Radiație multipolară

Radiația multipolară este radiație datorată schimbării în timp a momentelor multipolare ale sistemului. Folosit pentru a descrie radiația electromagnetică sau gravitațională dintr-o distribuție variabilă în timp (nestaționară) a surselor îndepărtate. Descompunerea multipolară se aplică fenomenelor fizice care apar la diferite scări, de la undele gravitaționale datorate coliziunii galaxiilor până la radiațiile gamma datorate dezintegrarii radioactive [1] [2] [3] . Radiația multipolară este analizată în moduri similare cu cele utilizate pentru expansiunea multipolarăcâmpuri din surse staţionare. Cu toate acestea, există diferențe importante, deoarece câmpurile de radiație multipolară se comportă oarecum diferit față de câmpurile de la surse staționare. Acest articol se referă în primul rând la radiația electromagnetică multipolară, deși undele gravitaționale sunt tratate în mod similar.

Proprietățile radiației multipolare

Linearitatea momentelor

Deoarece ecuațiile lui Maxwell sunt liniare, câmpul electric și câmpul magnetic depind liniar de distribuția sursei. Liniaritatea permite calcularea independentă a câmpurilor din diferite momente multipolare și adăugarea acestora pentru a obține câmpul total al sistemului. Acesta este binecunoscutul principiu al suprapunerii .

Dependența momentelor multipolare de punctul de referință

Momentele multipolare sunt calculate în raport cu un punct de referință fix, care este luat ca origine a sistemului de coordonate dat. Deplasarea originii modifică momentele multipolare ale sistemului, cu excepția primului moment diferit de zero. [4] [5] De exemplu, momentul monopol al unei sarcini este pur și simplu mărimea sarcinii totale a sistemului. Schimbarea punctului de referință nu va schimba niciodată acest moment. Dacă momentul de monopol este egal cu zero, atunci momentul dipol al sistemului va fi invariant translațional. Dacă ambele momente de monopol și dipol sunt egale cu zero, atunci momentul cvadrupol este invariant la deplasare etc. Deoarece momentele de ordin superior depind de poziția originii, ele nu pot fi considerate proprietăți invariante ale sistemului.

Dependența câmpului de distanță

Câmpul din momentul multipolar depinde atât de distanța de la originea coordonatelor, cât și de orientarea unghiulară a punctului considerat față de sistemul de coordonate. [4] În special, dependența radială a câmpului electromagnetic de momentul staționar este proporțională cu [2] . Astfel, câmpul electric de la un monopol electric este invers proporțional cu pătratul distanței. În mod similar , un moment dipol electric creează un câmp care este invers proporțional cu cubul distanței și așa mai departe. Pe măsură ce distanța crește, contribuția momentelor de ordin superior devine mult mai mică decât contribuția momentelor de ordin inferior. Prin urmare, momentele de ordin înalt pot fi omise pentru a facilita calculele. ${\displaystyle 2^{\ell ))$ $1/r^{\ell +2}$

Dependența radială a undelor de radiație multipolară diferă de câmpurile cazului staționar, deoarece aceste unde transportă energie departe de sistem. Deoarece energia trebuie conservată, o analiză geometrică simplă arată că densitatea de energie a unei radiații sferice de rază trebuie să fie proporțională cu . Pe măsură ce unda sferică se extinde, energia sa fixă trebuie distribuită pe o sferă cu suprafață . În consecință, fiecare moment multipolar dependent de timp trebuie să contribuie la densitatea energiei radiate proporțional cu , indiferent de ordinea momentului. În consecință, momentele de ordin înalt nu pot fi aruncate la fel de ușor ca în cazul staționar. Totuși, chiar și în acest caz, coeficienții multipol ai sistemului scad în general cu o ordine crescătoare, de obicei proporțional cu , astfel încât câmpurile radiate pot fi încă aproximate prin eliminarea momentelor de ordin înalt [5] . $r$ $1/r^{2}$ $4\pi r^{2}$ $1/r^{2}$ $1/(2\ell +1)!!$

Câmpuri electromagnetice dependente de timp

Surse

Distribuțiile surselor dependente de timp pot fi exprimate folosind analiza Fourier . Acest lucru permite ca diferite frecvențe să fie analizate independent unele de altele.

Densitatea de sarcină este dată de

\rho (\mathbf {x},t)=\int _{-\infty }^{\infty}d\omega \,{\hat {\rho ))(\mathbf {x},\omega )e^{-i\omega t}

si densitatea curentului

\mathbf {J} (\mathbf {x} ,t)=\int _{-\infty }^{\infty }d\omega \,{\hat {\mathbf {J} ))(\mathbf {x} ,\omega )e^{-i\omega t}

[6] .

Pentru comoditate, începând din acest moment, considerăm o singură frecvență unghiulară ; prin urmare $\omega$

\rho (\mathbf {x} ,t)=\rho (\mathbf {x} )e^{-i\omega t)

\mathbf {J} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {J} (\mathbf {x} )e^{-i\omega t)

Principiul suprapunerii poate fi aplicat pentru a generaliza rezultatele la mai multe frecvențe [5] .

