Multipolar

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă revizuită de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 11 noiembrie 2016; verificările necesită 24 de modificări .

Multipoli (din latină multum - mulți și greacă πόλος - pol) - anumite configurații ale surselor punctiforme ( încărcări ). Cele mai simple exemple de multipol sunt o sarcină punctiformă, un multipol de ordin zero; două sarcini opuse în semn, egale în valoare absolută - dipol sau multipol de ordinul I; 4 sarcini de aceeași mărime absolută plasate la vârfurile unui paralelogram, astfel încât fiecare parte a acestuia conectează sarcini de semn opus (sau doi dipoli identici, dar direcționați în mod opus) - un cvadrupol sau un multipol de ordinul 2. Numele multipol include desemnarea numărului de sarcini (în latină) care formează multipolul, de exemplu, octupol (octu - 8) înseamnă că multipolul include 8 sarcini [1] .

Selectarea unor astfel de configurații este asociată cu extinderea câmpului [2] din sisteme complexe, limitate de spațiu de surse de câmp (inclusiv cazul unei distribuții continue a surselor) în câmpuri multiple - așa-numita „expansiune multipol” [3]. ] .

Câmpul poate însemna un câmp electrostatic sau magnetostatic, precum și câmpuri similare acestora (de exemplu, câmpul gravitațional newtonian) [4] .

O astfel de descompunere poate fi adesea folosită pentru o descriere aproximativă a câmpului dintr-un sistem complex de surse la o distanță mare (mult mai mare decât dimensiunea acestui sistem în sine) de acesta; în acest caz, este important ca câmpul multipolar al fiecărui ordin următor să scadă odată cu distanța mult mai repede decât cele anterioare, așa că deseori vă puteți restricționa la câțiva (în funcție de distanță și de precizia necesară) termeni ai (ordinelor inferioare). ) expansiune multipolară. Într-un alt caz, din diverse motive, expansiunea multipolară se dovedește a fi convenabilă chiar și atunci când toate ordinele sunt însumate (atunci este o serie infinită); în acest caz, dă o expresie exactă a câmpului nu numai în general, ci în principiu la orice distanță de sistemul de surse (cu excepția regiunilor sale interioare).

Pe lângă câmpurile statice (sau aproximativ statice), în legătură cu momentele multipolare, se vorbește adesea de radiație multipolară - radiație considerată ca fiind datorată schimbării în timp a momentelor multipolare ale sistemului emițător. Acest caz diferă prin aceea că în el câmpurile de diferite ordine scad la fel de rapid cu distanța, diferă în dependența de unghi.

Expansiunea multipolară a unui câmp scalar

Sistemul de sarcini punctuale în repaus

Potențialul electrostatic al unui sistem de sarcini într-un punct $\mathbf {R}$

\varphi ({\mathbf {R}})=\sum \limits _{i}{\frac {q_{i}}{|{\mathbf {R}}-{\mathbf {r}}_{i} |}},

unde sunt taxele și coordonatele acestora. Extindem acest potențial într- o serie Taylor , obținem $q_{i}$ ${\mathbf {r}}_{i}$

\varphi ({\mathbf {R)))=\sum \limits _{{l=0}}^{{\infty }}\varphi ^{{(l)))({\mathbf {R}}) ,

numită expansiune multipolară , unde este introdusă notația

\varphi ^{(l)}(\mathbf {R} )={\frac {(-1)^{l}}{l!}}\sum \limits _{i}q_{i}\ suma \limits _{\alpha _{1}\ldots \alpha _{l}}r_{i}^{\alpha _{1}}\dots r_{i}^{\alpha _{l}}{\ frac {\partial ^{l)){\partial R^{\alpha _{1))\dots \partial R^{\alpha _{l))))\left({\frac {1}{R} }\dreapta)

-potenţialele de câmp se numesc ordinea termenului expansiunii multipolare. Termenul de ordinul 0 are forma $2^l$ $l$

\varphi ^{{(0)}}({\mathbf {R}})={\frac {\sum \limits _{i}q_{i}}{R}},

care coincide cu potenţialul unei sarcini punctiforme (potenţialul unui monopol). Termenul de ordinul 1 este egal cu $Q=\sum \limits _{i}q_{i}$

