Mica teoremă a lui Fubini

Mica teoremă a lui Fubini este o teoremă de diferențiere termen cu termen pentru o serie de funcții monotone care spune:

Pretutindeni serii convergente de funcții monotone (nedescrescătoare):

admite diferențierea termen cu termen aproape peste tot:

Dovada

Fără pierderea generalității, putem presupune că toate funcțiile sunt nenegative și egale cu zero pentru ; în caz contrar, puteți înlocui cu . Suma unei serii de funcții nedescrescătoare este, desigur, o funcție nedescrescătoare.

Luați în considerare un set de măsură completă pe care toate și există . Pentru și orice avem:

Deoarece termenii din stânga nu sunt negativi, pentru oricare

Trecând la limita de la , obținem:

de unde, tinzând și ținând cont de faptul că toate sunt nenegative, găsim:

Să arătăm că, de fapt, pentru aproape toți , semnul egalității se menține aici. Să găsim pentru o sumă parțială dată a seriei (1), pentru care:

Din moment ce diferența

 este o funcție nedescrescătoare, atunci pentru toți

şi, în consecinţă, o serie de funcţii nedescrescătoare

converge (chiar uniform) pe întregul segment .

Dar apoi, prin ceea ce s-a dovedit, și seria derivatelor converge aproape peste tot. Termenul comun al acestei serii tinde spre zero aproape peste tot și, prin urmare, aproape peste tot . Dar dacă inegalitatea (2) ar avea semnul , atunci nicio succesiune de sume parțiale nu ar putea avea o limită . Prin urmare, în inegalitatea (2), aproape pentru fiecare , trebuie să aibă loc semnul egalității, ceea ce am afirmat.