Cantitățile vectoriale sunt îngroșate. Convenția standard de luare a părții reale a unui număr complex este folosită pentru a exprima mărimile fizice.

Momentul unghiular intrinsec al particulelor elementare (vezi Spin ) poate influența radiația electromagnetică a surselor. Pentru a lua în considerare aceste efecte, se ia în considerare magnetizarea internă a sistemului . Cu toate acestea, pentru comoditate, luarea în considerare a acestor efecte va fi amânată până la discutarea radiației multipolare generalizate. $\mathbf {M} (\mathbf {x} ,t)$

Potențiale

Distribuțiile sursei pot fi integrate pentru a obține potențialul electric φ și potențialul magnetic A dependent de timp . Formulele sunt exprimate ținând cont de ecartamentul Lorentz în unități SI [5] [6] .

\phi (\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0)}}\int d^{3}\mathbf {x'} \int dt' {\frac {\rho (\mathbf {x'} ,t')}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2))}\delta \left(t'-( t-{\frac {\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2)){c)))\right)

\mathbf {A} (\mathbf {x} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int d^{3}\mathbf {x'} \int dt'{\frac {\mathbf {J} (\mathbf {x'} ,t')}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2))}\delta \left (t'-(t-{\frac {\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2)){c)))\right)

În aceste formule , c este viteza luminii în vid, este funcția delta Dirac și este distanța euclidiană de la punctul de plecare al sursei x′ la punctul x considerat . $\delta$ $\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2)$

Integrarea distribuțiilor surselor dependente de timp dă

\phi (\mathbf {x},t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0)}}e^{-i\omega t}\int d^{3}\ mathbf {x'} \rho (\mathbf {x'} ){\frac {e^{ik\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2))}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}}

{\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {x} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}e^{-i\omega t}\int d^{3 }\mathbf {x'} \mathbf {J} (\mathbf {x'} ){\frac {e^{ik\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}} {\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2))))

unde k =ω/ c . Aceste formule servesc ca bază pentru analiza radiației multipolare.

Expansiune multipolară la distanțe mici de la sursă

Distanțele mici sunt o regiune a spațiului în apropierea sursei în care câmpul electromagnetic poate fi considerat cvasi-staționar. Dacă distanța până la punctul considerat de la sursă este mult mai mică decât lungimea de undă a radiației , atunci . Ca rezultat, exponentul poate fi aproximat în această regiune după cum urmează (vezi seria Taylor ): $r=\|\mathbf {x} \|_{2)$ $\lambda =2\pi /k$ $kr\ll 1$

e^{ik\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2))=1+O(kr)

În această aproximare, dependența de x ′ rămasă este aceeași ca pentru sistemul staționar și se aplică aceeași analiză [4] [5] . De fapt, potențialele la un moment dat în timp la distanțe mici de sursă pot fi calculate prin simpla luare a unui instantaneu al sistemului și tratându-l ca și cum ar fi staționar. Prin urmare, acest caz se numește cvasi-staționar [5] . În special, distanța reciprocă este extinsă folosind funcții sferice , care sunt integrate independent pentru a obține coeficienți sferici multipol (vezi expansiune multipol ). $1/\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2)$

Expansiune multipolară la distanțe mari de la sursă: radiație multipolară

La distanțe mari de sursa de înaltă frecvență, , au loc următoarele aproximări: $\lambda \ll r$

{\frac {1}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}}={\frac {1}{r}}+O(1/r^ {2})

e^{ik\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}=e^{ik(r-\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} + O(1/r))}=e^{ikr-ik\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} }(1+O(1/r))

Deoarece la distanțe mari de sursă doar termenii de ordinul întâi sunt semnificativi, expansiunea se reduce în esență la: $1/r$

{\frac {e^{ik\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2))}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \| _{2}}}={\frac {e^{ikr}}{r}}(1-ik(\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} )+{\frac {(-ik)^ {2}}{2}}(\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} )^{2}+...)+O(1/r^{2})

Fiecare grad corespunde unui moment multipolar diferit. Mai jos sunt primele câteva puncte. $\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'}$

Radiația unui monopol electric, imposibilitatea existenței

Termenul de ordinul zero, , în raport cu potențialul scalar dă: ${\frac {e^{ik\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2))}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \| _{2}}}\rightarrow {\frac {e^{ikr}}{r}}$

\phi _{\text{monopol electric}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {e^{ikr -i\omega t}}{r}}\int d^{3}\mathbf {x'} \rho (\mathbf {x'} )={\frac {e^{ikr-i\omega t}} {4\pi \epsilon _{0}r}}q

unde sarcina totală a sistemului este un monopol electric care oscilează la frecvența ω. Legea conservării sarcinii electrice impune ca $q=\int d^{3}\mathbf {x'} \rho (\mathbf {x'} )$ $q=0$

q(t)=\int d^{3}\mathbf {x'} \rho (\mathbf {x'} ,t)=\int d^{3}\mathbf {x'} \rho ( \mathbf {x'} )e^{-i\omega t}=qe^{-i\omega t}

