Normal

O normală în geometrie este o generalizare a conceptului de perpendiculară pe o dreaptă sau un plan la curbe și suprafețe netede arbitrare .

Normala curbei într-un punct dat este o linie dreaptă perpendiculară pe linia tangentă în punctul specificat al curbei. O curbă netedă plană are în fiecare punct o singură normală situată în același plan. Curba spațială în fiecare dintre punctele sale are un număr infinit de normale, formând așa-numitul plan normal . Două dintre aceste normale se evidențiază în special: normalul situat în planul osculator se numește normală principală , iar normala perpendiculară pe planul osculator se numește binormal [1] .

Normala la suprafață într-un punct dat de pe aceasta este o dreaptă perpendiculară pe planul tangent în punctul specificat de pe suprafață. Normala pentru o suprafață netedă este definită în mod unic [1] .

Conceptul de normală poate fi extins cu ușurință la varietăți de dimensiuni superioare . Pe lângă geometrie, normalele sunt utilizate pe scară largă în optică geometrică , mecanică , atunci când se creează grafica computerizată tridimensională , în teoria potențialului și în alte științe ale naturii [2] .

Vector normal

Vectorul normal (sau ort al normalei ) la suprafață într-un punct dat este un vector unitar aplicat unui punct dat și paralel cu direcția normalei. Pentru fiecare punct de pe o suprafață netedă, puteți specifica doi vectori normali care diferă ca direcție. Vectorii normali la curba spațială la un punct dat sunt definiți în mod similar; dintre ele, conform celor de mai sus, se aleg două, ortogonale între ele: vectorul normal principal și vectorul binormal.

O suprafață se numește cu două fețe dacă are un câmp continuu de vectori normali pe toată lungimea ei. În caz contrar, suprafața este numită unilaterală sau neorientabilă . O suprafață orientată este o suprafață cu două fețe cu o direcție aleasă a normalei.

Exemple de suprafețe unilaterale și, prin urmare, neorientabile sunt sticla Klein sau banda Möbius .

Curba normală la spațiu

Fie ecuația vectorială a curbei. Atunci direcția normalei principale poate fi obținută ca produs dublu vectorial : În cazul unei parametrizări naturale a curbei ( lungimea arcului ei ) vectorul unitar al normalei principale [3] este egal cu . ${\mathbf {r}}={\mathbf {r}}(t)$ $[[\mathbf {r} ',\ \mathbf {r} ''],\ \mathbf {r} '].$ ${\mathbf {r))''$

Ecuația vectorială a binormalului într-un punct are forma: $t=t_{0}$

{\boldsymbol {r}}(\lambda )={\boldsymbol {r}}(t_{0})+\lambda [{\boldsymbol {r}}'(t_{0}),~{\boldsymbol {r }}''(t_{0})].

Ecuația plană normală [3] în punctul : ${\boldsymbol {r}}(t_{0})=\{x_{0},y_{0},z_{0}\}$

x'_{0}(x-x_{0})+y'_{0}(y-y_{0})+z'_{0}(z-z_{0})=0

Normal la o curbă plană

Pentru o curbă plană, planul care o conține coincide cu planul tangent. Normalul, până la semn, este doar unul - principalul, iar ecuația sa într-un punct are următoarea formă. $(x_{0},\ y_{0})$

Metoda definirii curbei plane	Ecuația curbei	Ecuația normală
Sarcină parametrică	${\mathbf {r}}={\mathbf {r}}(t)$	$y=y_{0}-{\frac {x_{0}'}{y_{0}'}}(x-x_{0})$
Sarcina explicită	$y=f(x)$	$y=y_{0}-{\frac {x-x_{0}}{y_{0}'}}$
atribuire implicită	$F(x,y)=0$	$y=y_{0}+{\frac {(F_{y}')_{0}}{(F_{x}')_{0}}}(x-x_{0})$

Suprafață normală

În geometria diferenţială , suprafeţele studiate sunt de obicei supuse unor condiţii legate de posibilitatea aplicării metodelor de calcul diferenţial . De regulă, acestea sunt condițiile pentru netezimea suprafeței, adică existența în fiecare punct al suprafeței a unui anumit plan tangent , curbură etc. Aceste cerințe se rezumă la faptul că funcțiile care definesc suprafața sunt presupuse o dată, de două ori, de trei ori și în unele întrebări - un număr nelimitat de ori funcții diferențiabile sau chiar analitice . În acest caz, se impune suplimentar condiția de regularitate (vezi articolul Suprafață ). Un exemplu de punct de suprafață în care normala nu este definită este vârful unui con - nu există un plan tangent la acesta.

