Operator liniar continuu

Un operator liniar continuu care acționează dintr-un spațiu topologic liniar X într-un spațiu topologic liniar Y este o mapare liniară de la X la Y care are proprietatea de continuitate . $A:X\rightarrow Y$

Termenul „ operator liniar continuu ” este de obicei folosit atunci când Y este multidimensional . Dacă Y este unidimensional, adică coincide cu câmpul în sine ( sau ), atunci se obișnuiește să se folosească termenul de funcțional liniar continuu [1] . Mulțimea tuturor operatorilor liniari continui de la X la Y se notează cu . $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$ $L(X,Y)$

În teoria spațiilor normate, operatorii liniari continui sunt cunoscuți mai frecvent ca operatori liniari mărginiți din următorul motiv. Teoria operatorilor liniari continui joacă un rol important în analiza funcțională , fizica matematică și matematica computațională .

Proprietăți

Dacă X este dimensional finit , atunci orice operator liniar este continuu.
Continuitatea unui operator liniar la zero este echivalentă cu continuitatea sa în orice alt punct (și, prin urmare, în tot X ).
Pentru spațiile normate , condițiile de continuitate și de mărginire (adică finitatea normei operatorului ) sunt echivalente. [2] . În cazul general, continuitatea unui operator liniar implică mărginire, dar inversul nu este întotdeauna adevărat.
Dacă X și Y sunt spații Banach , iar imaginea operatorului coincide cu spațiul Y , atunci există un operator invers (așa-numita teoremă a operatorului invers ). $A\in L(X,Y)$ $A^{-1}\în L(Y,X)$
Mulțimea tuturor operatorilor liniari continui de la X la Y este în sine un spațiu topologic liniar. Dacă X și Y sunt normalizate, atunci este normalizat și prin norma operatorului . Dacă Y este Banach, atunci la fel este, indiferent de caracterul complet al lui X. $L(X,Y)$ $L(X,Y)$

Proprietățile unui operator liniar continuu depind puternic de proprietățile spațiilor X și Y . De exemplu, dacă X este un spațiu finit-dimensional , atunci operatorul va fi un operator complet continuu , domeniul său va fi un subspațiu liniar finit-dimensional și fiecare astfel de operator poate fi reprezentat ca o matrice [3] . $A\in L(X,Y)$ $R(A)$

Continuitate și secvențe convergente

Un operator liniar care acționează dintr-un spațiu topologic liniar X într-un spațiu topologic liniar Y este continuu dacă și numai dacă pentru orice succesiune de puncte din X , rezultă din . $A:X\rightarrow Y$ $\{x_n\}$ $x_{n}\rightarrow x_{0)$ $Ax_{n}\rightarrow Ax_{0)$

Fie seria să convergă și să fie un operator liniar continuu. Apoi egalitatea $\sum \limits _{n=1}^{\infty }x_{n}=s$ $A:X\rightarrow Y$

\sum \limits _{n=1}^{\infty }Ax_{n}=As

Aceasta înseamnă că operatorul liniar poate fi aplicat termen cu termen seriilor convergente în spații topologice liniare.

Dacă X , Y sunt spații Banach , atunci operatorul continuu transformă fiecare secvență slab convergentă într-una slab convergentă:

dacă este slab, atunci slab.

x_{n}\la x

Ax_{n}\la Ax

Definiții înrudite

Se spune că un operator liniar este mărginit de jos dacă . $\exists k>0,\forall x\in X,\|Ax\|\geq k\|x\|$

Vezi și

Operator adjunct

Literatură

Trenogin V. A. Analiza functionala. — M .: Nauka , 1980 . — 495 p.
Halmos P. Spații vectoriale cu dimensiuni finite = Spații vectoriale cu dimensiuni finite. — M .: Fizmatgiz , 1963 . — 264 p.
Shilov G.E. Analiza matematică (funcţiile unei variabile), partea 3. - M .: Nauka , 1970 . — 352 p.

Note

↑ Funcționalele liniare continue au proprietăți specifice care nu au loc în cazul general și generează structuri matematice speciale, astfel că teoria funcționalelor liniare continue este considerată separat de teoria generală.
↑ Naimark M. A. Inele normate. — M .: Nauka, 1968. — 664 p.
↑ De asemenea, într-un spațiu finit-dimensional cu o bază , un operator liniar continuu poate fi reprezentat ca , unde sunt funcții din spațiul dual . $X$ $\{x_{k}\}_{k=1}^{n)$ $A$ $Ax=f_{1}(x)x_{1}+f_{2}(x)x_{2}+\cdots +f_{n}(x)x_{n},\forall x\in X$ $f_{k}\in X^{*}$