Metoda galerei

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 15 iulie 2022; verificarea necesită 1 editare .

Metoda galerei (metoda strike-through) este o metodă de împărțire care a fost cea mai folosită în Europa până în jurul anilor 1600 și a continuat să fie populară până la sfârșitul secolului al XVIII-lea [4] . Metoda a apărut pe baza metodelor chinezești și indiene. Metoda este menționată de Al-Khwarizmi în lucrările din 825 [4] , de Luca Pacioli în 1492 [3] .

Spre deosebire de metodele anterioare, în această metodă numerele nu au fost șterse, ci tăiate [4] . Este similară cu metoda modernă de împărțire după o coloană , cu toate acestea, în metoda bucătăriei, scăderea produselor parțiale a procedat de la stânga la dreapta și nu de la dreapta la stânga, ca în metodele moderne.

Metoda și-a primit numele pentru asemănarea liniilor înregistrate în timpul calculului cu silueta vasului cu același nume [4] [3] . În același timp, liniile oblice care erau folosite pentru a tăia numerele semănau cu vâsle. Uneori, pentru a obține o asemănare, desenul trebuie rotit cu 90 ° [5] .

O metodă similară a fost folosită și pentru extragerea rădăcinilor .

Istorie

Operațiile aritmetice cu capacitatea numărului crescând devin foarte laborioase și sensibile la erorile mecanice, iar împărțirea este cea mai dificilă dintre ele. „Afacerea dificilă este diviziunea” ( italiană dura cosa e la partita ) a fost o expresie italiană străveche [6] :40 .

Deși diviziunea a fost considerată o operațiune dificilă în Europa până în secolul al XV-lea, diviziunea nu a fost considerată deosebit de dificilă în China și India [4] [7] . Metoda împărțirii este menționată în „ Matematica în nouă cărți ” (secolul al II-lea d.Hr.) și este descrisă în detaliu în Tratatul de matematică Sun Tzu (sec. III-V) [4] . Multe lucrări indiene despre matematică nu descriu metoda de împărțire, presupunând că este cunoscută. De exemplu, Aryabhata (499) nu scrie despre metoda divizării , deși, fără îndoială, metoda divizării era cunoscută de cititorii săi, deoarece Aryabhata descrie o metodă de extragere a rădăcinilor care necesită divizare. În matematica indiană, o metodă de împărțire similară cu cea chineză este menționată pentru prima dată de Sridhari (circa 800). O descriere detaliată a metodei este dată de Aryabhata II în secolul X [7] .

Metoda indiană a fost făcută în nisip sau cretă pe o tablă. Metoda chineză folosea bastoanele ca numere. În ambele cazuri, numerele au fost ușor de șters. În aceste metode, divizorul a fost scris sub dividend. Ca și în metoda modernă de împărțire a coloanelor , produsele parțiale au fost scăzute din dividend (adică produsele divizorului cu fiecare cifră a răspunsului, deplasate cu numărul corespunzător de cifre). Cu toate acestea, spre deosebire de metoda modernă, vechiul dividend a fost șters, iar diferența a fost scrisă în locul său, în timp ce produsul parțial în sine nu a fost notat și nici măcar nu a fost calculat, iar scăderea a avut loc bit cu bit de la stânga la dreapta. După aceea, divizorul a fost deplasat cu o cifră la dreapta (această operație în Europa medievală se numea anterioratio în latină ) [7] [4] . În chineză (și eventual în metoda indiană) coeficientul a fost scris peste divizor [4] .

Această metodă a devenit cunoscută arabilor, începând cu lucrările lui Al-Khwarizmi (825) [7] [4] . De acolo, această metodă a venit în Europa [7] . În Europa, împărțirea se făcea cu cerneală pe hârtie, din această cauză, metoda împărțirii a suferit o modificare firească datorită faptului că numerele nu erau șterse, ci tăiate [3] [7] [4] . La scăderea produselor parțiale din divizor, rezultatul a fost scris deasupra. A devenit imposibil să scrieți coeficientul peste dividend, au început să-l scrie în dreapta [4] . Această modificare a devenit cunoscută ca metoda galerei ( galea, batello ) [7] , britanicii au numit această metodă și metoda scratch [5] [ 7 ] .

