Geometria diferențială a curbelor

Geometria diferențială a curbelor este o ramură a geometriei diferențiale care se ocupă cu studiul curbelor spațiale și plane netede în spațiul euclidian prin metode analitice .

Modalități de definire a unei curbe

Cea mai generală modalitate de a seta ecuația unei curbe de spațiu este parametrică :

x=x(t),\quad y=y(t),\quad z=z(t)\qquad \qquad

(unu)

unde sunt funcțiile netede ale parametrului și (condiția de regularitate). $x(t),\ y(t),\z(t)$ $t$ $(x')^{2}+(y')^{2}+(z')^{2}\ >0$

Este adesea convenabil să folosiți o notație invariantă și compactă a ecuației unei curbe folosind o funcție vectorială :

{\mathbf {r}}={\mathbf {r}}(t)

unde în partea stângă este vectorul rază a punctelor curbei, iar partea dreaptă determină dependența acestuia de un parametru . Expandând această notație în coordonate, obținem formula (1). $t$

În funcție de proprietățile de diferențiere ale funcțiilor care definesc curba, se vorbește despre gradul de netezime (regularitate) al curbei. O curbă se numește regulată dacă pentru oricare dintre punctele sale, cu o alegere adecvată a unui sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare , ea permite, în vecinătatea acestui punct, să fie dată prin ecuații de forma: $x(t),\ y(t),\z(t)$ $x,\y,\z$

y=y(x),\z=z(x)

unde și sunt funcții diferențiabile. $y(x)\$ $z(x)\$

Pentru ca un punct al curbei dat de ecuația generală (1) să fie un punct obișnuit (nu un punct singular ), este suficient ca următoarea inegalitate să fie valabilă în acest punct

(x')^{{2}}+(y')^{{2}}+(z')^{{2}}\ >0.

Geometria diferențială ia în considerare și curbele netede pe bucăți , care constau din secțiuni netede separate prin puncte singulare. La puncte singulare, funcțiile definitorii fie nu îndeplinesc condițiile de regularitate, fie nu sunt deloc diferențiabile.

Curbe plate

O clasă importantă de curbe sunt curbele plane, adică curbele care se află într-un plan. O curbă plană poate fi specificată și parametric, prin primele două dintre cele trei ecuații (1). Alte metode:

Atribuire explicită: . $y=f(x)\$
Atribuire implicită: . $F(x,\ y)=0$

Se presupune că funcțiile sunt diferențiabile continuu. Cu o atribuire implicită, un punct al curbei va fi obișnuit dacă în vecinătatea sa funcția are derivate parțiale continue care nu sunt egale cu zero în același timp. $f,\ F$ $F(x,y)\$ $F_{x}',\ F_{y}'$

Să dăm exemple de puncte singulare pentru curbe plane.

Parabola semicubică : ambele derivate sunt zero la origine. Acesta este un punct singular (un vârf de primul fel), la care vectorul tangent își schimbă brusc direcția spre opus. $x=t^{2};\ \ y=at^{3}.$
Ecuația definește o curbă constând dintr-o linie dreaptă și un punct singular izolat la origine. $(x-1)(x^{2}+y^{2})\ =0$ $x=1\$

Lemniscata lui Bernoulli este un punct singular la auto-intersecție. La punctul singular, funcția este diferențiabilă, dar condiția de regularitate este încălcată.

Contact

O serie de concepte de bază ale teoriei curbelor sunt introduse cu ajutorul conceptului de contact al mulțimilor , care constă în următoarele. Fie și două mulțimi cu un punct comun . Se spune că un set are contact cu la un punct de comandă dacă $M$ $m$ $O$ $M$ $m$ $O$ $\alpha \geqslant 1$

{\frac {\delta (X)}{\left|XO\right|^({\alpha ))))\la 0

la ,

X\la O

unde este distanța punctului de referință de la . $\delta (X)$ $X$ $M$ $m$

Așa cum se aplică curbelor, aceasta înseamnă următoarele: două curbe într-un punct comun au un grad de tangență de cel puțin ordinul k , dacă derivatele lor în punctul comun, până la ordinul k inclusiv, coincid.