Coordonatele vectorului normal pentru diferite moduri de specificare a suprafeței sunt date în tabel:

	Coordonate normale la un punct de suprafață
sarcină parametrică: $\mathbf{r} = \mathbf{r}(u,\v)$	$\frac{\left(\frac{D(y,z)}{D(u,v)};\,\frac{D(z,x)}{D(u,v)};\,\frac {D(x,y)}{D(u,v)}\right)}{\sqrt{\left(\frac{D(y,z)}{D(u,v)}\right)^2 +\left(\frac{D(z,x)}{D(u,v)}\right)^2+\left(\frac{D(x,y)}{D(u,v)}\ dreapta)^2}}$
sarcină implicită: $F(x,y,z)=0$	$\frac{\left(\frac{\partial F}{\partial x};\,\frac{\partial F}{\partial y};\,\frac{\partial F}{\partial z}\right )}{\sqrt{\left(\frac{\partial F}{\partial x}\right)^2+\left( \frac{\partial F}{\partial y}\right)^2+\left ( \frac{\partial F}{\partial z}\right)^2}}$
atribuire explicită: $z=f(x,y)$	$\frac{\left(-\frac{\partial f}{\partial x};\,-\frac{\partial f}{\partial y};\,1\right)}{\sqrt{\left( \frac{\partial f}{\partial x}\right)^2+\left( \frac{\partial f}{\partial y}\right)^2+1))$

Aici . Toate derivatele sunt luate la punctul . Din formule se poate observa că, în cazul unei atribuiri implicite, direcția normalei la funcție coincide cu direcția gradientului acesteia . ${\frac {D(y,z)}{D(u,v)}}={\begin{vmatrix}y'_{u}&y'_{v}\\z'_{u}&z'_ {v}\end{vmatrix)),\quad {\frac {D(z,x)}{D(u,v)}}={\begin{vmatrix}z'_{u}&z'_{v }\\x'_{u}&x'_{v}\end{vmatrix)),\quad {\frac {D(x,y)}{D(u,v)))={\begin{vmatrix ) }x'_{u}&x'_{v}\\y'_{u}&y'_{v}\end{vmatrix}}$ $(x_{0},y_{0},z_{0})$ $F(x,y,z)$

Secțiunea unei suprafețe de către un plan care conține normala suprafeței într-un punct dat formează o anumită curbă, care se numește secțiune normală a suprafeței. Normala principală pentru o secțiune normală coincide cu normala la suprafață (până la un semn).

Dacă curba de pe suprafață nu este o secțiune normală, atunci normala sa principală formează un unghi cu normala suprafeței . Atunci curbura curbei este legată de curbura secțiunii normale (cu aceeași tangentă) prin formula lui Meunier [4] : $\theta$ $k$ $k_n$

k_n = \pm k\,\cos\,\theta

Curbura unei secțiuni normale într-un punct dat depinde de direcția acestei secțiuni; dacă curbura nu este constantă, atunci maximul și minimul sunt atinse în două direcții reciproc perpendiculare, numite direcții principale . Pe sferă, pe capetele elipsoidului etc., curbura este constantă, iar toate direcțiile sunt principale [5] . $k_n$

Note

↑ 1 2 Enciclopedia matematică, 1982 , p. 1049-1050.
↑ Normal // Dicţionar Enciclopedic Matematic . - M . : Enciclopedia Sovietică, 1988. - S. 416 . — 847 p.
↑ 1 2 Raşevski, 1956 , p. 146.
↑ Pogorelov, 1974 , p. 125-126.
↑ Pogorelov, 1974 , p. 132-133.

Literatură

Normal // Enciclopedie matematică (în 5 volume). - M . : Enciclopedia Sovietică , 1982. - T. 3.
Pogorelov AI Geometrie diferențială. - Ed. a VI-a. - M . : Nauka, 1974. - 176 p.
Rashevsky P. K. Curs de geometrie diferenţială. - a 4-a ed. — M .: GITTL, 1956.

Link -uri

Normal // Marea Enciclopedie Rusă : [în 35 de volume] / cap. ed. Yu. S. Osipov . - M . : Marea Enciclopedie Rusă, 2004-2017.

Dicționare și enciclopedii	Mare norvegian Rusă mare Brockhaus și Efron Micul Brockhaus și Efron Nou
În cataloagele bibliografice	GND : 4699684-9

Vectori și matrici

Vectori

Noțiuni de bază	Vector în geometrie Bază Baza ortogonala Coordonatele vectoriale Coliniaritate Ortogonalitatea Dependență liniară Spațiu coloane
Tipuri de vectori	Vector unitar Vector axial vector izotrop Normal Coliniaritate Vector zero Vector rază Vector propriu
Operații pe vectori	Produs scalar produs vectorial produs mixt Produs pseudoscalar Produs dublu cruce
Tipuri de spațiu	spațiu vectorial spatiu afin Spațiul euclidian Spațiul pseudo-euclidian Spațiu normat Spațiul Minkowski

matrici

Noțiuni de bază	Înmulțirea matricei Matrice transpusă Matricea conjugată hermitiană Matricea simetrică matrice inversă Valoare proprie Polinom caracteristic al unei matrice
Matrici speciale	Matrice de identitate Matrice zero Matricea diagonală matricea lambda
Descompuneri de matrice	descompunerea LU Descompunerea Cholesky Descompunerea QR Descompunerea LUP descompunerea unei valori singulare Descompunerea spectrală a unei matrice

Alte