| poliedrul Schönhardt | ||
|---|---|---|
| poliedrul Schoenhardt | ||
| Tip de | poliedru neconvex | |
| Proprietăți |
Neconvex Fără diagonale interioare Netriunghiulizabil |
|
| Combinatorică | ||
| Elemente |
|
|
| Fațete | 8 triunghiuri | |
Poliedrul Schoenhardt este cel mai simplu poliedru neconvex care nu poate fi triangulat de tetraedre fără a adăuga noi vârfuri. Poliedrul poartă numele matematicianului german Erich Schönhardt , care l - a construit în 1928 .
Poliedrul Schoenhardt poate fi construit folosind două triunghiuri regulate congruente pe două plane paralele, astfel încât linia trasată prin punctele mijlocii ale triunghiurilor să fie perpendiculară pe planuri. Cele două triunghiuri trebuie rotite unul față de celălalt, astfel încât să nu fie nici o translație paralelă unul față de celălalt, nici o rotație de 180º.
Carcasa convexă a acestor două triunghiuri formează un poliedru convex , care este echivalent combinatoric cu un octaedru regulat . Alături de muchiile triunghiurilor originale, poliedrul are șase muchii care leagă aceste două triunghiuri, de două lungimi diferite și trei diagonale interne . Poliedrul Schoenhardt se obține prin îndepărtarea marginilor de legătură mai lungi și înlocuirea lor cu trei diagonale convexe ale carcasei.
Poliedrul Schoenhardt poate fi format și prin îndepărtarea a trei tetraedre din carcasa convexă. Fiecare tetraedru care trebuie îndepărtat este învelișul convex a patru vârfuri a două triunghiuri, câte două din fiecare. Această îndepărtare are ca rezultat înlocuirea muchiilor lungi de legătură cu trei muchii noi cu unghiuri diedrice concave , rezultând un poliedru neconvex.
Poliedrul Schoenhardt este echivalent combinatoriu cu un octaedru regulat . Adică, vârfurile, muchiile și fețele sale pot fi unu-la-unu asociate cu vârfurile, muchiile și fețele unui octaedru obișnuit. Dar, spre deosebire de un octaedru obișnuit, trei muchii au unghiuri diedrice concave, iar aceste trei muchii formează o potrivire perfectă a graficului octaedrului. Acest fapt este esențial pentru a demonstra absența triunghiulării.
Cele șase vârfuri ale poliedrului Schoenhardt pot fi folosite pentru a obține cincisprezece perechi neordonate de vârfuri. Douăsprezece dintre aceste cincisprezece perechi formează muchiile poliedrului - șase sunt muchiile a două fețe triunghiulare regulate, iar șase muchii conectează cele două triunghiuri. Cele trei margini rămase formează diagonalele poliedrului, dar se află complet în afara poliedrului.
Nu este posibilă împărțirea politopului Schönhardt în tetraedre ale căror vârfuri sunt vârfurile politopului. În plus, nu există nici un tetraedru care să se afle complet în interiorul poliedrului Schoenhardt și să aibă vârfurile poliedrului ca vârfuri. Într-adevăr, dintre oricare patru vârfuri ale unui politop Schoenhardt, cel puțin o pereche trebuie să fie o diagonală a politopului, iar diagonalele se află în întregime în afara politopului.
Ruppert și Seidel [1] au folosit politopul Schoenhardt ca bază pentru a demonstra completitudinea NP a verificării că un politop neconvex poate fi triangulat.