Dacă sistemul este închis, atunci mărimea sarcinii nu poate fluctua, ceea ce înseamnă că amplitudinea oscilației q trebuie să fie egală cu zero. Prin urmare, . Câmpurile corespunzătoare și puterea de radiație trebuie de asemenea să fie egale cu zero [5] . $\phi _{\text{monopol electric}}(\mathbf {x} ,t)=0$

Radiație dipol electric

Potențial dipol electric

Radiația unui dipol electric poate fi obținută luând în considerare termenul de ordinul zero, , aplicat potențialului vectorial [5] . ${\frac {e^{ik\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2))}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \| _{2}}}\rightarrow {\frac {e^{ikr}}{r}}$

\mathbf {A} _{\text{dipol electric}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {e^ {ikr-i\omega t}}{r}}\int d^{3}\mathbf {x'} \mathbf {J} (\mathbf {x'} )

Integrarea pe părți dă [7]

\int d^{3}\mathbf {x'} \mathbf {J} (\mathbf {x'} )=-\int d^{3}\mathbf {x'} \mathbf {x'} (\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {J} (\mathbf {x'} ))

Și ecuația continuității sarcinii arată

{\frac {\partial \rho (\mathbf {x} ,t)}{\partial t))+\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {J} (\mathbf {x} ,t) =\left(-i\omega \rho (\mathbf {x} )+\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {J} (\mathbf {x} )\right)e^{-i\omega t} =0

De aici rezultă că

\mathbf {A} _{\text{dipol electric}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {-i\omega \mu _{0}}{4\pi }}{\ frac {e^{ikr-i\omega t}}{r}}\int d^{3}\mathbf {x'} \mathbf {x'} \rho (\mathbf {x'} )

Rezultate similare pot fi obținute luând în considerare termenul de ordinul întâi, , așa cum este aplicat potențialului scalar. ${\frac {e^{ik\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2))}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \| _{2}}}\rightarrow {\frac {e^{ikr}}{r}}(-ik)(\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} )$

Mărimea amplitudinii momentului dipol electric al sistemului

\mathbf {d} =\int d^{3}\mathbf {x'} \mathbf {x'} \rho (\mathbf {x'} )

Acest lucru ne permite să exprimăm potențialele ca

\phi _{\text{dipol electric}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {-ik}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {e^{ ikr-i\omega t}}{r}}\mathbf {n} \cdot \mathbf {d}

\mathbf {A} _{\text{dipol electric}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {-i\omega \mu _{0}}{4\pi }}{\ frac {e^{ikr-i\omega t}}{r}}\mathbf {d}

Câmpuri electrice de dipol

Odată găsite potențialele dependente de timp, câmpul electric și câmpul magnetic dependent de timp pot fi calculate în mod obișnuit. Și anume,

\mathbf {E} (\mathbf {x},t)=-\mathbf {\nabla} \phi (\mathbf {x},t)-{\frac {\partial \mathbf {A} (\ mathbf {x} ,t)}{\partial t))

\mathbf {B} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {\nabla } \times \mathbf {A} (\mathbf {x} ,t)

sau, într-o regiune a spațiului fără sursă, relația dintre câmpul magnetic și câmpul electric poate fi folosită pentru a obține

\mathbf {H} (\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{\mu _{0)}}\mathbf {\nabla} \times \mathbf {A} (\mathbf { x} ,t)

\mathbf {E} (\mathbf {x} ,t)={\frac {iZ_{0}}{k}}\mathbf {\nabla } \times \mathbf {H} (\mathbf {x} ,t)

unde este impedanța de undă a vidului . $Z_{0}={\sqrt {\mu _{0}/\epsilon _{0)))$

Câmpuri electrice și magnetice care corespund potențialelor de mai sus:

\mathbf {H} _{\text{dipol electric}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {ck^{2}}{4\pi }}(\mathbf {n} \ ori \mathbf {d} ){\frac {e^{ikr-i\omega t}}{r}}

\mathbf {E} _{\text{dipol electric}}(\mathbf {x} ,t)=Z_{0}(\mathbf {H} _{\text{dipol electric}}\times \mathbf {n} )

care corespunde undelor radiaţiilor sferice [5] .

