Matricea de schimbare

O matrice de deplasare (de asemenea o matrice de deplasare ) este o matrice binară cu unități numai pe superdiagonala sau subdiagonala principală și zerouri în altă parte. O matrice de deplasare U cu unități pe superdiagonală se numește matrice de deplasare superioară . Matricea subdiagonală corespunzătoare L se numește matrice cu deplasare inferioară . Componentele matricelor U și L cu indici ( i , j ) au forma

U_{ij}=\delta _{i+1,j},\quad L_{ij}=\delta _{i,j+1},

unde este simbolul deltei Kronecker . $\delta _{{ij}}$

De exemplu, o matrice de deplasare 5×5

U_{5}={\begin{pmatrix}0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}}\quad L_{5}={0&0&0&p\&0&0&p \\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\end{pmatrix}}.

Evident, transpunerea unei matrice cu deplasare inferioară are ca rezultat o matrice cu schimbare superioară și invers. Înmulțirea de la stânga a unei matrice arbitrare A cu o matrice cu deplasare inferioară duce la o deplasare a elementelor matricei A în jos cu o poziție, iar rândul superior al matricei rezultate este umplut cu zerouri. Înmulțirea la dreapta a unei matrice arbitrare A cu o matrice cu deplasare inferioară are ca rezultat o deplasare la stânga cu o poziție, umplând coloana din dreapta cu zerouri. Operații similare care implică matricea de deplasare superioară duc la deplasări opuse.

Toate matricele de deplasare sunt nilpotente : matricea de deplasare n×n S la puterea egală cu dimensiunea sa n este egală cu matricea zero .

Proprietăți

Fie L și U n×n matrice de deplasare, inferioară și respectiv superioară. Următoarele proprietăți sunt adevărate pentru ambele matrice U și L (deci le listăm doar pentru U ):

Determinant det( U ) = 0 ( degenerare );
Urmă tr( U ) = 0;
Rangul rang( U ) = n − 1
Polinomul caracteristic al matricei U are forma:

p_{U}(\lambda )=(-1)^{n}\lambda ^{n}.

U n = 0 (nilpotenta). Această proprietate urmează din cea anterioară prin teorema Hamilton-Cayley .

Permanent per( U ) = 0.

Următoarele proprietăți arată cum sunt legate matricele U și L :

L T \ u003d U ; U T = L .

Nuclee de matrice U și L :

\operatorname {ker} (U)=\operatorname {span} \{(1,0,\ldots,0)^{T}\},

\operatorname {ker} (L)=\operatorname {span} \{(0,\ldots,0,1)^{T}\}.

Spectrul matricelor U și L este zero (adică au o singură valoare proprie și este egal cu zero): . Multiplicitatea algebrică a acestui zero este n , iar multiplicitatea sa geometrică este 1. Din expresiile pentru nuclee rezultă că singurul vector propriu (până la scalare) al matricei U are forma și singurul vector propriu al matricei L are forma formă $\{0\}$ $(1,0,\ldots ,0)^{T},$ $(0,\ldots ,0,1)^{T}.$

Pentru produsele LU și UL avem:

UL=I-\operatorname {diag} (0,\ldots,0,1),

LU=I-\operatorname {diag} (1,0,\ldots,0).

Ambele matrice sunt idempotente , simetrice și au același rang ca U și L.

L n − a U n − a + L a U a = U n − a L n − a + U a L a = I ( matricea de identitate ), pentru orice număr întreg a de la 0 la n inclusiv.

Exemple

S={\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\end{pmatrix));\quad A={\begin{pmatrix}1&1&1&1&1&1&1&\\\&1&1&\\\ 1&2&2&2&1\\1&1&1&1&1\end{pmatrix}}.

Apoi: $SA={\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\1&1&1&1&1\\1&2&2&2&1\\1&2&3&2&1\\1&2&2&2&1\end{pmatrix));\quad AS={\begin{pmatrix}1&2&2&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&2&1& 2&2&2&1&0\\1&1&1&1&0\end{pmatrix}}.$

Evident, există multe permutări diferite. De exemplu, matricea corespunde deplasării matricei A în sus și la stânga de-a lungul diagonalei principale. $S^{T}AS$

S^{T}AS={\begin{pmatrix}2&2&2&1&0\\2&3&2&1&0\\2&2&2&1&0\\1&1&1&1&0\\0&0&0&0&0\end{pmatrix)).

Vezi și

Matrice Nilpotent

Link -uri

Shift Matrix — intrare în Manualul de referință Matrix