Tangenta

Dacă luăm o curbă ca a, și o linie dreaptă care trece printr-un punct al curbei, atunci sub condiția de contact determină tangenta la curbă în punctul (Fig. 1). Tangenta într-un punct al curbei poate fi definită și ca poziție limită a secantei care trece prin și aproape de punctul în care tinde spre . $M$ $m$ $O$ $\alpha \geqslant 1$ $O$ $P$ $P$ $P_1$ $P_1$ $P$

O curbă regulată netedă are o tangentă definită în fiecare punct. Direcția tangentei în punctul curbei dat de ecuațiile (1) coincide cu direcția vectorului . În notația vectorială, aceasta este derivata . $t_0$ $\{x'(t_{0}),\ y'(t_{0}),\ z'(t_{0})\}$ ${\frac {d{\mathbf {r}}}{dt}}(t_{0})$

În geometria diferențială, ecuațiile tangente sunt derivate pentru diferite moduri de specificare analitică a unei curbe. În special, pentru curba dată de ecuațiile (1), ecuațiile tangentei în punctul corespunzător valorii parametrului vor fi $t_0$

{\frac {X-x_{0}}{x_{0}'}}={\frac {Y-y_{0}}{y_{0}'}}={\frac {Z-z_{0} {z_{0}'}}

unde indicele indică valoarea funcţiilor şi derivatelor acestora la punctul . ${}_{0}\$ $x,y,z\$ $t_{0}\$

Pentru o curbă plană, ecuația tangentei la un punct are următoarea formă. $(x_{0},\ y_{0})$

Sarcină parametrică: $Y=y_{0}+{\frac {y_{0}'}{x_{0}'}}(X-x_{0})$
Atribuire explicită: $Y=y_{0}+f_{0}'(X-x_{0})\$
Job implicit: $Y=y_{0}-{\frac {(F_{x}')_{0}}{(F_{y}')_{0}}}(X-x_{0})$

Plan contigu și normale

Dacă luăm ca plan care trece prin punctul curbei , atunci condiția de contact la determină planul de contact al curbei (Fig. 1). O curbă dublu diferențiabilă are un plan contiguu în fiecare punct. Este fie unic, fie orice plan care trece prin tangenta curbei este tangent. $m$ $O$ $M$ $\alpha \geqslant 2$

Fie ecuația curbei. Apoi ecuația planului său contiguu este determinată din relația unde și între paranteze este produsul mixt al vectorilor. În coordonate, arată astfel: ${\mathbf {r}}={\mathbf {r}}(t)$ $(\mathbf {R} -\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',\mathbf {r} '')=0,$ $\mathbf {R} =(X,Y,Z)$

{\begin{vmatrix}Xx&Y-y&Z-z\\x'&y'&z'\\x''&y''&z''\end{vmatrix}}=0

O dreaptă perpendiculară pe tangentă și care trece prin punctul de contact se numește normală la curbă . Planul perpendicular pe tangente într-un punct dat al curbei se numește plan normal ; toate normalele pentru un punct dat se află în planul normal. Normalul situat în planul de contact se numește normală principală , iar normala perpendiculară pe planul de atingere se numește binormal [1] . De asemenea, pentru concizie, vectorii unitari de-a lungul acestor linii pot fi numiți normali și binormali (în acest caz, direcția vectorului normal principal este de obicei aleasă pentru a coincide cu direcția vectorului de curbură al curbei [2] ).

Ecuația vectorială a binormalului în punctul corespunzător valorii parametrului are forma: $t_0$ $t$

{\boldsymbol {r}}(\lambda )={\boldsymbol {r}}(t_{0})+\lambda [{\boldsymbol {r}}'(t_{0}),~{\boldsymbol {r }}''(t_{0})].