Celebrul matematician italian Niccolò Tartaglia (secolul al XVI-lea) în celebrul său manual de aritmetică a scris următoarele despre metodă [6] :41 :

A doua metodă de împărțire se numește la Veneția barcă sau galeră, din cauza unei anumite asemănări a figurii care rezultă din aceasta, deoarece în împărțirea unor feluri de numere se formează o figură care arată ca o barcă, iar în altele. - ca o galeră, care este cu adevărat frumoasă; uneori, o bucătărie este bine finisată și echipată cu toate accesoriile - este așezată din numere în așa fel încât să apară într-adevăr sub forma unei galere cu pupa și arc, un catarg, pânze și vâsle.

Text original (italiană)[ arataascunde] Il secondo modo di partire, è detto in Venetia per batello, ouer per galea per certe similitudine di figure, che di tal atto resultano, perche in la partitione di alcune specie di numeri nasce vna certa figura alla similitudine di vno batello, materiale, & in alcuni altri, vna figura simile a vna galea legno maritimo, perche in effect il pare vna gentilezza a vedere, in alcune specie di numeri vna galea ben lauorata, & tratteggiata con li suoi depenamenti protratti tutti, per vn verso, talmente che in la dispositione paiono veramente vna figura simile alla detta galea materiale, con la proua, poppa, albero, vela, & remi, come che nel processo si vedra manifesto [1] :32 .

Este interesant de remarcat că metoda galerei de cerneală a fost adusă înapoi în China din Europa și publicată într-un tratat de aritmetică europeană 1613 [4] .

În Rusia, metoda galerei a fost folosită până la mijlocul secolului al XVIII-lea: în „Aritmetica” de Leonty Magnitsky , este descrisă printre cele șase metode de împărțire propuse acolo și este recomandată în special de autor; pe tot parcursul prezentării materialului cărții sale, Magnitsky folosește în principal metoda galerei, fără a menționa numele în sine [6] :41,42 .

A concurat cu metoda galerei a fost așa-numita „metodă italiană” [3] (sau „diviziunea de aur” [5] ), care acum este cunoscută sub numele de diviziune pe coloană . Această metodă a apărut tipărită în 1491 în „Aritmetica” [8] a lui Calandri , deși chiar mai devreme a fost găsită în manuscrise din secolul al XV-lea [3] . În acesta, produsul parțial a fost calculat și scris în mod explicit sub dividend, apoi scăzut din dividend, iar rezultatul a fost scris mai jos. Scăderea a fost efectuată, ca în adunarea obișnuită a coloanei , pornind de la cifrele cele mai puțin semnificative, ceea ce a făcut posibilă economisirea înregistrării, dar în același timp a fost necesar să ne amintim transferul descărcării în minte [3] . Principalul avantaj al acestei metode este că toate acțiunile sunt vizibile din înregistrarea sa - acest lucru facilitează verificarea calculelor și corectarea rapidă a erorilor. Cu toate acestea, dezavantajul acestei metode este că în ea trebuie să înmulțiți numerele cu mai multe cifre cu cele cu o singură cifră [5] .

Ulterior, a apărut o metodă abreviată de împărțire („metoda austriacă”). A fost similar cu italianul, dar, spre deosebire de acesta, în ea, ca și în metoda bucătăriei, produsele parțiale nu au fost calculate în mod explicit - au fost imediat scăzute bit cu bit. Cu toate acestea, spre deosebire de metoda galerei, scăderile au fost făcute pornind de la cifrele cele mai puțin semnificative, ceea ce a făcut posibilă economisirea înregistrării. Astfel, această metodă a combinat avantajele metodei galerei și celei italiene [3] . Dezavantajul acestei metode este că calculatorul trebuie să stocheze mai multe informații în minte.

Toate aceste metode au concurat în Europa cu „diviziunea de fier”: metoda divizării abacului descrisă de călugărul matematician Herbert (viitorul Papă Silvestru al II-lea) [5] .