\varphi ^{{(1)}}({\mathbf {R}})={\frac {\left(\sum \limits _{i}q_{i}{\mathbf {r}}_{i} \right){\mathbf {n}}}{R^{2}}},

unde este un vector unitar îndreptat de-a lungul . Dacă introducem momentul dipol al sistemului de sarcini ca , atunci sistemul va coincide cu potențialul dipolului punctual . Astfel, potențialul de ordinul I de expansiune în multipoli are forma ${\mathbf {n}}={\mathbf {R}}/R$ $\mathbf {R}$ ${\mathbf {d}}=\sum \limits _{i}q_{i}{\mathbf {r}}_{i}$ $\varphi ^{{(1)}}({\mathbf {R}})$

\varphi ({\mathbf {R))))={\frac {q}{R}}+{\frac ({\mathbf {d}}{\mathbf {n}}}{R^{2}}} +O\stânga({\frac {1}{R^{3}}}\dreapta).

Dacă , atunci momentul dipolar nu depinde de alegerea originii. Dacă , atunci puteți alege un sistem de coordonate centrat în punctul , atunci momentul dipol va deveni egal cu zero. Un astfel de sistem se numește sistem de centru de încărcare. Următorul termen de expansiune are forma $q=0$ $q\neq 0$ ${\mathbf {R}}_{0}={\mathbf {d}}/q$

\varphi ^{{(2)}}({\mathbf {R}})={\frac {D^{{\alpha _{1}\alpha _{2}}}n_{{\alpha _{1 ))}n_{{\alpha _{2}}}}{2R^{3}}},

unde este momentul cvadrupolar al sistemului de sarcini. Să introducem matricea momentului cvadrupolar . Apoi potențialul de ordinul 2 de expansiune în multipoli ia forma $D^{{\alpha _{1}\alpha _{2}}}=\sum \limits _{i}q_{i}(3r_{i}^{{\alpha _{1}}}r_{i }^{{\alpha _{2}}}-\delta ^{{\alpha _{1}\alpha _{2}}}{\mathbf {r}}_{i}^{2})$ $D$

\varphi ({\mathbf {R))))={\frac {q}{R}}+{\frac ({\mathbf {d}}{\mathbf {n}}}{R^{2}}} +{\frac {{\mathbf {n}}D{\mathbf {n}}}{2R^{3}}}+O\stânga({\frac {1}{R^{4}}}\dreapta ).

Matricea este fără urme , adică . În plus, este simetric , adică . Prin urmare, poate fi redusă la o formă diagonală prin rotirea axelor coordonatelor carteziene. $D$ ${\mathrm {tr}}D=0$ $D^{T}=D$

În cazul general, contribuția de ordinul trei la potențial poate fi reprezentată ca: $l$

\varphi ^{(l)}(\mathbf {R} )={\frac {d^{\alpha _{1}\dots \alpha _{l}}n_{\alpha _{1}} \dots n_{\alpha _{l}}}{l!R^{l+1}}},

unde este momentul câmpului sistemului de sarcini, care este un tensor ireductibil de ordinul al-lea. Acest tensor este simetric față de orice pereche de indici și dispare atunci când este pliat peste orice pereche de indici. $d^{{\alpha _{1}\dots \alpha _{l))}$ $2^l$ $l$

Sistem de încărcare distribuită

Dacă sarcina este distribuită cu o anumită densitate , trecând apoi la limita continuă (sau care derivă direct din formulele originale) în formulele pentru distribuția discretă, se poate obține o expansiune multipolară și în acest caz: $\rho ({\mathbf {r}})$

\varphi ({\mathbf {R)))=\int \limits _{{(V)}}{\frac {\rho ({\mathbf {r}})}{|{\mathbf {R}}- {\mathbf {r}}|}}d^{3}{\mathbf {r}},

unde este volumul în care se află sarcina distribuită. Atunci momentele multipolare au forma: $V$

q=\int \limits _{{(V)}}\rho ({\mathbf {r}})d^{3}{\mathbf {r}},

{\mathbf {d}}=\int \limits _{{(V)))\rho ({\mathbf {r}}){\mathbf {r}}d^{3}{\mathbf {r}} ,

