4-tensor

4-tensori , patru -tensori — o clasă de obiecte matematice utilizate pentru a descrie unele câmpuri fizice în fizica relativistă , un tensor definit pe un spațiu-timp cu patru dimensiuni [1] .

Notă: în literatură, 4-tensorii sunt adesea numiți pur și simplu tensori, iar dimensiunea și natura spațiului vectorial (varietatea) pe care sunt definiți în acest caz sunt specificate în mod explicit sau sunt evidente din context.

În general, un 4-tensor este un obiect cu un set de indici:

A_{i_{1}i_{2}\ldots i_{n}}^{j_{1}j_{2}\ldots j_{m)),

în plus, fiecare dintre indici ia patru valori (de obicei de la zero la trei sau de la unu la patru, adică etc.). $i_{1}=0,1,2,3,i_{2}=0,1,2,3$

La schimbarea sistemului de referință, componentele acestui obiect sunt transformate astfel [2] :

A_{i_{1}i_{2}\ldots i_{n}}^{\prime j_{1}j_{2}\ldots j_{m}}=\beta _{j_{1}k_{ 1}}\beta _{j_{2}k_{2}}\ldots \beta _{j_{m}k_{m}}\alpha _{i_{1}l_{1}}\alpha _{i_{ 2}l_{2}}\ldots \alpha _{i_{n}l_{n}}A_{l_{1}l_{2}\ldots l_{n}}^{k_{1}k_{2}\ ldots k_{m}}

unde este matricea de rotație în spațiu-timp cu patru dimensiuni (matricea grupului Lorentz ) și este inversul acesteia. $\alpha _{ij}$ $\beta _{ij)$

Indicii superiori se numesc contravarianți, iar indicii inferiori se numesc covarianți. Numărul total de indici stabilește rangul tensorului. 4-vectorul este un 4-tensor de primul rang.

De obicei, în fizică, tensorii de aceeași natură cu numere diferite de indici covarianți și contravarianți sunt considerați reprezentări diferite ale aceluiași obiect. Coborârea sau creșterea indicelui se efectuează folosind tensorul metric , de exemplu, pentru un 4-tensor de al doilea rang ${\pălărie {g)}$

A^{ij}=g^{jk}A_{k}^{i)

Algebra produsului exterior ne permite, de asemenea, să introducem tensori duali corelați pentru tensorii antisimetrici .

Beneficiile notației 4D

Ecuațiile relativității , electrodinamica și multe teorii fundamentale moderne care le includ, sunt deosebit de convenabile de scris folosind 4-vectori și 4-tensori. Principalul avantaj al acestei notații este că în această formă ecuațiile sunt automat invariante Lorentz , adică nu se schimbă la trecerea de la un sistem de coordonate inerțial la altul.

Exemple

4-tensori în relativitatea generală

tensor metric (de asemenea, joacă un anumit rol tehnic în absența câmpurilor gravitaționale, adică este adesea folosit în afara relativității generale , dar în acest caz - de obicei - are o formă foarte particulară a metricii lorentziane ).
tensor de curbură
tensorul Ricci
tensorul energiei-impuls (aplicabil destul de larg în afara relativității generale ).

4-tensor al câmpului electromagnetic

4-tensorul corespunzător există și pentru a descrie câmpul electromagnetic . Acesta este un tensor de 4 al doilea rang. Când se utilizează, ecuațiile de bază pentru câmpul electromagnetic: ecuația lui Maxwell și ecuația de mișcare a unei particule încărcate într-un câmp au o formă deosebit de simplă și elegantă.

Definiție în termeni de potențial 4

Tensorul 4 este definit în termeni de derivate ale potențialului 4 [3] :

F_{ik}={\frac {\partial A_{k}}{\partial x^{i}}}-{\frac {\partial A_{i}}{\partial x^{k}} }

. Definiție în termeni de vectori 3D

Tensorul 4 este definit în termeni de vectori tridimensionali obișnuiți de stres compoziți , după cum urmează:

F_{ik}=\left({\begin{matrix}0&E_{x}/c&E_{y}/c&E_{z}/c\\-E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y }\\-E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\-E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{matrice}}\right)

F^{ik}=\left({\begin{matrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_ {z}&B_{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{matrix}}\right )

Prima formă este tensorul covariant, iar a doua formă este tensorul contravariant.

Forța Lorentz

Scrisă sub formă de 4 vectori , ecuația de mișcare a unei particule încărcate într-un câmp electromagnetic ia forma

mc{\frac {du^{i}}{ds}}={\frac {q}{c}}F^{ik}u_{k}

unde este viteza cu 4 , q este sarcina electrică a particulei, c este viteza luminii și m este masa . Partea dreaptă a acestei ecuații este forța Lorentz . $u^{k)$

Vezi și

Note

↑ rotații ale sistemului de referință în care includ atât rotații obișnuite în spațiul tridimensional, cât și tranziții între sisteme de referință care se mișcă cu viteze diferite unul față de celălalt ( transformări Lorentz ).
↑ Aici, așa cum se obișnuiește în teoria relativității, semnul sumei este omis - repetarea indicelui de mai jos și de mai sus înseamnă însumare; vezi convenția de însumare a lui Einstein .
↑ Formulele de pe această pagină sunt scrise în sistemul SGSG

Link- uri externe

Capitolul 8 Dinamica relativistă 8.8. Proprietățile tensorilor și ale momentului unghiular al unei particule (link inaccesibil - istoric ) . Preluat: 10 iunie 2009. (nedefinit) (link inaccesibil)
PRELEȚIA 20 Vectori și tensori patrudimensionali de rang II. (link indisponibil) . Centrul Științific și Educațional al Institutului Fizicotehnic cu numele A.F.Ioffe (22 februarie 2002). Consultat la 10 iunie 2009. Arhivat din original pe 29 noiembrie 2004. (nedefinit)