Masivul Costas

În matematică , matricea Costas (numită după John P. Costas) poate fi gândită geometric ca un set de n puncte situate pe pătratele unei table de șah n × n , astfel încât fiecare rând sau coloană să conțină doar un punct și toate n ( n − 1 )/2 vectori de deplasări între fiecare pereche de puncte au fost diferiți. Această matrice poate fi utilizată pentru a crea o funcție ideală a butonului de incertitudine (adică o funcție care este infinită la (0,0) și zero în alte puncte), făcând matricele Costas utile pentru aplicații precum hidro- și radar.

Matricea Costas poate fi reprezentată digital ca o matrice de n × n numere, unde fiecărui punct i se atribuie un 1, iar în absența unui punct, în matrice este scris un 0. Dacă sunt interpretate ca matrici binare, aceste matrice de numere au proprietatea: fiecare rând și o coloană are un singur punct pe el, deci sunt și matrici de permutare. Astfel, tablourile Costas pentru orice n sunt un subset de matrici de permutare de ordinul n .

Matricele Costas pot fi văzute ca analogi bidimensionali ai riglelor Golomb unidimensionale . Sunt de interes matematic, sunt utilizate în dezvoltarea tehnologiei radar pe rețele fază .

Toate tablourile Costas până la dimensiunea 27 × 27 sunt cunoscute [1] . Există două moduri de a obține matrice Costas, lucrând cu un număr de numere prime și puteri ale numerelor prime. Ele sunt cunoscute ca metodele Welch (Lloyd R. Welch) și Lempel-Golomb și își au originea în matematică din teoria câmpurilor finite .

Până acum, toate matricele Costas pentru toate dimensiunile sunt necunoscute. În prezent, cele mai mici dimensiuni pentru care matricele sunt necunoscute sunt 32×32 și 33×33.

Definirea matricelor

Matricele sunt de obicei descrise ca o serie de indici care indică coloanele pentru fiecare rând. Având în vedere că există un singur punct în orice coloană, matricea poate fi reprezentată ca unidimensional. De exemplu, o matrice Costas de ordinul N = 4:

0	unu	0	0
unu	0	0	0
0	0	unu	0
0	0	0	unu

Există puncte cu coordonate: (1,2), (2,1), (3,3), (4,4)

Coordonata x crește liniar, putem scrie acest lucru pe scurt ca o secvență de coordonate y . Atunci poziția în mulțime va fi coordonata x - . Matricea de mai sus poate fi codificată cu secvența {2,1,3,4}. Acest lucru facilitează manevrarea tablourilor de ordinul N.

Matrice cunoscute

N = 1
{1}

N =2
{1,2}{2,1}

N =3
{1,3,2}{2,1,3}{2,3,1}{3,1,2}

N = 4
{1,2,4,3}{1,3,4,2}{1,4,2,3}{2,1,3,4}{2,3,1,4}{2 ,4,3,1} {3,1,2,4} {3,2,4,1} {3,4,2,1} {4,1,3,2} {4,2,1, 3}{4,3,1,2}

N = 5
{1,3,4,2,5} {1,4,2,3,5} {1,4,3,5,2} {1,4,5,3,2} {1, 5,3,2,4} {1,5,4,2,3} {2,1,4,5,3} {2,1,5,3,4} {2,3,1,5, 4} {2,3,5,1,4} {2,3,5,4,1} {2,4,1,5,3} {2,4,3,1,5} {2,5 ,1,3,4} {2,5,3,4,1} {2,5,4,1,3} {3,1,2,5,4} {3,1,4,5,2 } {3,1,5,2,4} {3,2,4,5,1} {3,4,2,1,5} {3,5,1,4,2} {3,5, 2,1,4} {3,5,4,1,2} {4,1,2,5,3} {4,1,3,2,5} {4,1,5,3,2} {4,2,3,5,1} {4,2,5,1,3} {4,3,1,2,5} {4,3,1,5,2} {4,3,5 ,1,2} {4,5,1,3,2} {4,5,2,1,3} {5,1,2,4,3} {5,1,3,4,2} { 5,2,1,3,4} {5,2,3,1,4} {5,2,4,3,1} {5,3,2,4,1}