Directia normalei principale poate fi obtinuta ca produs dublu cruce : . $[[\mathbf {r} ',\ \mathbf {r} ''],\ \mathbf {r} ']$

Pentru o curbă plană, planul care o conține coincide cu planul tangent. Normalul, până la semn, este doar unul - principalul, iar ecuația sa într-un punct are următoarea formă. $(x_{0},\ y_{0})$

Sarcină parametrică: $Y=y_{0}-{\frac {x_{0}'}{y_{0}'}}(X-x_{0})$
Atribuire explicită: $Y=y_{0}-{\frac {X-x_{0}}{f_{0}'}}$
Job implicit: $Y=y_{0}+{\frac {(F_{y}')_{0}}{(F_{x}')_{0}}}(X-x_{0})$

Cerc contiguu

Cercul care atinge curba într-un punct dat are contact de ordine cu curba (Fig. 2). Există în fiecare punct al unei curbe dublu diferențiabile cu curbură diferită de zero (vezi mai jos) și este, de asemenea, limita unui cerc care trece prin și două puncte apropiate de acesta atunci când tinde spre . $P$ $\alpha \geqslant 2$ $P$ $P_{1},\ P_{2}$ $P_{1},\ P_{2}$ $P$

Centrul cercului învecinat se numește centru de curbură , iar raza se numește raza de curbură . Raza de curbură este inversul curburii (vezi mai jos). Centrul unui cerc care se atinge se află întotdeauna pe normala principală; de aici rezultă că această normală este întotdeauna îndreptată spre concavitatea curbei.

Locul centrelor de curbură ale unei curbe se numește evoluție . O curbă care intersectează ortogonal tangentele curbei se numește evolventă . Construcția unei evolute și a unei evolvente sunt operații reciproc inverse, adică pentru evolventa unei curbe date, evoluția este curba însăși.

Lungimea arcului curbei

Pentru a măsura lungimea unei secțiuni (arc) a unei curbe arbitrare, această curbă este înlocuită cu o polilinie care conține puncte de curbă ca puncte de întrerupere, iar suma maximă a lungimilor tuturor acestor polilinii este luată ca lungime a curbei (Fig. 3). Într-o formă invariantă, formula pentru calcularea lungimii unui arc ( îndreptarea unei curbe ) este:

s=\int \limits _{{t_{1}}}^{{t_{2}}}|{\mathbf {r'}}(t)|\,dt

Același lucru în coordonatele carteziene:

s=\int \limits _{{t_{1}}}^{{t_{2}}}{\sqrt {(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2 }+(z'(t))^{2}}}\,dt.

În coordonatele polare pentru o curbă plată:

s=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {r^{2}+\left({\frac {dr}{d\theta }}\right)^{2}}}\, d\theta .

Parametrizare

Curba admite un număr infinit de moduri diferite de alocare parametrică prin ecuații de forma (1). Printre acestea, așa-numita parametrizare naturală este de o importanță deosebită , atunci când lungimea arcului curbei, măsurată dintr-un punct fix, servește ca parametru.

Printre avantajele acestei parametrizări:

${\mathbf {r))'$ are lungimea unitară și deci coincide cu vectorul unitar al tangentei.
${\mathbf {r))''$ coincide în lungime cu curbura și în direcție cu normala principală.

Curbură

Când se deplasează de-a lungul unei curbe, tangenta acesteia își schimbă direcția. Viteza acestei rotații (raportul dintre unghiul de rotație al tangentei într-o perioadă de timp infinit de mică față de acest interval) cu mișcare uniformă, cu viteză unitară, de-a lungul curbei se numește curbura curbei. Derivata în timp a vectorului unitar pozitiv al tangentei se numește în acest caz vectorul de curbură al curbei . Ambele sunt funcții ale unui punct de pe curbă. Curbura este valoarea absolută a vectorului de curbură.

În cazul unei specificații parametrice arbitrare a unei curbe [3] , curbura curbei în spațiul tridimensional este determinată de formula

k_{1}={\frac {\left|[\mathbf {r} '(t)\times \ \mathbf {r} ''(t)]\right|}{\left|\mathbf { r} '(t)\right|^{3}}}

unde este o funcție vectorială cu coordonate . ${\mathbf {r}}(t)$ $x(t),\ y(t),\z(t)$

În coordonate:

k_{1}={\frac {{\sqrt {(z''y'-y''z')^{2}+(x''z'-z''x')^{2}+( y''x'-x''y')^{2}}}}{(x'^{2}+y'^{2}+z'^{2})^{{3/2}} }}

Pentru o curbă într-un spațiu de dimensiuni mai mari, se poate înlocui produsul încrucișat , notat aici prin paranteze pătrate, cu produsul exterior .

