Colector Whitehead

O varietate Whitehead este un exemplu specific de 3 - varietate deschisă care este contractabilă, dar nu homeomorfă . Un exemplu a fost găsit de Henry Whitehead în 1935 în timp ce încerca să rezolve conjectura Poincaré . $\mathbb {R} ^{3}$

În cazurile unidimensionale și bidimensionale, nu există astfel de exemple.

Clădire

Pentru construcția într-o sferă tridimensională, se alege un tor solid neînnodat, apoi se alege al doilea tor solid astfel încât vecinătatea tubulară a meridianului să formeze o îngroșare a legăturii Whitehead . In acest caz meridianul poate fi contractat in complement iar meridianul poate fi contractat in complement . $T_{1}$ $T_{2}$ $T_{1}$ $T_{2}$ $T_{1}$ $T_{2}$ $T_{1}$ $T_{1}$ $T_{2}$

În continuare, se construiește un tor solid , încorporat în același mod ca și pentru ; această construcție poate fi continuată la infinit, obținându-se o succesiune de triple complete imbricate: $T_{3}$ $T_{2}$ $T_{2}$ $T_{1}$

T_{1}\subset T_{2}\subset T_{3}\subset \dots

Continuumul Whitehead este definit ca intersecția completelor construite:

W=\bigcap _{i}T_{i}

Complementul în sfera tridimensională este varietatea Whitehead. $W$

Proprietăți

Varietatea Whitehead, , nu este homeomorfă , dar produsul este homeomorf . $W$ $\mathbb {R} ^{3}$ $W\times\R$ $\R^4$
O varietate Whitehead conține un set compact astfel încât, pentru orice alt set compact, complementul nu este pur și simplu conectat . $K$ $K'\ supărat K$ $W\backslash K'$

Vezi și

colierul lui Antoine

Literatură

Kirby, Robion. Topologia cu 4-variete. - Springer-Verlag , 1989. - (Lecture Notes in Mathematics, 1374). — ISBN 0-387-51148-2 .