Mica teoremă a lui Fubini

Mica teoremă a lui Fubini este o teoremă de diferențiere termen cu termen pentru o serie de funcții monotone care spune:

Pretutindeni serii convergente de funcții monotone (nedescrescătoare):

\sum _{{n=1}}^{\infty }F_{n}(x)=F(x)\qquad (1)

admite diferențierea termen cu termen aproape peste tot:

\sum _{{n=1}}^{\infty }F_{n}'(x)=F'(x).

Dovada

Fără pierderea generalității, putem presupune că toate funcțiile sunt nenegative și egale cu zero pentru ; în caz contrar, puteți înlocui cu . Suma unei serii de funcții nedescrescătoare este, desigur, o funcție nedescrescătoare. $F'(x)$ $x=a$ $F_{n}(x)$ $F_{n}(x)-F_{n}(a)$

Luați în considerare un set de măsură completă pe care toate și există . Pentru și orice avem: $E$ $F_{n}'(x)$ $F'(x)$ $x\subset E$ $\varepsilon$

{\frac {\sum \limits _{{n=1}}^{\infty }[F_{n}(\varepsilon )-F_{n}(x)]}{\varepsilon -x}}={\ frac {F(\varepsilon )-F(x)}{\varepsilon -x}}.

Deoarece termenii din stânga nu sunt negativi, pentru oricare $N$

{\frac {\sum \limits _{{n=1}}^{N}[F_{n}(\varepsilon )-F_{n}(x)]}{\varepsilon -x}}\leqslant {\ frac {F(\varepsilon )-F(x)}{\varepsilon -x}}.

Trecând la limita de la , obținem: $\varepsilon \to x$

\sum _{{n=1}}^{N}F_{n}'(x)\leqslant F'(x),

de unde, tinzând și ținând cont de faptul că toate sunt nenegative, găsim: $N$ $\infty$ $F_{n}'(x)$

\sum _{{n=1}}^{\infty }F_{n}'(x)\leqslant F'(x).\qquad (2)

Să arătăm că, de fapt, pentru aproape toți , semnul egalității se menține aici. Să găsim pentru o sumă parțială dată a seriei (1), pentru care: $X$ $k$ $S_{{nk}}(x)$

0\leqslant F(b)-S_{{nk}}(b)\prec {\frac {1}{2^{k}}}.\quad (k=1,\;2,\;\ldots )

Din moment ce diferența

F(x)-S_{{nk}}(x)=\sum _{{j\succ nk}}F_{j}(x)

este o funcție nedescrescătoare, atunci pentru toți

X

0\leqslant F(x)-S_{{nk}}(x)\prec {\frac {1}{2^{k}}}

şi, în consecinţă, o serie de funcţii nedescrescătoare

\sum _{{k=1}}^{\infty }[F(x)-S_{{nk}}(x)]

converge (chiar uniform) pe întregul segment . $a\leqslant x\leqslant b$

Dar apoi, prin ceea ce s-a dovedit, și seria derivatelor converge aproape peste tot. Termenul comun al acestei serii tinde spre zero aproape peste tot și, prin urmare, aproape peste tot . Dar dacă inegalitatea (2) ar avea semnul , atunci nicio succesiune de sume parțiale nu ar putea avea o limită . Prin urmare, în inegalitatea (2), aproape pentru fiecare , trebuie să aibă loc semnul egalității, ceea ce am afirmat. $F'(x)-S_{{nk}}'(x)$ $S_{{nk}}'(x)\la F'(x)$ $<$ $F'(x)$ $X$