De asemenea, pentru o curbă într-un spațiu de orice dimensiune, puteți utiliza formula vectorială de curbură:

{\mathbf k}={\frac {d{\mathbf \tau }}{dl}}

și faptul că curbura este modulul său, precum și expresia pentru vectorul tangent unitar

{\mathbf \tau }={\frac {d{\mathbf r}}{dl}}={\frac {r'}{|r'|}}

și

dl=|{\mathbf r}'|dt,

și obțineți formula pentru curbură:

k=\left|{\frac {1}{|{\mathbf r}'|}}\left({\frac {{\mathbf r}'}{|{\mathbf r}'|}}\dreapta) „\dreapta|,

sau, deschiderea parantezei:

k=\left|{\frac {{\mathbf r}''}{({\mathbf r}')^{2))}-{\mathbf r}'{\frac {({\mathbf r}' ',{\mathbf r}')}{({\mathbf r}')^{4))}\right|.

Liniile drepte și numai liniile drepte au curbură zero peste tot. Prin urmare, curbura arată clar cum (la un punct dat) curba diferă de o linie dreaptă: cu cât curbura este mai aproape de zero, cu atât este mai mică această diferență. Curbura unui cerc cu raza R este 1/R.

O curbă dublu diferențiabilă în fiecare punct în care curbura este diferită de zero are un singur plan contiguu.

Pentru curbele plane, se poate distinge direcția de rotație a tangentei atunci când se deplasează de-a lungul curbei, astfel încât curburii i se poate atribui un semn în funcție de direcția acestei rotații. Curbura unei curbe plane data de ecuatii este determinata de formula $x=x(t),\ y=y(t)$

k=\pm {\frac {y''x'-x''y'}{(x'^{2}+y'^{2})^{{3/2))))

Semnul sau este luat prin convenție, dar se păstrează de-a lungul întregii curbe. $+$ $-$

Torsion

Când se deplasează de-a lungul unei curbe în vecinătatea unui punct dat, planul de contact se rotește, iar tangenta la curbă este axa instantanee a acestei rotații. Viteza de rotație a planului de contact în timpul mișcării uniforme, cu viteza unitară, se numește torsiune . Sensul de rotație determină semnul răsucirii.

O curbă diferențiabilă de trei ori are o anumită torsiune în fiecare punct cu curbură diferită de zero. În cazul unei specificații parametrice arbitrare a curbei prin ecuațiile (1), torsiunea curbei este determinată de formula

k_{2}={\frac {(\mathbf {r} ',\mathbf {r} '',\mathbf {r} ''')}{\left|[\mathbf {r} '\ ori \ \mathbf {r} '']\right|^{2}}},

aici desemnează produsul mixt și este produsul vectorial , adică $(*,*,*)$ $[*,*]$

k_{2}={\frac {x'''(y'z''-y''z')+y'''(x''z'-x'z'')+z'''( x'y''-x''y')}{(y'z''-y''z')^{2}+(x''z'-x'z'')^{2}+ (x'y''-x''y')^{2}}}.

Pentru o linie dreaptă, torsiunea nu este definită, deoarece planul tangent este definit în mod ambiguu. O curbă plană are torsiune zero în fiecare punct. În schimb, o curbă cu torsiune identică nulă este plată.

Formulele lui Frenet

O figură compusă dintr-o tangentă, o normală principală și o binormală, precum și trei plane care conțin aceste drepte în perechi, se numește triedru natural ( triedrul lui Frenet , vezi Fig. 4). Planurile tangente și normale au fost deja menționate; al treilea plan care contine tangenta si binormalul se numeste redresor .