Puterea de radiație a unui dipol electric

Densitatea fluxului de energie folosind vectorul Poynting . Rezultă că densitatea fluxului de energie medie în timp pe unitatea de unghi solid este determinată de $\mathbf {S} =\mathbf {E} \times \mathbf {H}$

{\frac {dI(\mathbf {x} )}{d\Omega }}={\frac {r^{2}}{2}}\Re (\mathbf {n} \cdot \mathbf { E} \times \mathbf {H} )

Produsul scalar cu dă mărimea radiației, iar factorul 1/2 se obține din media timpului. După cum sa explicat mai sus, elimină dependența radială a densității energiei radiate. După cum se aplică dipolului electric, obținem $\mathbf {n}$ $r^{2}$

{\frac {dI_{\text{dipol electric}}(\mathbf {x} )}{d\Omega }}={\frac {c^{2}Z_{0}}{32\pi ^ {2}}}k^{4}\|\mathbf {d} \|_{2}^{2}\sin ^{2}\theta

unde θ se măsoară relativ la [5] . $\mathbf{d}$

Integrarea peste sferă dă puterea totală de radiație:

I_{\text{dipol electric}}={\frac {c^{2}Z_{0}}{12\pi }}k^{4}\|\mathbf {d} \|_{2 }^{2}

Radiația dipol magnetică

Potențial dipol magnetic

Termenul de ordinul întâi, , în raport cu potențialul vectorial dă radiația unui dipol magnetic sau radiația unui cvadrupol electric [5] . ${\frac {e^{ik\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2))}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \| _{2}}}\rightarrow {\frac {e^{ikr}}{r}}(-ik)(\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} )$

\mathbf {A} _{\text{dipol magnetic / cvadrupol electric}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {e^{ikr-i\omega t}}{r}}(-ik)\int d^{3}\mathbf {x'} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} )\mathbf {J} (\mathbf {x'} )

Integrandul poate fi împărțit în părți simetrice și antisimetrice peste n și x ′

(\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} )\mathbf {J} (\mathbf {x'} )={\frac {1}{2)}\left((\mathbf {n } \cdot \mathbf {x'} )\mathbf {J} (\mathbf {x'} )+(\mathbf {n} \cdot \mathbf {J} (\mathbf {x'} ))\mathbf {x '} \right)+{\frac {1}{2}}(\mathbf {x'} \times \mathbf {J} (\mathbf {x'} ))\times \mathbf {n}

Al doilea termen conține magnetizarea efectivă datorată curentului și integrarea dă momentul dipolului magnetic $\mathbf {M} _{\text {eficient}}(\mathbf {x'} )=1/2(\mathbf {x'} \times \mathbf {J} (\mathbf {x'} ) )$ $\mathbf {m} =\int d^{3}\mathbf {x'} \mathbf {M} _{\text {eficient}}(\mathbf {x'} )$

\mathbf {A} _{\text{dipol magnetic}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {-ik\mu _{0}}{4\pi }}{\frac { e^{ikr-i\omega t}}{r}}\mathbf {m} \times \mathbf {n}

Rețineți că are un aspect similar . Aceasta înseamnă că câmpul magnetic creat de un dipol magnetic se comportă în mod similar cu câmpul electric de la un dipol electric. În mod similar, câmpul electric de la un dipol magnetic este similar cu câmpul magnetic de la un dipol electric. $\mathbf {A} _{\text{dipol magnetic)}$ $\mathbf {H} _{\text{dipol electric)}$

Efectuarea transformărilor

\mathbf {E} _{\text{dipol electric}}\rightarrow Z_{0}\mathbf {H} _{\text{dipol magnetic}}

\mathbf {H} _{\text{dipol electric}}\rightarrow {\frac {-1}{Z_{0}}}\mathbf {E} _{\text{dipol magnetic}}

\mathbf {d} \rightarrow \mathbf {m} /c

în calculele anterioare dă rezultate pentru un dipol magnetic [5] .

Câmpuri dipolare magnetice

\mathbf {E} _{\text{dipol magnetic}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {-k^{2}Z_{0}}{4\pi }}(\ mathbf {n} \times \mathbf {m} ){\frac {e^{ikr-i\omega t}}{r}}

\mathbf {H} _{\text{dipol magnetic}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {-1}{Z_{0}}}(\mathbf {E} _{\ text{dipol magnetic}}\times \mathbf {n} )

[5]

Puterea de radiație a unui dipol magnetic

Densitatea fluxului de energie de radiație dipol magnetică medie în timp pe unitatea de unghi solid este determinată de

{\frac {dI_{\text{dipol magnetic}}(\mathbf {x} )}{d\Omega }}={\frac {Z_{0}}{32\pi ^{2}}} k^{4}\|\mathbf {m} \|_{2}^{2}\sin ^{2}\theta

unde θ este măsurat prin dipolul magnetic relativ . ${\mathbf {m}}$

Puterea totală de radiație [5] :

I_{\text{dipol magnetic}}={\frac {Z_{0}}{12\pi }}k^{4}\|\mathbf {m} \|_{2}^{2}

Radiația cvadrupol electrică

Potențial de patrupol electric

Partea simetrică a integrandului din secțiunea anterioară poate fi pro-integrată prin aplicarea integrării pe părți și a ecuației de continuitate a sarcinii , așa cum sa făcut deja pentru radiația dipol electric.

