Metoda imaginii

Metoda imaginii (metoda imaginii în oglindă) este una dintre metodele fizicii matematice , utilizată pentru a rezolva problemele cu valori la limită pentru ecuația Helmholtz , ecuația Poisson, ecuația de undă și altele.

Esența metodei imaginii este că problema inițială de a găsi câmpul surselor date (exterioare) în prezența suprafețelor de limită se reduce la calcularea câmpului acelorași și a unor surse suplimentare (fictive) într-un mediu infinit, care sunt situat în afara câmpului găsirii câmpului problemei inițiale. Aceste surse suplimentare se numesc surse de imagine . Regulile pentru construcția lor sunt complet similare cu cele folosite pentru a construi imagini ale surselor punctuale în optică într-un sistem de oglinzi (aici oglinzile repetă forma suprafețelor de delimitare). Mărimile surselor de imagine sunt determinate de condițiile la limită de pe suprafețe, precum și de cerințele de uniformitate a câmpului creat de un sistem real de surse și suprafețe și un sistem compus din surse reale și surse de imagine fictive în spațiu. lângă sursele reale.

Cu ajutorul metodei imaginii se rezolvă de obicei probleme în care fiecare sursă punctuală dată poate fi asociată cu un sistem finit (uneori o serie discretă infinită) de același tip de surse-imagini punctuale. Prin urmare, metoda imaginii este cea mai utilizată în electrostatică. De asemenea, metoda imaginii poate fi extinsă la o clasă mai largă de limite și condiții de limită în cadrul metodei opticii geometrice la o lungime de undă suficient de mică și la unele aproximări cu lungime de undă scurtă care o rafinează. În acest caz, se reduce la construirea unui model de raze și imagini geometric-optice.

Exemplul 1: sarcină punctuală și plan conductiv

Fie ca sarcina punctuală să fie situată la o distanță de planul conductor. Este necesar să se determine forța cu care avionul acționează asupra sarcinii. $q$ $A$

Să introducem o imagine de încărcare egală și opusă pe cealaltă parte a planului, la aceeași distanță. Forța de atracție dintre o sarcină reală și o sarcină de imagine este determinată de legea lui Coulomb :

F=k{\frac {q^{2}}{4a^{2}}}

Exemplul 2: Sarcină punctuală în apropierea unei interfețe dintre doi dielectrici

Fie situată o sarcină punctiformă la o distanță de o interfață plată între doi dielectrici cu permeabilități și . Este necesar să se determine forța care acționează asupra sarcinii. $q$ $A$ $\varepsilon_{1}$ $\varepsilon _{2}$

Să introducem o imagine de încărcare din cealaltă parte a avionului, la aceeași distanță. Din legea refracției, determinăm mărimea acestei sarcini: $q^{\prime )$

{\frac {q-|q^{\prime }|}{q+|q^{\prime }|}}={\frac {\varepsilon _{2}}{\varepsilon _{1}} }

Forța de atracție dintre o sarcină reală și o sarcină de imagine este determinată de legea lui Coulomb :

F=k{\frac {q\cdot |q^{\prime }|}{(2a)^{2}}}=k{\frac {q^{2}}{4a^{2} }}{\frac {\varepsilon _{1}-\varepsilon _{2}}{\varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}}}

Valabilitatea metodei imaginii în oglindă este dovedită folosind teorema unicității pentru soluția ecuației diferențiale corespunzătoare ( ecuația lui Poisson în cazul electrostaticei) în anumite condiții la limită .

În electrostatică , metoda facilitează calcularea distribuției unui câmp electric într-un volum între un set de sarcini electrice și suprafețe conducătoare de o anumită formă, precum și între sarcini electrice și suprafețe dielectrice . În cel mai simplu caz, când o sarcină electrică este situată deasupra unui plan conductor (Fig. 1), câmpul electric dintre sarcină și suprafață este identic cu câmpul dintre această sarcină și imaginea ei în oglindă încărcată opus. Valabilitatea unei astfel de înlocuiri rezultă din condiția absenței componentei tangențiale a vectorului intensității câmpului electric pe suprafața conductorului sau, cu alte cuvinte, rezultă din faptul că potențialul câmpului este același în orice punct. a suprafetei conductoare [1] . De aici este, de asemenea, evident că forța de interacțiune dintre sarcină și plan este egală cu forța de interacțiune dintre sarcina reală și imaginea ei în oglindă și, de asemenea, că această forță de interacțiune este forța de atracție.

În mod similar, metoda imaginii în oglindă face posibilă calcularea câmpului magnetic al curenților continui situati deasupra unui plan conductor sau dielectric.

În plus, în magnetostatică , metoda vă permite să calculați câmpul magnetic în volum dintre un set de dipoli magnetici (sau o sursă a unui câmp magnetic extern) și suprafața unui supraconductor ideal (vezi efectul Meissner ). Aici, în cel mai simplu caz al unui dipol magnetic peste un plan supraconductor (Fig. 2), câmpul de la curenții supraconductori ecranați din afara supraconductorului este echivalent cu câmpul dipolului reflectat. Valabilitatea rezultă din condiția absenței componentei normale a câmpului magnetic pe suprafața supraconductorului. Forța de interacțiune dintre un magnet și un supraconductor ideal este respingătoare. Există, de asemenea, o generalizare a metodei - metoda imaginilor în oglindă înghețate , care este aplicabilă și la supraconductori cu fixare .

Metoda este adesea folosită pentru a calcula alte câmpuri, cum ar fi fluxurile de fluide sau de căldură. [2]

Note

↑ Feynman R., Layton R., Sands M. Feynman Lectures on Physics. Volumul 5: Electricitate și magnetism. Traducere din engleză (vol. 3). — Editorial URSS. — ISBN 5-354-00703-8
↑ Analogii electrostatice (link inaccesibil)

Literatură

Kupalyan SD Bazele teoretice ale ingineriei electrice. Partea 3, Câmp electromagnetic. - M., 1970.
Bessonov L. A. Fundamentele teoretice ale ingineriei electrice. - M .: „Școala superioară”, 1967.

Link -uri

Metoda imagistică - articol din Encyclopedia of Physics
(link descendent din 10-02-2017 [2072 zile ) Metoda imaginii în electrostatică]
http://iatephysics.narod.ru/lecture4/lecture4.htm
Tutorial video „Metoda imaginii în oglindă”