Cel mai mic multiplu comun

Cel mai mic multiplu comun ( ) a două numere întregi este cel mai mic număr natural care este divizibil cu și fără rest, adică un multiplu al ambelor. Indicat într-unul din următoarele moduri: $\mathrm {HOK}$ $m$ $n$ $m$ $n$

$\mathrm {HOK} (m,n)$ ;
$[m,n]$ ;
$\mathrm {LCM} (m,n)$ sau (din engleză cel mai mic multiplu comun ). $\mathrm {lcm} (m,n)$

Exemplu: . $\mathrm {HOK} (16,20)=80$

Cel mai mic multiplu comun al numerelor multiple este cel mai mic număr natural care este divizibil cu fiecare dintre acele numere.

Una dintre cele mai frecvente utilizări este reducerea fracțiilor la un numitor comun . $\mathrm {HOK}$

Proprietăți

Comutativitate : . $\mathrm {lcm} (a,b)=\mathrm {lcm} (b,a)$
Asociativitate : . $\mathrm {lcm} (a,\mathrm {lcm} (b,c))=\mathrm {lcm} (\mathrm {lcm} (a,b),c)$
Relația cu cel mai mare divizor comun : $\mathrm {gcd} (a,b)$ $\operatorname {lcm}(a,b)={\frac {|a\cdot b|}{\operatorname {gcd}(a,b))).$
În special, dacă și sunt numere coprime , atunci $A$ $b$ $\operatorname {lcm}(a,b)=a\cdot b.$
$\operatorname {lcm}(a_{1}^{n},a_{2}^{n},...,a_{k}^{n})=(\operatorname {lcm}(a_{1}, a_{2},...,a_{k}))^{n}$ la $n\geqslant 0.$
Cel mai mic multiplu comun a două numere întregi și este divizorul tuturor celorlalți multipli comuni și . Mai mult decât atât, mulțimea multiplilor comuni pentru , coincide cu mulțimea multiplilor pentru . $m$ $n$ $m$ $n$ $m$ $n$ $\mathrm {HOK} (m,n)$
Asimptoticele pentru pot fi exprimate în termenii unor funcții teoretice numerelor . Asa de: $\operatorname {lcm}(1,2,\ldots ,n)$
- Funcția Cebyshev $\psi (x)=\ln \operatorname {lcm} (1,2,\ldots ,\lfloor x\rfloor );$
- $\operatorname {lcm} (1,2,\ldots,n)\leqslant g\left({\frac {n(n+1)}{2))\right)\sim e^{\sqrt { {\frac {n(n+1)}{2}}\ln {\frac {n(n+1)}{2}}}},$ care rezultă din definiţia şi proprietăţile funcţiei Landau ; $g(n)$
- $\operatorname {lcm} (1,2,\ldots, n)\sim e^{n+o(1)},$ care rezultă din legea distribuţiei numerelor prime .

Găsirea NOC

$\mathrm {HOK} (a,b)$ poate fi calculată în mai multe moduri.

1. Dacă se cunoaște cel mai mare divizor comun , puteți folosi relația acestuia cu : $\mathrm {HOK}$

\operatorname {lcm}(a,b)={\frac {|a\cdot b|}{\operatorname {gcd}(a,b)))

2. Fie cunoscută descompunerea canonică a ambelor numere în factori primi :

a=p_{1}^{{d_{1}}}\cdot \dots \cdot p_{k}^{{d_{k}}},

b=p_{1}^{{e_{1}}}\cdot \dots \cdot p_{k}^{{e_{k}}},

unde sunt numere prime distincte și și sunt numere întregi nenegative (pot fi zero dacă primul corespunzător nu este în expansiune). Apoi se calculează cu formula: $p_{1},\dots ,p_{k}$ $d_{1},\dots ,d_{k}$ $e_{1},\dots ,e_{k}$ $\mathrm {HOK} (a,b)$

\operatorname {lcm} (a,b)=p_{1}^{\max(d_{1},e_{1})}\cdot \dots \cdot p_{k}^{\max(d_ {k},e_{k})}.

Cu alte cuvinte, expansiunea conține toți factorii primi incluși în cel puțin una dintre expansiunile numerelor , iar cel mai mare este luat din exponenții acestui factor. Exemplu pentru mai multe numere: $\mathrm {HOK}$ $a,b$

56\;\,\;\,=2^{3}\cdot 3^{0}\cdot 7^{1)

9\;\,\;\,=2^{0}\cdot 3^{2}\cdot 7^{0}

21\;\,=2^{0}\cdot 3^{1}\cdot 7^{1}.

\operatorname {lcm} (56,9,21)=2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 7^{1}=8\cdot 9\cdot 7=504.

Calculul celui mai mic multiplu comun al mai multor numere poate fi, de asemenea, redus la mai multe calcule consecutive din două numere: $\mathrm {HOK}$

$\operatorname {lcm}(a,b,c)=\operatorname {lcm}(\operatorname {lcm}(a,b),c);$
$\operatorname {lcm}(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})=\operatorname {lcm}(\operatorname {lcm}(a_{1},a_{2},\ldots , a_{{n-1}}),a_{n}).$

Vezi și

Cel mai mare divizor comun

Literatură

Vinogradov I.M. Fundamentele teoriei numerelor . - M. - L. : GITTL, 1952. - 180 p.

Link -uri

Weisstein, Eric W. Least Common Multiple (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .

Dicționare și enciclopedii	mare danez Rusă mare Brockhaus și Efron Nou Britannica (online)