilitate, controlabilitate, observabilitate. — M.: Nauka, 1979.
Ivanov V. A., Yushchenko A. S. Teoria sistemelor discrete de control automat. — M.: Nauka, 1983.
Leung L. Identificarea sistemelor. Teorie pentru utilizator. Pe. din engleza. / Ed. Tsypkina Ya. Z. - M.: Nauka, FIZMATLIT, 1991.
Roytenberg Ya. N. Control automat. — M.: Nauka, Fizmatlit, 1992.
Emelyanov S. V., Korovin S. K. Noi tipuri de feedback. Management în condiții de incertitudine. — M.: Nauka, 1997.
Isidori A. Nonlinear Control Systems, ediția a 3-a, Springer Verlag, Londra, 1995.
HK Khalil HK Nonlinear Systems, ediția a treia, Prentice Hall, Upper Saddle River, New Jersey, 2002.
Vidyasagar M. Analiza sistemelor neliniare, ediția a 2-a, Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1993.
Friedland B. Advanced Control System Design, ediție facsimil, Prentice Hall, Upper Saddle River, New Jersey, 1996.

Note

↑ Copie arhivată . Preluat la 24 iulie 2019. Arhivat din original la 24 iulie 2019. (nedefinit)

Vezi și

Control neliniar