Ecuații naturale

Ecuaţii naturale - relaţii de curbură şi torsiune a curbelor biregulare . O proprietate remarcabilă a ecuațiilor naturale este că se poate reconstrui în mod unic o curbă din ele. Ecuații naturale, ecuații care exprimă curbura și torsiunea unei curbe în funcție de arcul acesteia: , . Denumirea „Ecuații naturale” se explică prin faptul că funcțiile și nu depind de poziția curbei în spațiu (de alegerea sistemului de coordonate), ci depind doar de forma curbei. Două curbe de trei ori diferențiabile continuu având aceleași ecuații naturale pot diferi una de cealaltă doar prin poziția lor în spațiu. Cu alte cuvinte, forma unei curbe este determinată în mod unic de ecuațiile sale naturale. Dacă sunt date două funcții continue și , dintre care prima este pozitivă, atunci există întotdeauna o curbă pentru care aceste funcții sunt, respectiv, curbură și torsiune. $k$ $\varkappa$ $k=k(s)$ $\varkappa =\varkappa (s)$ $k(s)$ $\varkappa(s)$ $k(s)$ $\varkappa(s)$

Ecuații naturale ale curbelor plane

Fie o funcție netedă arbitrară. În acest caz, există o curbă , care este unică până la mișcarea de păstrare a orientării a planului, parametrizată de un parametru natural și astfel încât în toate punctele curbei. Aici, mărimea este curbura orientată a curbei . $f(e)$ $\gamma$ $s$ $f(s)=k_{o}(s)$ $k_{o}(s)$ $\gamma$

Ecuații naturale în trei dimensiuni

Fie și să fie două funcții netede arbitrare și să fie pozitive. Apoi există o curbă parametrizată de parametrul natural , a cărei curbură și torsiune sunt egale în fiecare punct și respectiv. O astfel de curbă este unică până la o mișcare a spațiului care păstrează orientarea. $f(e)$ $g(e)$ $f(e)$ $\gamma$ $s$ $f(e)$ $g(e)$