Esența metodei

Metoda galerei, deși mai dificil de scris, este similară cu metoda modernă a împărțirii pe coloane . La fel ca în cazul împărțirii pe o coloană, câtul se calculează pe cifre, începând cu cifra cea mai semnificativă: la fiecare pas, se selectează câte o cifră a câtului. Cea mai mare cifră este luată ca cifră privată, astfel încât produsul parțial (produsul acestei cifre și divizorul deplasat cu numărul corespunzător de cifre) poate fi scăzut din dividend, rămânând în același timp în numere pozitive. După aceea, produsul parțial este scăzut din dividend, divizorul însuși este deplasat cu un bit la stânga și procesul se repetă. Spre deosebire de împărțirea modernă pe o coloană, în metoda bucătăriei, produsul parțial nu este calculat, iar scăderea are loc prin cifre de la stânga la dreapta. De asemenea, în metoda bucătăriei, rezultatul scăderii este scris în partea de sus, nu în partea de jos.

Exemplu

Luați în considerare un exemplu din Treviso Arithmetic (1478), în care 65284 este împărțit la 594 [4] . Exemplul este împărțit în mai mulți pași: la fiecare pas, numerele care sunt adăugate în acest pas sunt scrise cu caractere aldine, iar numerele care sunt barate sunt cu caractere cursive. Pentru ușurința percepției, numerele cu care sunt efectuate acțiunile sunt evidențiate color; de fapt, în metodă a fost folosită o singură culoare de cerneală.

Mai întâi, divizorul ( 594 ) a fost scris sub dividend ( 65284 ):

65284 594

Pasul 1: Divizorul 594 intră în 652 o singură dată . Deci prima cifră a coeficientului este 1 . O scriem în dreapta și scădem din dividend 1 × 594 (deplasat cu două cifre). În metoda bucătăriei, aceasta se face de la stânga la dreapta: mai întâi, prima cifră (5), apoi a doua cifră (9) și, în final, ultima cifră (4) sunt scăzute din cifrele corespunzătoare.

652 84 \| 1 594 Pasul 1 : 594 intră o dată în 652 .	1 6 5284 \| 1 5 94 Pasul 1a: 6 − 5 = 1	1 6 6 5 284 \| 1 5 9 4 Pasul 1b: 15 − 9 = 6	5 1 6 8 65 2 84 \| 1 59 4 Pasul 1c: 62 − 4 = 58

652 84 | 1 594

Pasul 1 : 594 intră o dată
în 652 .

1 6 5284 | 1 5 94

Pasul 1a: 6 − 5 = 1

1 6 6 5 284 | 1 5 9 4

Pasul 1b: 15 − 9 = 6

5 1 6 8 65 2 84 | 1 59 4

Pasul 1c: 62 − 4 = 58

Pasul 2: Mutați divizorul cu un bit spre dreapta ( anterioratio ). Deoarece divizorul offset rezultat ( 594 ) este mai mare decât ceea ce a rămas din dividend ( 588 ...), nu putem scădea divizorul nici măcar o dată, ceea ce înseamnă că a doua cifră a coeficientului este 0 :

5 16 8 652 8 4 \| 1 0 594 4 59 Pasul 2: 594 intră în 588 zero ori.

5 16 8 652 8 4 | 1 0 594 4 59

Pasul 2: 594 intră
în 588 zero ori.

Pasul 3: Deplasați divizorul încă un bit spre dreapta. Acum trebuie să scădem 594 din 5884 . Acest lucru se poate face de 9 ori. Scrieți 9 ca cât și scădeți 9 × 594 din dividend . În acest caz, nu calculăm 9 × 594 , ci pur și simplu scădem 9 × 5 , 9 × 9 și 9 × 4 din cifrele corespunzătoare.

5 16 8 652 84 \| 10 9 5944 4 59 9 5 Pasul 3: 594 intră în 5884 de nouă ori.	1 5 3 16 8 652 84 \| 10 9 5944 4 59 9 5 Pasul 3a: 58 − 9 × 5 = 13	1 5 5 3 168 7 652 8 4 \| 109 59444 59 9 5 Pasul 3b: 138 − 9 × 9 = 57	1 5 53 3 168 7 8 6528 4 \| 10 9 5944 4 599 5 Pasul 3c: 74 − 9 × 4 = 38

5 16 8 652 84 | 10 9 5944 4 59 9 5

Pasul 3: 594 intră
în 5884 de nouă ori.

1 5 3 16 8 652 84 | 10 9 5944 4 59 9 5

Pasul 3a: 58 − 9 × 5 = 13

1 5 5 3 168 7 652 8 4 | 109 59444 59 9 5

Pasul 3b: 138 − 9 × 9 = 57

1 5 53 3 168 7 8 6528 4 | 10 9 5944 4 599 5

Pasul 3c: 74 − 9 × 4 = 38

Răspuns: împărțirea 65284 la 594 dă câtul 109 , iar restul este 538 .

