Așteptare morală

Așteptarea morală este o estimare a lotului, introdusă pentru prima dată de matematicianul elvețian Daniel Bernoulli . Spre deosebire de așteptarea matematică ( retur așteptat ), așteptarea morală depinde de starea jucătorului și ia implicit în considerare factorul de risc. Însuși termenul de „așteptare morală” aparține matematicianului francez Pierre Simon Laplace .

Definiție

Fie ca într-un joc câștigul să ia valori cu probabilități , unde , C este starea jucătorului înainte de începerea jocului. Atunci așteptarea morală este definită de egalitate: $x_i$ $p_{i}$ $i=1,2,...,n$

Mr(x,C)={\bar {\bar x}}=\prod _{{i=1}}^{n}(x_{i}+C)^{{p_{i}}}-C .

Vom desemna așteptarea morală sau când dorim să subliniem dependența acesteia de stat. ${\bara {\bara x))$ $Domnul(x,C)$

Proprietăți

Așteptarea morală crește strict monoton odată cu creșterea valorii statului C. $Domnul(x,C)$
Cu starea C tinde spre infinit, limita așteptării morale este egală cu așteptarea matematică:

\lim _{{C\to +\infty }}Mr(x,C)=M(x).

Aşteptarea morală este strict mai mică decât cea matematică: . $Domnul(x,C)<M(x)$
$Mr(x+a,C)=Mr(x,C+a)+a$ , unde a este o constantă reală arbitrară.
$Mr(a*x,C)=a*Mr(x,{\frac Ca})$ , unde a este o constantă reală pozitivă arbitrară.
$\lim _{{k\to +\infty }}k*Mr({\frac xk},C)=M(x)$ , unde k este un număr natural.

Iată așteptările matematice ale variabilei aleatoare . $M(x)=\sum _{{i=1}}^{n}p_{i}*x_{i}$ $X$

Informații de bază

Jucătorul nu evaluează întotdeauna lotul conform așteptărilor matematice, adică nu îl evaluează întotdeauna ca un câștig mediu. Altfel, companiile de asigurări ar fi rămas fără muncă de multă vreme. Intr-adevar, in problemele asigurarii de risc, cuantumul primei de asigurare depaseste prejudiciul preconizat. Să luăm în considerare un exemplu:
Să obții mult, care cu aceeași probabilitate poate aduce 40 de mii de euro de venit sau nimic. Conform așteptărilor matematice, acest lot valorează 20 de mii. Cu toate acestea, mulți vor fi de acord să-l vândă cu 18 mii. Aceasta din urmă înseamnă că acești oameni estimează lotul mai puțin de 18 mii. Dar există cei care doresc să cumpere acest lot pentru mai mult de 18 mii. Cumpărătorii, așadar, prețuiesc lotul mai mult de 18.000. De asemenea, se poate presupune că cumpărătorii lotului sunt mai bogați decât vânzătorii.

Bernoulli a sugerat că o creștere elementară a stării C dă o creștere a utilității stării Z cu o sumă proporțională cu această creștere și invers proporțională cu valoarea stării:

$dZ=k*{\frac {dC}C}$ , unde . Acest lucru generează în mod direct funcția de utilitate logaritmică a banilor . Atunci așteptarea matematică a utilității va lua forma: , din care se obține egalitatea care determină așteptarea morală. Bernoulli a publicat rezultatele în 1738 în articolul „An Experience of a New Theory of Lot Measurement”. Astfel, Bernoulli a construit o funcție de utilitate pentru un bun precum banii, cu mult înainte ca Jeremy Bentham să introducă conceptul de utilitate în teoria economică . Evaluarea lotului prin așteptare morală face deseori posibilă construirea unor modele matematice adecvate comportamentului entităților economice reale. $k>0$ $Z=ln(C)$ $\ln {({\bar {\bar x}}+C)}=\sum _{{i=1}}^{n}p_{i}*\ln {(x_{i}+C)}$

Exemplu

Nicholas Bernoulli este considerat a fi autorul problemei .

Negustorul Caius a cumpărat la Amsterdam mărfuri pe care le putea vinde la Sankt Petersburg cu 10.000 de ruble. Marfa va fi trimisă la Sankt Petersburg pe mare. Se știe că în această perioadă a anului, din 100 de nave, 5 sunt naufragiate. Comerciantul nu a găsit pe nimeni care să fie de acord să asigure încărcătura pentru mai puțin de 800 de ruble. Acceptând să asigure încărcătura în condițiile propuse, comerciantul își schimbă lotul pentru 9.200 de ruble garantate. Se propune, pe baza așteptărilor morale, să se răspundă la următoarele întrebări:

Ce condiție trebuie să aibă un comerciant (vânzător de loturi) pentru a fi de acord să-și asigure mărfurile în condițiile propuse?
Ce stare trebuie să aibă persoana care s-a angajat să asigure încărcătura (cumpărătorul de loturi)?

Așteptarea matematică a veniturilor în această problemă este de 9500 de ruble. Și ce se va schimba dacă comerciantul distribuie încărcătura în mod egal pe două nave. Așteptările matematice ale lotului vor fi în continuare 9500. Dar intuitiv, simțim că un astfel de lot costă mai mult. Și, într-adevăr, se dovedește că evaluarea lotului în funcție de așteptarea morală crește semnificativ.

Generalizarea conceptului de așteptare morală

Desigur, o generalizare apare în cazul în care o creștere elementară a stării dă o creștere a utilității statului cu o valoare invers proporțională cu un anumit grad al stării. Apoi ajungem la o clasă de funcții de utilitate ale banilor de forma , unde . În acest caz, cazul corespunde funcției de utilitate clasice, adică crescătoare și convexă în sus, iar cazul corespunde secțiunilor convexității descendente a funcției Friedmann . Atunci așteptarea morală generalizată poate fi definită după cum urmează. Așteptarea morală a ordinului s a unei variabile aleatoare x în starea C se numește cantitatea .Rețineți că așteptarea morală poate fi generalizată și în cazul în care variabila aleatoare are o distribuție continuă. $f(C)=C^{s}$ $s\în {(0;+\infty ]}$ $s\în {(0;1)}$ $s\în {(1;+\infty ]}$ $Mr^{{(s)}}(x,C)={\bar {\bar x}}=(\sum _{{i=1}}^{n}p_{i}*(x_{i} +C)^{s})^{{{\frac 1s}}}-C.$ $\lim _{{s\to 0}}Mr^{{(s)}}(x,C)=\prod _{{i=1}}^{n}(x_{i}+C)^{ {p_{i}}}-C.$

Literatură

Bernoulli D. Experiența unei noi teorii a măsurării lotului//Teoria comportamentului consumatorului și a cererii. - Sankt Petersburg. : Şcoala de Ştiinţe Economice, 1993. - 380 p. — 25.000 de exemplare. - ISBN 5-900428-02-8 .
Bely E.K., Belaya M.E. Teoria utilităţii banilor. Diversificarea unui portofoliu de valori mobiliare și alte sarcini cu evaluarea veniturilor prin așteptare morală. - Saarbrucken, Germania: Editura Academică LAB LAMBERT, 2012. - 84 p. - ISBN 978-3-8484-2665-2 .
Bely E. K. Aşteptarea morală şi sarcina diversificării unui portofoliu de valori mobiliare // Uchen. aplicația. Statul Petrozavodsk. universitate Ser. Științe sociale și umane. Nr. 1 (106). - Petrozavodsk: PetrGU, 2010. - 500 de exemplare.