Model Vasicek

Modelul Vasicek este un model matematic de echilibru cu un singur factor care descrie evoluția așa-numitei rate a dobânzii instantanee .

Descriere

Modelul a fost propus de Oldrich Vasichek în 1977. Factorialitatea unică se datorează faptului că în model este implicată o singură sursă de incertitudine în dinamica ratei. Acest model presupune că rata dobânzii fluctuează în jurul unui anumit nivel mediu.

Acest model a fost primul care a luat în considerare tendința ratelor dobânzilor de a reveni la medie ( English mean reversion ): ratele dobânzilor nu pot crește la infinit, întrucât nivelul lor ridicat va limita activitatea economică și, după o anumită limită, o va aduce la nimic; pe de altă parte, tarifele sunt în mod natural limitate de jos. Astfel, ratele ar trebui să se miște într-un interval limitat.

Dezavantajul modelului lui Vasicek este că folosește o distribuție normală pentru coeficientul de deriva de volatilitate, care teoretic permite rate negative.

Model matematic

Matematic, modelul este scris ca următoarea ecuație diferențială stocastică de tip difuzie (ecuația Ornstein-Uhlenbeck ) [1] :

$dr_{t}=\alpha (\beta -r_{t})\Delta t+\sigma \epsilon {\sqrt {\Delta t)}$ ,

Unde:

$\epsilon {\sqrt {\Delta t)}$ — procesul Wiener ( — selecție aleatorie din distribuția normală standard la momentul t : ), $\epsilon$ $\epsilon \left(t\right)\sim \mathrm {N} \left(0,1\right)$
$\beta$ - nivelul mediu (pe termen lung) al ratei dobânzii,
$\alfa$ este un parametru care caracterizează rata de revenire la valoarea medie ( ), $0\leq \alpha \leq 1$
$\sigma$ — parametrul de volatilitate. În modelul Vasicek, volatilitatea ratei nu depinde de valoarea curentă a ratei.

În 1990 și 1991 au fost introduse modelele Black-Derman-Toy și, respectiv, Black-Karasinsky, introducând o volatilitate non-staționară.

Rezolvarea ecuației

Rezolvarea ecuației Vasicek are forma:

$r_{t}=r_{0}e^{{-\alpha t}}+\beta (1-e^{{-\alpha t}})+\sigma e^{{-\alpha t}}\ int _{0}^{t}e^{{\alpha s}}dW_{s}$

Așteptările matematice și volatilitatea ratei sunt egale cu:

$E(r_{t})=r_{0}e^{{-\alpha t}}+\beta (1-e^{{-\alpha t}})=\beta +(r_{0}-\ beta )e^{{-\alpha t}}~,~~V(r_{t})={\frac {\sigma ^{2}}{2\alpha }}(1-e^{{-2 \alpha t}})$

Prin urmare, atunci când avem o rată medie pe termen lung și o volatilitate $t\rightarrow\infty$ $E(r)=\beta ~,~~V(r)={\frac {\sigma ^{2}}{2\alpha }}$

Curba randamentului

Ecuația curbei randamentelor (structura pe termen a ratelor dobânzilor) corespunzătoare modelului Vasicek are forma:

$R(t)=R_{{\infty }}+(r_{0}-R_({\infty }}){\frac {1-e^{{-\alpha t}}}{\alpha t}} +{\frac {\sigma ^{2}(1-e^{{-\alpha t)))^{2}}{4\alpha ^{3}t}}~,~~R_{{\infty }}=\lim _{{t\rightarrow \infty }}R(t)=\beta +\lambda \sigma /a-0.5\sigma ^{2}/\alpha ^{2}$

$\lambda$ - preţul riscului de piaţă, determinat din condiţia absenţei arbitrajului în formarea obligaţiunilor cu scadenţe diferite.

Vezi și

Model de difuzie a evoluţiei ratelor dobânzilor

Note

↑ Meissner, Gunter. Modelarea și managementul riscului de corelare : un ghid aplicat care include cadrul de corelare Basel III - cu modele interactive în Excel/VBA . - Wiley, 2014. - P. 47. - ISBN 111879690X .