Semiconductor nedegenerat

Un semiconductor nedegenerat este un semiconductor în care nivelul Fermi este situat în banda interzisă la o distanță de energie mai mare decât limitele sale ( este constanta Boltzmann, este temperatura absolută), drept urmare purtătorii de sarcină din acest semiconductor să se supună statisticilor Maxwell-Boltzmann. Dacă nivelul Fermi se află în interiorul benzilor permise (în interiorul benzii de conducție în cazul unui semiconductor de tip n sau a benzii de valență în cazul unui tip p ), atunci un astfel de semiconductor se numește degenerat . $kT$ $k$ $T$

Distribuția transportatorilor în zone

Deoarece electronii au spin pe jumătate întreg, ei se supun statisticilor Fermi-Dirac

f(E)={\frac {1}{1+\exp {\frac {EF}{kT}))}

$f(E)$ este probabilitatea ca o stare cuantică cu energie să fie umplută cu un electron; este potențialul electrochimic, sau nivelul Fermi , care depinde în general de temperatură. Nivelul Fermi poate fi definit și ca energia unei stări cuantice, probabilitatea de umplere care în condiții date este egală cu 1/2. $E$ $F$

Căci are forma unei funcții discontinue: $T=0\quad$ $f(E)$

pentru , ceea ce înseamnă că toate stările cuantice cu astfel de energii sunt umplute cu electroni; $E<F\quad$ $f(E)=1$

pentru , deci stările cuantice corespunzătoare sunt libere. $E>F\quad$ $f(E)=0$

La , funcția Fermi este reprezentată ca o curbă continuă și într-un interval de energie îngust de ordinul mai multor în vecinătatea punctului , se schimbă rapid de la 1 la 0. Întinderea funcției Fermi este cu atât mai mare, cu atât este mai mare. temperatura. $T>0\quad$ $kT$ $E=F$

Calculul mărimilor statistice este mult simplificat dacă se află în banda interzisă de energie și este îndepărtat de la marginea benzii de conducție cu mai mulți . Apoi poate fi considerat în distribuția Fermi-Dirac și intră în distribuția Maxwell-Boltzmann a statisticii clasice . În acest caz, gazul de electroni nu este degenerat. $F$ $E_{c}$ $kT$ $\exp {\frac {EF}{kT}}\gg 1$ $f(E)=C\exp {\frac {EF}{kT)}$

În mod similar, într-un semiconductor de tip p, pentru absența degenerării gazului de gaură, este necesar ca nivelul Fermi să se afle și în interiorul benzii interzise și să fie situat deasupra energiei cu mai mulți . $F$ $E_{v}$ $kT$

Cazul opus, când nivelul Fermi este situat în interiorul benzii de conducție sau în interiorul benzii de valență, este cazul unui electron degenerat sau, respectiv, al unui gaz de gaură. În acest caz este necesară utilizarea distribuției Fermi-Dirac.

Concentrația de purtători în zone

Concentrația de electroni în banda de conducere este descrisă prin expresie

n=\int \limits _{E_{c}}^{\infty}f(E)\rho _{c}(E)dE=N_{c}\Phi _{1/2}(\ xi)

$\xi ={\frac {F-E_{c}}{kT}}$ este potențialul chimic pentru electroni (mai precis, valoarea sa adimensională),

$\rho _{c}(E)={\frac {1}{V}}{\frac {dN}{dE}}$ - densitatea stărilor electronice în banda de conducție - numărul de stări pe unitatea de interval de energie pe unitatea de volum;

$N_{c}=2\left({\frac {m_{c}kT}{2\pi \hbar ^{2}}}\right)^{3/2}$ este densitatea efectivă a stărilor din banda de conducere.

Valoarea integralei depinde numai de potențialul chimic și de temperatură. Această integrală este cunoscută sub numele de integrală Fermi-Dirac cu indice 1/2: $\Phi _{1/2}(\xi )$

\Phi _{1/2}(\xi )={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {x^ {1/2}}{1+\exp {(x-\xi )}}}

Calculul concentrației de găuri în banda de valență se efectuează în mod similar, singura diferență față de cazul precedent este că se utilizează densitatea stărilor din banda de valență și nu numărul de stări ocupate, ci se ia numărul de stări neocupate. in considerare : $\rho _{v}(E)$ $f_{p}=(1-f)$

p=\int \limits _{-\infty }^{E_{v}}f_{p}(E)\rho _{v}(E)dE=N_{v}\Phi _{1/ 2}(\eta )

$N_{v}=2\left({\frac {m_{v}kT}{2\pi \hbar ^{2}}}\right)^{3/2}$ este densitatea efectivă a stărilor din banda de valență,

$\eta ={\frac {E_{v}-F}{kT)}$ este potențialul chimic pentru găuri, un parametru adimensional care caracterizează poziția nivelului Fermi față de marginea benzii de valență.

Pentru semiconductori nedegenerați, este semnificativă doar coada distribuției Fermi, care poate fi aproximată prin distribuția Maxwell-Boltzmann. În acest caz, integrala Fermi-Dirac ia forma , iar concentrațiile de purtători în benzi sunt determinate de expresiile: $\Phi _{1/2}(\xi )=\exp {\xi }$

n=N_{c}\exp {\frac {-(E_{c}-F)}{kT)}

p=N_{v}\exp {\frac {E_{v}-F}{kT)}

Factorul din fața exponentului dă probabilitatea de a umple o stare cuantică cu energie (sau cu energie în cazul găurilor ) cu electroni. În consecință, pentru un semiconductor nedegenerat, concentrația de electroni mobili se dovedește a fi aceeași ca și cum, în loc de o distribuție continuă a stărilor în bandă, ar exista stări cu aceeași energie în fiecare unitate de volum . $E_{c}$ $E_{v}$ $N_{c}$ $E_{c}$

Argumentând în mod similar, atunci când se calculează concentrația de găuri, banda de valență poate fi înlocuită cu un set de stări cu aceeași energie , al căror număr în fiecare unitate de volum este . $E_{v}$ $N_v$

În semiconductori nedegenerați, concentrația purtătorilor majoritari este mică în comparație cu densitățile efective ale stărilor . Opusul se întâmplă în semiconductori degenerați. Prin urmare, comparând valorile măsurate ale concentrațiilor de electroni și găuri cu valorile lui , se poate stabili imediat dacă un anumit semiconductor este degenerat sau nu. $N_{v},N_{c}$ $N_{v},N_{c}$

Raportul depinde în principal de poziția nivelului Fermi față de marginile benzii. Din expresiile pentru concentrații se poate observa că concentrația purtătorilor de sarcină mobili va fi mai mare în banda de care este situat mai aproape nivelul Fermi. Prin urmare, la semiconductori de tip n, nivelul Fermi este situat în jumătatea superioară a benzii interzise, iar la semiconductori de tip p, în jumătatea inferioară. Cu toate acestea, produsul dintre densitățile electronului și al găurilor pentru un semiconductor nedegenerat nu depinde de poziția nivelului Fermi și este egal cu . ${\frac {n}{p))$ $n,p$ $np=N_{c}N_{v}\exp {\frac {-E_{g}}{kT}}$

Literatură

Bonch-Bruevich V. L. , Kalashnikov S. G. Fizica semiconductorilor. — Moscova: Nauka, 1977.
Lebedev AI Fizica dispozitivelor semiconductoare . - Fizmatlit Moscova, 2008. - 488 p. - ISBN 978-5-9221-0995-6.