1 5 53 3 1687 8 65284 \| 109 59444 599 5 Rezultatul complet al calculului

1 5 53 3 1687 8 65284 | 109 59444 599 5

Rezultatul complet al calculului

Comparație cu alte metode

Pentru comparație, prezentăm aceeași împărțire, efectuată cu ștergerea numerelor, precum și metodele italiene și austriece [3] . După cum sa menționat mai sus, aceste metode diferă prin modul în care scad produsul parțial. De exemplu, ultimul pas scade produsul parțial de 9×594. În metoda italiană, se calculează mai întâi 9×594=5346, iar apoi se scade rezultatul. În metoda bucătăriei și în metoda cu ștergerea cifrelor, produsul nu se calculează, ci se scade secvențial: 9×500, 9×90, 9×4. Totodată, în metoda cu ștergerea numerelor, rezultatul se scrie în locul celui scăzut, iar în metoda galerei se scrie deasupra, iar numerele vechi sunt barate. În fine, în metoda austriacă, produsul nu se calculează, ci se scade secvenţial: 9×4, 9×90, 9×500. Deoarece scăderile încep cu biții inferiori, la fiecare pas este scris doar un bit, iar bitul cel mai semnificativ este transferat , ceea ce vă permite să scurtați notația, dar vă cere să vă amintiți purtarea în minte.

Metoda de ștergere a cifrelor	65284 \| 594 594 \| 109 5884 5346 538 Metoda italiană	65284 \| 594 5884 \| 109 538 metoda austriaca

Metoda de ștergere a cifrelor

65284 | 594 594 | 109 5884 5346 538

Metoda italiană

65284 | 594 5884 | 109 538

metoda austriaca

Opțiuni

Fără numere barate

Uneori numerele nu erau tăiate. În acest caz, au fost luate în considerare doar cifrele cele mai mari și cele mai mici. În acest caz, în loc de barat, zerouri au fost scrise în partea de sus a coloanei. Vezi ilustrația de la începutul articolului.

Cu calculul produselor parțiale

Uneori se calculau produse parțiale. Această opțiune practic nu diferă de împărțirea modernă printr-o coloană. Singura diferență este locul în care sunt scrise numerele: metoda bucătăriei utilizează mai puțină hârtie, deoarece numerele sunt scrise mai compact, fără spațiu liber între ele. Dar atunci când se împarte pe o coloană, calculele sunt mai vizibile și mai ușor de verificat.

Ca exemplu al acestei opțiuni, luați în considerare împărțirea 44977 la 382 [2] . O cifră corespunde primirii unei zecimale a coeficientului.

1) 67 (Înmulțire: 1 x382= 382 ) 382 | 449 77 | 1 (Diferență: 449 − 382 = 67 ) 382 2) 29 (Înmulțire: 1 x382= 382 ) 67 5 (Diferență: 677 − 382 = 295 ) 382 | 449 7 7 | 1 1 382 2 38 3) 2 (Înmulțire: 7 x382= 2674 ) 29 8 (Diferență: 2957 − 2674 = 283 ) 67 5 3 382 | 44977 | _ 11 7 Raspuns: Privat 117 , rest 283 . 3822 4 38 7 26

Verificarea diviziunii

Exista o metodă de verificare a resturilor de împărțire cu un număr mic. Cel mai adesea, s-a folosit metoda de verificare prin resturi cu 9 , deoarece restul atunci când este împărțit la 9 este foarte ușor de găsit: doar găsiți suma cifrelor numărului. Cu toate acestea, această metodă de verificare nu a surprins erori comune atunci când cifra a căzut în locul greșit. Prin urmare, s-au folosit și metode mai fiabile, dar complicate: verificarea resturilor pentru 7 sau 11.