N = 6
{1,2,5,4,6,3} {1,2,6,4,3,5} {1,3,2,5,6,4} {1,3,2,6 ,4,5} {1,3,6,4,5,2} {1,4,3,5,6,2} {1,4,5,3,2,6} {1,4,6 ,5,2,3} {1,5,3,4,6,2} {1,5,3,6,2,4} {1,5,4,2,3,6} {1,5 ,4,6,2,3} {1,5,6,2,4,3} {1,5,6,3,2,4} {1,6,2,4,5,3} {1 ,6,3,2,4,5} {1,6,3,4,2,5} {1,6,3,5,4,2} {1,6,4,3,5,2} {2,3,1,5,4,6} {2,3,5,4,1,6} {2,3,6,1,5,4} {2,4,1,6,5, 3} {2,4,3,1,5,6} {2,4,3,6,1,5} {2,4,5,1,6,3} {2,4,5,3, 6,1} {2,5,1,6,3,4} {2,5,1,6,4,3} {2,5,3,4,1,6} {2,5,3, 4,6,1} {2,5,4,6,3,1} {2,6,1,4,3,5} {2,6,4,3,5,1} {2,6, 4,5,1,3} {2,6,5,3,4,1} {3,1,2,5,4,6} {3,1,5,4,6,2} {3, 1,5,6,2,4} {3,1,6,2,5,4} {3,1,6,5,2,4} {3,2,5,1,6,4} { 3,2,5,6,4,1} {3,2,6,1,4,5} {3,2,6,4,5,1} {3,4,1,6,2,5 } {3,4,2,6,5,1} {3,4,6,1,5,2} {3,5,1,2,6,4} {3,5,1,4,2 ,6} {3,5,2,1,6,4} {3,5,4,1,2,6} {3,5,4,2,6,1} {3,5,6,1 ,4,2} {3,5,6,2,1,4} {3,6,1,5,4,2} {3,6,4,5,2,1} {3,6,5 ,1,2,4} {4,1,2,6,5,3} {4,1,3,2,5,6} {4,1,6,2,3,5} {4,2 ,1,5,6,3} {4,2,1,6,3,5} {4,2,3,5,1,6} {4,2,3,6,5,1} {4 ,2,5,6,1,3} {4,2,6,3,5,1} {4,2,6,5,1,3} {4,3,1,6,2,5} {4,3,5,1,2,6} {4,3,6,1,5,2} {4,5,1,3,2,6} {4,5,1,6,3,2} {4,5,2,1,3,6} {4,5,2,6,1, 3} {4,6,1,2,5,3} {4,6,1,5,2,3} {4,6,2,1,5,3} {4,6,2,3, 1,5} {4,6,5,2,3,1} {5,1,2,4,3,6} {5,1,3,2,6,4} {5,1,3, 4,2,6} {5,1,6,3,4,2} {5,2,3,1,4,6} {5,2,4,3,1,6} {5,2, 4,3,6,1} {5,2,6,1,3,4} {5,2,6,1,4,3} {5,3,2,4,1,6} {5, 3,2,6,1,4} {5,3,4,1,6,2} {5,3,4,6,2,1} {5,3,6,1,2,4} { 5,4,1,6,2,3} {5,4,2,3,6,1} {5,4,6,2,3,1} {6,1,3,4,2,5 } {6,1,4,2,3,5} {6,1,4,3,5,2} {6,1,4,5,3,2} {6,1,5,3,2 ,4} {6,2,1,4,5,3} {6,2,1,5,3,4} {6,2,3,1,5,4} {6,2,3,5 ,4,1} {6,2,4,1,5,3} {6,2,4,3,1,5} {6,3,1,2,5,4} {6,3,2 ,4,5,1} {6,3,4,2,1,5} {6,4,1,3,2,5} {6,4,5,1,3,2} {6,4 ,5,2,1,3} {6,5,1,3,4,2} {6,5,2,3,1,4}

O bază de date completă de matrice pentru toate dimensiunile, care au fost verificate cu atenție, este disponibilă aici [2]

Clădire

Welch (Welch)

Matricea Welch-Costas , sau pur și simplu matricea Welch (Welch ) , este o matrice Costas obținută folosind o metodă dezvoltată de Lloyd R. Welch . O matrice Welch-Costas este construită luând rădăcina primitivă g a unui prim p și definind o matrice A , unde dacă , în caz contrar 0. Rezultatul este o matrice Costas de dimensiunea p − 1. $A_{i,j}=1$ $i\equiv g^{j}{\bmod {p)}$

Exemplu

3 este o rădăcină primitivă modulo 5.

3^{1}=3

3^{2}=9\equiv 4{\pmod {5}}

3^{3}=27\equiv 2{\pmod {5}}

3^{4}=81\equiv 1{\pmod {5}}

Prin urmare, [3 4 2 1] este o permutare Costas. Acesta este un tablou exponențial discret Welch (Welch). Matricea transpusă este o matrice logaritmică Welch discretă.

Numărul de tablouri Welch-Costas care există pentru o dimensiune dată depinde de funcția Euler .

Lempel-Golomb

Metoda Lempel-Golomb folosește elementele primitive α și β din câmpul finit GF( q ) și determină în mod similar dacă , în caz contrar 0. Rezultatul este o matrice Costas de dimensiunea q − 2. Dacă α + β = 1, atunci primul rândul și coloana sunt îndepărtate pentru a forma o altă matrice Costas de dimensiunea q − 3: nu se știe dacă există astfel de perechi de elemente primitive pentru fiecare putere a lui q . $A_{i,j}=1$ $\alpha ^{i}+\beta ^{j}=1$

Vezi și

Literatură

Costas, JP Un studiu al unei clase de forme de undă de detecție cu proprietăți de ambiguitate Doppler aproape ideale // Proceedings of IEEE : jurnal. - 1984. - Vol. 72 , nr. 8 . - P. 996-1009 .
Golomb SW , Taylor H. Construcția și proprietățile matricelor Costas // Proceedings of the IEEE : jurnal. - 1984. - Vol. 72 , nr. 9 . - P. 1143-1163 .
Beard J., Russo J., Erickson K., Monteleone M., Wright M. Combinatoric Collaboration on Costas Arrays and Radar Applications (engleză) // În IEEE Radar Conference : jurnal. - 2004. - P. 260-265 .
Richard K Guy . Secțiunile C18, F9 // Probleme nerezolvate în teoria numerelor (neopr.) . — Ed. a 3-a. - Springer Verlag , 2004. - ISBN 0-387-20860-7 .
Oscar Moreno. Survey of results on signal patterns for localing one or multiple targets // Difference Sets, Sequences and Their Correlation Properties (engleză) / Alexander Pott, P. Vijay Kumar, Tor Helleseth, Dieter Jungnickel (eds). — Kluwer. — ISBN 0792359585 .

Link -uri

Scott Richard. www.costasarrays.org (4 octombrie 2011). Arhivat din original pe 6 februarie 2012. (nedefinit)
Decembrie 1999 Provocarea programatorului: matrice Costas . Mactech. (nedefinit)
Enciclopedia on-line a secvențelor întregi :
- A008404 : Numărul de tablouri Costas de ordinul n , numărând rotațiile și răsturnările ca distincte.
- A001441 : Numărul de tablouri Costas inechivalente de ordinul n sub grupul diedric.