{\frac {1}{2}}\int d^{3}\mathbf {x} \left((\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} )\mathbf {J} (\ mathbf {x'} )+(\mathbf {n} \cdot \mathbf {J} (\mathbf {x'} ))\mathbf {x'} \right)={\frac {-i\omega }{2 }}\int d^{3}\mathbf {x'} \mathbf {x'} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} )\rho (\mathbf {x'} )

\mathbf {A} _{\text{cvadrupol electric}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {-k\omega \mu _{0}}{8\pi }}{\ frac {e^{ikr-i\omega t}}{r}}\int d^{3}\mathbf {x'} \mathbf {x'} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} )\rho (\mathbf {x'} )

Să introducem tensorul de moment cvadrupolar electric fără urme . Restricționarea celui de-al doilea indice la vectorul normal ne permite să exprimăm potențialul vectorial ca [5] $D_{\alpha \beta}=\int d^{3}\mathbf {x'} (3x'_{\alpha }x'_{\beta }-\|\mathbf {x'} \| _{2}^{2}\delta _{\alpha \beta })\rho (\mathbf {x'} )$ $[D(\mathbf {n} )]_{\alpha }=\sum _{\beta}D_{\alpha \beta }n_{\beta )$

\mathbf {A} _{\text{dipol electric}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {-k\omega \mu _{0}}{8\pi }}{\ frac {e^{ikr-i\omega t}}{r}}{\frac {1}{3}}\mathbf {D(n)}

Câmpuri cvadrupolare electrice

Câmpurile magnetice și electrice rezultate [5] :

\mathbf {H} _{\text{cvadrupol electric}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {-ick^{3}}{24\pi }}{\frac {e^ {ikr-i\omega t}}{r}}\mathbf {n} \times \mathbf {D(n)}

\mathbf {E} _{\text{cvadrupol electric}}(\mathbf {x} ,t)=Z_{0}(\mathbf {H} _{\text{cvadrupol electric}}\times \mathbf {n} )

Puterea de radiație a unui cvadrupol electric

Densitatea de flux de energie medie în timp a radiației unui cvadrupol electric pe unitatea de unghi solid este determinată de

{\frac {dI_{\text{cvadrupol electric}}(\mathbf {x} )}{d\Omega }}={\frac {c^{2}Z_{0}}{1152\pi ^ {2}}}k^{6}\|(\mathbf {n} \times \mathbf {D(n)} )\times \mathbf {n} \|_{2}^{2}

Puterea totală de radiație [5] :

I_{\text{cvadrupol electric}}={\frac {c^{2}Z_{0}}{1440\pi }}k^{6}\sum _{\alpha ,\beta }D_{ \alpha \beta }^{2}

Radiație multipolară generalizată

Pe măsură ce momentul multipolar al sistemului de sarcini distribuite crește, calculele directe folosite până acum devin prea greoaie. Analiza momentelor superioare necesită o abordare teoretică mai generală. Ca și înainte, luăm în considerare doar o singură frecvență . Prin urmare, sarcina, curentul și densitățile interne de magnetizare sunt determinate de $\omega$

\rho (\mathbf {x} ,t)=\rho (\mathbf {x} )e^{-i\omega t)

\mathbf {J} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {J} (\mathbf {x} )e^{-i\omega t)

\mathbf {M} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {M} (\mathbf {x} )e^{-i\omega t)

respectiv.

Câmpurile electrice și magnetice rezultate au aceeași dependență de timp ca și sursele

\mathbf {E} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {E} (\mathbf {x} )e^{-i\omega t)

\mathbf {H} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {H} (\mathbf {x} )e^{-i\omega t)

Utilizarea acestor definiții și ecuații de continuitate ne permite să scriem ecuațiile lui Maxwell sub forma:

\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} (\mathbf {x} )=-{\frac {iZ_{0}}{k}}\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {J } (\mathbf {x} )

\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {H} (\mathbf {x} )=-\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {M} (\mathbf {x} )

\mathbf {\nabla} \times \mathbf {E} (\mathbf {x} )=ikZ_{0}\left(\mathbf {H} (\mathbf {x})+\mathbf {M} ( \mathbf {x} )\right)

\mathbf {\nabla} \times \mathbf {H} (\mathbf {x} )=-{\frac {ik}{Z_{0)}}\mathbf {E} (\mathbf {x}) +\mathbf {J} (\mathbf {x} )

Aceste ecuații pot fi combinate prin aplicarea unei bucle la ultimele ecuații și aplicarea identității . Aceasta oferă formele vectoriale ale ecuației Helmholtz neomogene : $\mathbf {\nabla } \times (\mathbf {\nabla } \times \mathbf {V} )=\mathbf {\nabla} (\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {V} )-\ mathbf {\nabla } ^{2}\mathbf {V}$

(\nabla ^{2}+k^{2})\mathbf {E} (\mathbf {x} )=-\left[ikZ_{0}\mathbf {J} (\mathbf {x}) +ikZ_{0}\mathbf {\nabla } \times \mathbf {M} (\mathbf {x} )+{\frac {iZ_{0}}{k}}\mathbf {\nabla } (\mathbf {\ nabla } \cdot \mathbf {J} (\mathbf {x} ))\right]