Esența metodei este următoarea. Să presupunem că atunci când împărțim un număr la , obținem un coeficient incomplet și un rest . Aceasta înseamnă că . Pentru a verifica această egalitate, au fost calculate resturile lui , , și pentru un număr mic (de exemplu, 9). Fie aceste resturi , , și , respectiv . Apoi și trebuie să aibă același rest. $A$ $B$ $Q$ $R$ $A=BQ+R$ $A$ $B$ $Q$ $R$ $A$ $b$ $q$ $r$ $A$ $bq+r$

Aceste rămășițe erau scrise sub forma unui „steag”: Uneori, în loc de cruce + , se folosea o cruce × . ${\begin{array}{c|c}q&r\\\hline b&a\end{array)).$

De exemplu, Niccolo Tartaglia [1] :34 când a împărțit 912345 cu 1987 a primit 459 și 312 în rest. Pentru a verifica acest lucru, a luat restul acestor numere atunci când s-a împărțit la șapte: 912 345 dă un rest de 0, 1987 dă 6, 459 dă 4, 312 dă 4. Tartaglia scrie acest lucru ca Apoi verifică că este divizibil cu șapte cu un rest de 0. Deci rezultatul a trecut testul [9] . ${\begin{array}{c|c}4&4\\\hline 6&0\end{array}}.$ $4\cdot 6+4$

Extragerea rădăcinilor

O metodă similară a fost folosită pentru extragerea rădăcinilor . La fel ca în cazul împărțirii, răspunsul a fost în cifre.

Pentru a extrage rădăcini pătrate la fiecare pas, pătratul răspunsului parțial deja obținut a fost scăzut din număr. Pentru aceasta s-a folosit formula . Și anume, dacă la un anumit pas o cifră este atribuită răspunsului parțial (adică un nou răspuns parțial ), atunci trebuie să scădem din numărul inițial . Dar am scăzut deja în pasul anterior. Deci trebuie să scadem . Pentru a face acest lucru, în metoda galerei, numărul a fost scris mai jos, cifra a fost scrisă în dreapta, iar apoi produsul parțial a fost scăzut, ca în metoda obișnuită [11] . ${\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2))$ $A$ $b$ $10a+b$ $(10a+b)^{2}$ $(10a)^{2}$ $(20a+b)b$ $20a+b$ $b$

La extragerea rădăcinilor de grade superioare s-a folosit binomul lui Newton , care era cunoscut chiar înainte de Newton [12] .

Note

↑ 1 2 3 Nicolo Tartaglia . Book One // General trattato di numeri, et mesures. — Vinegia : Curtio Trojano de i Navo, 1556.
↑ 1 2 Carl B. Boyer, Uta C. Merzbach. O istorie a matematicii . — John Wiley & Sons, 25-01-2011. — 680 s.
↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Leland Locke. Matematică pură // Știința-istoria universului / Francis Rolt-Wheeler (editor director). New York: Current Literature Pub. Co.. - Vol. VIII. — 354 p. - P. 48-52. Arhivat pe 19 februarie 2020 la Wayback Machine
↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Lam Lay-Yong. Despre originea chineză a metodei Galley a diviziunii aritmetice (engleză) // The British Journal for the History of Science. - 1966/06. — Vol. 3 , iss. 1 . - P. 66-69 . - doi : 10.1017/S0007087400000200 . Arhivat din original pe 10 aprilie 2019.
↑ 1 2 3 4 5 Enciclopedie pentru copii . T. 11. Matematică / Capitolul. ed. M. D. Aksyonova. - M . : Avanta +, 1998. - S. 132-134. — ISBN 5-89501-018-0 .
↑ 1 2 3 Perelman Ya. I. Aritmetică distractivă. - Ed. a 8-a. - M . : Detgiz , 1954. - 100.000 exemplare.
↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 B. Datta , AN Singh. Partea I: Notație numerică și aritmetică // Istoria matematicii hinduse: o carte sursă . - 1962. - S. 150.
↑ Filippo Calandri. Aritmetica (italiană) / Lorenzo Morgiani e Johann Petri. — 1491.
↑ Florian Cajori. O istorie a notațiilor matematice . — Courier Corporation, 26-09-2013. - S. 260-261. — 865 p.
↑ Nicolo Tartaglia . Cartea a doua // General trattato di numeri, et mesures. - Vinegia : Curtio Trojano de i Navo, 1556. - S. 28.
↑ Graham Flegg. Numerele: Istoria și semnificația lor . — Courier Corporation, 2013-05-13. - S. 133. - 307 p.
↑ David E. Smith. Istoria matematicii . — Courier Corporation, 1958-06-01. - S. 148. - 739 p.