Funcția multiplicativă

O funcție multiplicativă în teoria numerelor este o funcție aritmetică astfel încât pentru orice numere coprime și , este valabilă următoarele: $f(m)$ $m_1$ $m_2$

f(m_1 m_2) = f(m_1)f(m_2)

și

f(1)=1

Când prima condiție este îndeplinită, cerința este echivalentă cu faptul că funcția nu este identic egală cu zero. $f(1)=1$ $f(m)$

Funcțiile pentru care condiția de multiplicare este îndeplinită pentru toate naturalele se numesc complet multiplicative . O funcție este complet multiplicativă dacă și numai dacă relația este valabilă pentru orice numere naturale . $f(m)$ $m_{1},m_{2}$ $f$ $X y$ $f(xy)=f(x)f(y)$

Se spune că o funcție multiplicativă este puternic multiplicativă dacă:

f(p^\alpha) = f(p)

pentru toate numerele prime și toate naturale . $p$ $\alfa$

Exemple:

funcția este numărul de divizori naturali ai lui natural ; $\tau(m)$ $m$
funcția este suma divizorilor naturali ai lui natural ; $\sigma(m)$ $m$
funcția Euler ; $\varphi(m)$
Funcția Möbius . $\mămică)$
funcția este puternic multiplicativă. $\frac{\varphi(m)}{m}$
funcția de putere este complet multiplicativă. $f(m)=m^\alpha$

Clădire

Din teorema fundamentală a aritmeticii rezultă că se pot seta în mod arbitrar valorile unei funcții multiplicative pe numere prime și puterile lor și, de asemenea, se pot determina toate celelalte valori ale funcției rezultate din proprietatea multiplicativității. $f(n)$ $f(1)=1;$

Produsul oricăror funcții multiplicative este, de asemenea, o funcție multiplicativă.

Dacă este o funcție multiplicativă, atunci funcția $f(m)$

g(m) = \sum_{d|m} f(d)

va fi, de asemenea, multiplicativ. În schimb, dacă funcția definită de această relație este multiplicativă, atunci funcția originală este și multiplicativă. $g(m)$ $f(m)$

În plus, dacă și sunt funcții multiplicative, atunci convoluția lor Dirichlet va fi, de asemenea, multiplicativă : $f(m)$ $g(m)$

h(m) = \sum_{d|m} f(d) g\left(\frac{m}{d}\right)

Literatură

Graham R., Knut D., Patashnik O. Concrete Mathematics. - M . : „Mir”, 1998. - 703 p. — ISBN 5-03-001793-3 .
Nesterenko Yu. V. Teoria numerelor: un manual pentru studenți. superior manual stabilimente. - M . : Centrul de Editură „Academia”, 2008. - 272 p. - ISBN 978-5-7695-4646-4 .