(\nabla ^{2}+k^{2})\mathbf {H} (\mathbf {x} )=-\left[k^{2}\mathbf {M} (\mathbf {x} )+\mathbf {\nabla } \times \mathbf {J} (\mathbf {x} )+\mathbf {\nabla } (\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {M} (\mathbf {x} ) )\dreapta]

Soluții pentru ecuația de unde

Ecuațiile de undă omogene care descriu radiația electromagnetică cu o frecvență într-o regiune fără surse au forma: $\omega$

(\mathbf {\nabla } ^{2}+k^{2})\mathbf {\Psi } (\mathbf {x} )=0

Funcția de undă poate fi reprezentată ca suma armonicilor sferice vectoriale $\mathbf {\Psi} (\mathbf {x} )$

\mathbf {\Psi} (\mathbf {x} )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }f_{\ell m}(kr)\mathbf {X} _{\ell m}(\theta ,\phi )

f_{\ell m}(kr)=A_{\ell m}^{(1)}h_{\ell }^{(1)}(kr)+A_{\ell m}^{(2 )}h_{\ell }^{(2)}(kr)

unde sunt armonici sferice vectoriale normalizate și și sunt funcții Hankel sferice (vezi funcțiile Bessel ). Un operator diferenţial este un operator de moment unghiular cu proprietatea . Coeficienții și corespund undelor care se extind și, respectiv, se contractă. Astfel, în cazul radiațiilor . Pentru a determina coeficienții rămași, se utilizează funcția lui Green . Dacă ecuația sursei $\mathbf {X} _{\ell m}(\theta,\phi)=\mathbf {L} Y_{\ell m}(\theta,\phi)/{\sqrt {\ell (\ell +1)}}$ $h_{\ell }^{(1))$ $h_{\ell }^{(2))$ $\mathbf {L} =-i\mathbf {x} \times \mathbf {\nabla }$ $L^{2}Y_{\ell m}=\ell (\ell +1)Y_{\ell m)$ $A_{\ell m}^{(1))$ $A_{\ell m}^{(2))$ $A_{\ell m}^{(2)}=0$

(\mathbf {\nabla } ^{2}+k^{2})\mathbf {\Psi } (\mathbf {x} )=-\mathbf {V} (\mathbf {x} )

apoi solutie:

\Psi _{\alpha }(\mathbf {x} )=\sum _{\beta }\int d^{3}\mathbf {x'} G_{\alpha \beta}(\mathbf {x } ,\mathbf {x'} )V_{\beta }(\mathbf {x'} )

Funcția lui Green poate fi exprimată în termeni de armonici sferice vectoriale:

G_{\alpha \beta}(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^ {\ell }ikh_{\ell }^{(1)}(kr)j_{\ell }(kr')X_{\ell m\alpha }(\theta ,\phi )X_{\ell m\beta } ^{*}(\theta ',\phi ')

Rețineți că este un operator diferențial care acționează asupra funcției sursă . $\mathbf {X} _{\ell m}^{*}=Y_{\ell m}^{*}\mathbf {L} /{\sqrt {\ell (\ell +1))}$ ${\mathbf {V}}$

Deci soluția ecuației de undă este:

\mathbf {\Psi} (\mathbf {x} )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }{\frac { ik}{\sqrt {\ell (\ell +1)}}}h_{\ell }^{(1)}(kr)\mathbf {X} _{\ell m}(\theta ,\phi )\ int d^{3}\mathbf {x'} j_{\ell }(kr')Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\mathbf {L'} \cdot \mathbf {V} (\mathbf {x'} )

Câmpuri electrice multipolare

Aplicând soluția obținută mai sus la ecuația de undă electrică multipolară

(\nabla ^{2}+k^{2})\mathbf {H} (\mathbf {x} )=-\left[k^{2}\mathbf {M} (\mathbf {x} )+\mathbf {\nabla } \times \mathbf {J} (\mathbf {x} )+\mathbf {\nabla } (\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {M} (\mathbf {x} ) )\dreapta]

obținem soluția pentru câmpul magnetic [5] :

\mathbf {H} ^{(E)}(\mathbf {x} )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }a_{\ell m}^{(E)}h_{\ell }^{(1)}(kr)\mathbf {X} _{\ell m}(\theta ,\phi )

a_{\ell m}^{(E)}={\frac {ik}{\sqrt {\ell (\ell +1)))}\int d^{3}\mathbf {x'} j_{\ell }(kr')Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\mathbf {L'} \cdot \left[k^{2}\mathbf {M} ( \mathbf {x'} )+\mathbf {\nabla '} \times \mathbf {J} (\mathbf {x'} )+\mathbf {\nabla '} (\mathbf {\nabla '} \cdot \mathbf {M} (\mathbf {x'} ))\dreapta]