Dacă muchiile unui triedru natural într-un punct dat al curbei sunt luate ca axe ale unui sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare, atunci ecuația curbei în parametrizarea naturală se extinde în vecinătatea acestui punct într-o serie de-a lungul coordonatei de-a lungul curba:

x=s+\dots ,\qquad y={\frac {k_{1}}{2}}s^{2}+\dots ,\qquad z=-{\frac {k_{1}k_{ 2}}{6}}s^{3}+\puncte ...,

unde și sunt curbura și torsiunea curbei în punctul specificat. $k_{1}\$ $k_{2}\$

Vectorii unitari , respectiv, pentru tangenta, normala principală și binormală a curbei, se modifică la deplasarea de-a lungul curbei. Cu o alegere adecvată a direcției acestor vectori, se obțin următoarele formule din definiția curburii și torsii: ${\boldsymbol {{\vec t}}},\ {\boldsymbol {{\vec n}}},\ {\boldsymbol {{\vec b}}}$

{\frac {d{\boldsymbol {{\vec t)))){ds}}=k_{1}{\boldsymbol {{\vec n}}}

((2))

{\frac {d{\boldsymbol {{\vec n)))){ds}}=-k_{1}{\boldsymbol {{\vec t}}}+k_{2}{\boldsymbol {{\vec b}}}\qquad

{\frac {d{\boldsymbol {{\vec b)))){ds}}=-k_{2}{\boldsymbol {{\vec n}}}

unde diferențierea merge de-a lungul arcului de curbă. Formulele (2) se numesc formule Frenet sau formule Frenet- Serret .

Interpretare cinematică

Vom considera lungimea arcului unei curbe date ca timp, iar triedrul Frenet ca un corp rigid care se deplasează de-a lungul curbei. Atunci această mișcare în fiecare moment de timp constă în translație (de-a lungul tangentei) și rotație instantanee cu viteză unghiulară ( vectorul Darboux ). Formulele lui Frenet implică: ${\boldsymbol {{\vec \omega ))}$

{\boldsymbol {{\vec \omega }}}=k_{1}\ {\boldsymbol {{\vec b}}}+k_{2}\ {\boldsymbol {{\vec t}}}

Aceasta înseamnă că vectorul de rotație instantanee se află în planul de redresare și este împărțit în 2 componente: rotație în jurul binormalului cu viteză (rotație) și rotație în jurul tangentei cu viteză (torsiune). $k_{1}\$ $k_{2}\$

Ecuații curbe naturale

O curbă cu curbură diferită de zero este complet definită (până la poziția în spațiu) prin specificarea curburii și torsii sale în funcție de arcul curbei. În acest sens, sistemul de ecuații $s$

k_{1}=k_{1}(e),~~k_{2}=k_{2}(e)

se numesc ecuaţiile naturale ale curbei .

Exemplu

Considerăm o spirală (Fig. 4) dată de ecuațiile:

x(t)=a\ \cos t

y(t)=a\ \sin t

z(t)=b\t

Conform formulelor de mai sus, obținem:

k_{1}={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}

k_{2}={\frac {b}{a^{2}+b^{2))}

Astfel, curbura și torsiunea helixului sunt constante. Deoarece ecuațiile naturale determină în mod unic forma unei curbe, nu există alte curbe cu curbură și torsiune constante. Cazurile limită ale unei spirale sunt un cerc (se obține la ) și o linie dreaptă ( ). $b=0\,\!$ $a=0\,\!$

Note

↑ Binormal // Dicționar enciclopedic al lui Brockhaus și Efron : în 86 de volume (82 de volume și 4 suplimentare). - Sankt Petersburg. , 1890-1907.
↑ Planul care atinge curba într-un punct dat este astfel planul în care se află vectorul tangent și vectorul curbură, presupunând că fiecare dintre acești vectori își are originea în punctul dat al curbei.
↑ adică când se deplasează de-a lungul curbei, în general, nu cu o viteză constantă pe măsură ce parametrul t crește .

Vezi și

Literatură

Pogorelov A. V. Geometrie diferențială (ediția a VI-a). Moscova: Nauka, 1974.
Rashevsky P. K. Un curs de geometrie diferențială (ediția a treia). M.-L.: GITTL, 1950.
Toponogov, V. A. Geometria diferențială a curbelor și suprafețelor . - Fizmatkniga, 2012. - ISBN 978-5-89155-213-5 .