D^{{\alpha _{1}\alpha _{2}}}=\int \limits _{{(V)))\rho ({\mathbf {r)))(3r^{{\alpha _ {1}}}r^{{\alpha _{2}}}-\delta ^{{\alpha _{1}\alpha _{2}}}{\mathbf {r}}^{2})d ^{3}{\mathbf {r}}

Formulele pentru potențialele multipolare rămân neschimbate. Cazul unui sistem discret de sarcini poate fi obținut prin înlocuirea densității de distribuție a acestora, care poate fi exprimată în termeni de funcții δ :

\rho ({\mathbf {r}})=\sum _{i}q_{i}\delta ({\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}_{i}).

La calcularea potențialului este utilă formula , unde sunt polinoamele Legendre , . [5] ${\frac {1}{|Rr|}}={\frac {1}{R}}\sum _{n=0}^{\infty }P_{n}(x)\left({ \frac {r}{R}}\right)^{n}$ $P_{{n}}(x)$ $x=\cos \theta$

Expansiunea multipolară a intensității câmpului electrostatic

Puterea câmpului electrostatic al sistemului de sarcini este egală cu gradientul potențialului electrostatic, luat cu semnul opus

{\mathbf {E}}({\mathbf {R}})=-\nabla \varphi ({\mathbf {R}}).

Înlocuind în această formulă puterea expansiunii multipolare a potențialului, obținem expansiunea multipolară a puterii câmpului electrostatic

{\mathbf {E}}({\mathbf {R}})=\sum \limits _{{l=0}}^({\infty }}{\mathbf {E}}^{{(l)} }({\mathbf {R}}),

Unde

(\mathbf {E} ^{(l)}(\mathbf {R} ))_{\alpha _{0}}={\frac {(-1)^{l+1}}{l !}}\sum \limits _{i}q_{i}r_{i}^{\alpha _{1}}\dots r_{i}^{\alpha _{n}}{\frac {\partial ^ {l+1}}{\partial R_{i}^{\alpha _{0}}\partial R_{i}^{\alpha _{1}}\dots \partial R_{i}^{\alpha _ {n}}}}\stânga({\frac {1}{R}}\dreapta)

- câmp electric - câmpuri. $2^l$

În special, câmpul unei sarcini punctiforme (monopol) are forma:

{\mathbf {E}}^{{(0)))({\mathbf {R}})={\frac {Q}{R^{2}}}{\mathbf {n}},

care corespunde legii lui Coulomb .

Câmpul unui dipol punctual:

{\mathbf {E}}^{{(1)}}({\mathbf {R}})={\frac {3({\mathbf {n}}{\mathbf {d}}){\mathbf { n}}-{\mathbf {d}}}{R^{3}}}.

Câmpul unui patrupol punctual:

{\mathbf {E}}^{{(2)))({\mathbf {R}})={\frac {5{\mathbf {n}}({\mathbf {n}}D{\mathbf { n)))-2D{\mathbf {n}}}{2R^{4}}}.

Astfel, câmpul electric al sistemului de sarcini în repaus în ordinul 2 al expansiunii multipolare are forma:

{\mathbf {E}}({\mathbf {R}})={\frac {Q}{R^{2}}}{\mathbf {n}}+{\frac {3({\mathbf {n }}{\mathbf {d}}){\mathbf {n}}-{\mathbf {d}}}{R^{3}}}+{\frac {5{\mathbf {n}}({\ mathbf {n}}D{\mathbf {n}})-2D{\mathbf {n}}}{2R^{4}}}+O\left({\frac {1}{R^{5}} }\dreapta).

Din această formulă, se obține ușor componenta normală (radială) a câmpului electric

E_{n}({\mathbf {R}})={\mathbf {n}}{\mathbf {E}}({\mathbf {R}})={\frac {Q}{R^{2} ))+{\frac {2{\mathbf {n}}{\mathbf {d}}}{R^{3}}}+{\frac {3{\mathbf {n}}D{\mathbf {n }}}{2R^{4}}}+O\stânga({\frac {1}{R^{5}}}\dreapta).