Câmp electric:

\mathbf {E} ^{(E)}(\mathbf {x} )={\frac {iZ_{0}}{k}}\mathbf {\nabla } \times \mathbf {H} ^{ (E)}(\mathbf {x} )

Formula poate fi simplificată prin aplicarea identităților

\mathbf {L} \cdot \mathbf {V} (\mathbf {x} )=i\mathbf {\nabla } \cdot (\mathbf {x} \times \mathbf {V} (\mathbf {x } } ))

\mathbf {L} \cdot (\mathbf {\nabla } \times \mathbf {V} (\mathbf {x} ))=i\nabla ^{2}(\mathbf {x} \cdot \mathbf {V} (\mathbf {x} ))-{\frac {i\partial }{r\partial r}}(r^{2}\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {V} (\mathbf { X))

\mathbf {L} \cdot \mathbf {\nabla } s(\mathbf {x} )=0

la integrand, care dă [5]

a_{\ell m}^{(E)}={\frac {-ik^{2}}{\sqrt {\ell (\ell +1)))}\int d^{3}\ mathbf {x'} j_{\ell }(kr')Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\left[-ik\mathbf {\nabla } \cdot (\mathbf { x'} \times \mathbf {M} (\mathbf {x'} ))-{\frac {i}{k}}\nabla ^{2}(\mathbf {x'} \cdot \mathbf {J} (\mathbf {x'} ))-{\frac {c\partial }{r'\partial r'}}(r'^{2}\rho (\mathbf {x'} ))\right]

Teorema lui Green și integrarea pe părți conduc formula la

a_{\ell m}^{(E)}={\frac {-ik^{2}}{\sqrt {\ell (\ell +1)))}\int d^{3}\ mathbf {x'} j_{\ell }(kr')Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\left[-ik\mathbf {\nabla } \cdot (\mathbf { x'} \times \mathbf {M} (\mathbf {x'} ))+ik\mathbf {x'} \cdot \mathbf {J} (\mathbf {x'} )\right]+cY_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\rho (\mathbf {x'} ){\frac {\partial }{\partial r'}}(r'j_{\ell }(kr' ))

funcția sferică Bessel poate fi, de asemenea, simplificată dacă presupunem că lungimea de undă a radiației este mult mai mare decât dimensiunile sursei, ceea ce este cazul pentru majoritatea antenelor. $j_{\ell }(kr')$

j_{\ell }(kr')={\frac {(kr')^{\ell }}{(2\ell +1)!!}}+O((kr')^{\ell +2})

Înlăturând toți termenii, cu excepția termenilor celor mai mici ordine, obținem o formă simplificată a coeficienților electrici multipoli [5] :

a_{\ell m}^{(E)}={\frac {-ick^{\ell +2}}{(2\ell +1)!!}}\left({\frac {\ ell +1}{\ell }}\right)^{1/2}[Q_{\ell m}+Q_{\ell m}']

Q_{\ell m}=\int d^{3}\mathbf {x'} r'^{\ell }Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\ rho (\mathbf {x'} )

Q_{\ell m}'=-{\frac {ik}{c(\ell +1)))\int d^{3}\mathbf {x'} r'^{\ell }Y_{ \ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\mathbf {\nabla } \cdot (\mathbf {x'} \times \mathbf {M} (\mathbf {x'} ))

$Q_{\ell m)$ este același moment multipolar ca și în cazul staționar dacă s-ar aplica unei distribuții de sarcină staționară , în timp ce corespunde momentului multipolar electric indus din magnetizarea intrinsecă a surselor originale. $\rho(\mathbf{x})$ $Q_{\ell m}'$

Câmpuri magnetice multipolare

Aplicând soluția obținută mai sus la ecuația undei magnetice multipolare

(\nabla ^{2}+k^{2})\mathbf {E} (\mathbf {x} )=-\left[ikZ_{0}\mathbf {J} (\mathbf {x}) +ikZ_{0}\mathbf {\nabla } \times \mathbf {M} (\mathbf {x} ))+{\frac {iZ_{0}}{k}}\mathbf {\nabla } (\mathbf { \nabla } \cdot \mathbf {J} (\mathbf {x} ))\right]

obținem soluția pentru câmpul electric [5] :

\mathbf {E} ^{(M)}(\mathbf {x} )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }a_{\ell m}^{(M)}h_{\ell }^{(1)}(kr)\mathbf {X} _{\ell m}(\theta ,\phi )

a_{\ell m}^{(M)}={\frac {ik}{\sqrt {\ell (\ell +1))}}\int d^{3}\mathbf {x'} j_{\ell }(kr')Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\mathbf {L'} \cdot \left[ikZ_{0}\mathbf {J} (\ mathbf {x} )+ikZ_{0}\mathbf {\nabla } \times \mathbf {M} (\mathbf {x} ))+{\frac {iZ_{0}}{k}}\mathbf {\nabla } (\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {J} (\mathbf {x} ))\right]

Un câmp magnetic:

\mathbf {H} ^{(M)}(\mathbf {x} )=-{\frac {i}{kZ_{0}}}\mathbf {\nabla } \times \mathbf {E} ^ {(M)}(\mathbf {x} )

Ca și înainte, formula este simplificată:

a_{\ell m}^{(M)}={\frac {-ik^{2}}{\sqrt {\ell (\ell +1)))}\int d^{3}\ mathbf {x'} j_{\ell }(kr')Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\left[\mathbf {\nabla } \cdot (\mathbf {x' } \times \mathbf {J} (\mathbf {x'} ))-k^{2}\mathbf {x'} \cdot \mathbf {M} (\mathbf {x'} )\right]+Y_{ \ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {M} (\mathbf {x'} ){\frac {\partial }{\partial r' ))(r'j_{\ell }(kr'))

Înlăturând toți termenii, cu excepția termenilor celor mai mici ordine, obținem o formă simplificată a coeficienților multipoli magnetici [5] :

a_{\ell m}^{(M)}={\frac {-ik^{\ell +2}}{(2\ell +1)!!}}\left({\frac {\ ell +1}{\ell }}\right)^{1/2}[M_{\ell m}+M_{\ell m}']

M_{\ell m}={\frac {1}{\ell +1}}\int d^{3}\mathbf {x'} r'^{\ell }Y_{\ell m}^ {*}(\theta ',\phi ')\mathbf {\nabla } \cdot (\mathbf {x'} \times \mathbf {J} (\mathbf {x'} ))

M_{\ell m}'=\int d^{3}\mathbf {x'} r'^{\ell }Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ') \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {M} (\mathbf {x'} )

$M_{\ell m)$ este momentul multipolar magnetic al magnetizării efective și corespunde magnetizării intrinseci . $\mathbf {x} \times \mathbf {J} (\mathbf {x} )/2$ $M_{\ell m}'$ $\mathbf {M} (\mathbf {x} )$

Soluție generală

Câmpurile electrice și magnetice sunt combinate pentru a da câmpurile finale [5] :

\mathbf {E} (\mathbf {x} ,t)=\Re \left(\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ ell }\left[a_{\ell m}^{(M)}h_{\ell }^{(1)}(kr)\mathbf {X} _{\ell m}(\theta ,\phi )+ {\frac {iZ_{0}}{k}}a_{\ell m}^{(E)}\mathbf {\nabla } \times (h_{\ell }^{(1)}(kr)\mathbf {X} _{\ell m}(\theta ,\phi ))\right]e^{-i\omega t}\right)

\mathbf {H} (\mathbf {x} ,t)=\Re \left(\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ ell }\left[a_{\ell m}^{(E)}h_{\ell }^{(1)}(kr)\mathbf {X} _{\ell m}(\theta ,\phi )- {\frac {i}{kZ_{0))}a_{\ell m}^{(M)}\mathbf {\nabla } \times (h_{\ell }^{(1)}(kr)\mathbf {X} _{\ell m}(\theta ,\phi ))\right]e^{-i\omega t}\right)

Rețineți că funcția radială poate fi simplificată pentru distanțe mari . $h_{\ell }^{(1)}(kr)$ $1/r\ll 1$

h_{\ell }^{(1)}(kr)=(-i)^{\ell +1}{\frac {e^{ikr}}{kr}}+O(1/r^ {2})

Astfel, se restabilește dependența radială a radiației.

Vezi și

Note

↑ Hartle, James B. Gravitația: o introducere în relativitatea generală a lui Einstein . — Addison-Wesley , 2003. — ISBN 0-8053-8662-9 .
↑ 12 Rose, M.E. Câmpuri multipolare . — John Wiley & Sons , 1955. Arhivat 24 iunie 2021 la Wayback Machine
↑ Blatt, John M. Fizica nucleară teoretică - Tipărirea a șaptea / John M. Blatt, Victor F. Weisskopf. - John Wiley & Sons , 1963. - ISBN 0-471-30932-X . Arhivat pe 24 iunie 2021 la Wayback Machine
↑ 1 2 3 Raab, Roger E. Multipole Theory in Electromagnetism / Roger E. Raab, Owen L. de Lange. - Oxford University Press , 2004. - ISBN 978-0-19-856727-1 . Arhivat pe 24 iunie 2021 la Wayback Machine
↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 Jackson, John David. Electrodinamică clasică - Ediția a treia . — John Wiley & Sons , 1999. — ISBN 0-471-30932-X .
↑ 1 2 Hafner, Christian. Tehnica multipolară generalizată pentru electromagnetică computațională . - Casa Artech , 1990. - ISBN 0-89006-429-6 . Arhivat pe 24 iunie 2021 la Wayback Machine
↑ Robert G. Brown. Calcul vectorial: Integrare prin părți . Electrodinamică clasică: partea a II-a (28 decembrie 2007). Preluat la 19 iunie 2021. Arhivat din original la 4 martie 2016. (nedefinit)