Componenta tangențială poate fi găsită prin scăderea normalului

E_{{\tau }}({\mathbf {R}})=E({\mathbf {R}})-{\mathbf {n}}{\mathbf {E}}({\mathbf {R}} )={\frac {({\mathbf {n}}{\mathbf {d}}){\mathbf {n}}-{\mathbf {d}}}{R^{3}}}+{\frac {{\mathbf {n}}({\mathbf {n}}D{\mathbf {n}})-D{\mathbf {n}}}{R^{4}}}+O\left({\ frac {1}{R^{5}}}\dreapta).

Dacă componenta normală (radială) reflectă o distribuție de sarcină simetrică sferic, atunci componenta tangențială reflectă o contribuție nesferică la câmpul electrostatic . Astfel, momentul cvadrupolar este interesant pentru investigație nu numai atunci când sarcina totală și momentul dipolului sistemului sunt egale cu zero, ci și atunci când contribuția Coulomb este diferită de zero. Apoi, în conformitate cu formula pentru componenta tangenţială, momentul cvadrupolar caracterizează gradul de nonsfericitate al câmpului electric în sistemul de centru de sarcină. Așa s-au măsurat momentele cvadrupolare electrice ale nucleelor atomice și s-a ajuns la concluzia că nu au simetrie sferică.

Expansiunea multipolară a unui câmp magnetic static

Potențialul vectorial al sarcinilor care se deplasează cu viteză constantă are forma:

{\mathbf {A}}({\mathbf {R}})={\frac {1}{c}}\sum \limits _{i}{\frac {q_{i}{\mathbf {v}} _{i}}{|{\mathbf {R}}-{\mathbf {r}}_{i}}|}}

În mod similar, se descompune într-o expansiune multipolară:

{\mathbf {A}}({\mathbf {R}})=\sum \limits _{{l=1}}^({\infty }}{\mathbf {A}}^{{(l)} }({\mathbf {R}}).

Seria începe cu , deoarece nu există sarcini magnetice (în fizica interacțiunilor fundamentale nu s-au găsit încărcături magnetice, deși pot fi folosite ca model pentru descrierea fenomenelor din fizica stării solide). Acest termen corespunde unui dipol magnetic (un contur punct circular care transportă curent): $l=1$

{\mathbf {A}}^{{(1)))({\mathbf {R}})={\frac {[{\mathbf {m}},{\mathbf {R}}]}{R^ {3}}},

unde este momentul magnetic al sistemului de curenți (sarcini în mișcare): ${\mathbf {m}}$

{\mathbf {m}}={\frac {1}{2c}}\sum \limits _{i}q_{i}[{\mathbf {r}}_{i},{\mathbf {v}} _{i}]

Literatură

Landau L. D. , Lifshits E. M. Teoria câmpului. - ediția a VII-a, revizuită. — M .: Nauka , 1988. — 512 p. - (" Fizica teoretică ", Volumul II). — ISBN 5-02-014420-7 .
Prohorov A. M. (ed.). Enciclopedie fizică . - M .: Enciclopedia Sovietică , 1992. - T. 3. - 672 p. — ISBN 5-85270-034-7 .
Denisov V. I. Capitolul II. Câmpuri electromagnetice staționare // Prelegeri de electrodinamică. Tutorial. - Ed. a II-a - M . : Editura UNC DO, 2007. - 272 p. - ISBN 978-5-88800-330-5 .

Note

↑ Prohorov A. M. (ed.). Enciclopedie fizică . - M .: Enciclopedia Sovietică , 1992. - T. 3. - 672 p. — ISBN 5-85270-034-7 .
↑ Desigur, câmpul prezentat poate fi atât potențial, cât și tensiune.
↑ Denisov V.I. Capitolul II. Câmpuri electromagnetice staționare // Prelegeri de electrodinamică. Tutorial. - Ed. a II-a - M . : Editura UNC DO, 2007. - 272 p. - ISBN 978-5-88800-330-5 .
↑ Pentru câmpurile, precum cele gravitaționale, care nu au sarcini negative, expansiunea multipolară conține doar ordine pare. În acest caz, sarcinile negative în multipoli de ordine pare (de exemplu, într-un patrupol) sunt considerate în acest caz pur formal.
↑ Li Tsung-dao Metode matematice în fizică. - M.: Mir, 1965. - p.146